高中數學建模應用的探究

鄒青

【摘要】數學建模對提高學生數學應用意識，培養學生靈活的思維能力，分析問題、解決問題的能力，促進高中數學教學改革，全面推進高中數學教育具有重要作用。本文探討了如何在日常教學中開展高中數學建模的方法，以期將使數學建模在高中階段更容易開展，使學生更容易體會到數學的應用性，從而更好地將數學數學以致用。

【關鍵詞】數學建模 高中數學 應用

1 引言

現代經濟社會，信息技術高速發展，促使了數學和數學應用取得巨大的成功，數學幾乎滲透到了社會的每一個領域和學科，發揮了實質性的作用。任何一門學科走向科學的過程都是形式化、符號化、建立數學模型和實驗模型的過程。不同學科構建符合自身研究對象特性的形式、符號和數學模型的方法，就是這門學科特有的思維方法和工作方法。新一輪的課程改革非常關注數學應用，而數學建模無疑是最能體現數學的應用性。數學建模是運用數學思想，方法和知識解決實際問題的過程，強調與社會自然和生活實際的聯系，推動學生關心現實，了解社會，解讀自然，體驗人生。整個建模的過程充滿了思考、調研、試探、操作以及實驗，對學生有著非常大的綜合性挑戰和強烈的鞭策。

2 高中數學建模簡述

數學模型是一種抽象的模擬，它用數學符號、數學公式、程序、圖和表等刻畫客觀事物的本質屬性與內在聯系，是現實世界的簡化而本質的描述。數學模型是為一定目的，對部分現實世界而做出的抽象的、簡化的數學結構。數學模型不是對現實系統的簡單的模擬，它是人們用以認識現實系統和解決實際問題的工具。數學模型是對現實對象的信息通過提煉、分析、歸納以及翻譯的結果，它使用數學語言精確地表達了對象的內在特征，通過數學上的演繹推理和分析求解，使得我們可以深化對所研究的實際問題的認識。

數學建模是一種數學解決實際問題的一般性思考方法。從科學、工程、經濟、管理等角度看，數學建模就是用數學的語言和方法，通過抽象和簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學工具。數學建模的一般步驟為：

1）準備：考慮問題的實際背景，明確建模的目的，掌握必要的數據資料，分析問題所涉及的量的關系，弄清其對象的本質特征；

2）假設：根據實際問題的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言進行假設，選擇有關鍵作用的變量和主要因素；

3）建模：根據模型假設，著手建立數學模型，利用適當的數學工具，建立各個量間的定量或定性關系，初步形成數學模型，盡量采用簡單的數學工具；

4）求模：運用數學知識和方法求解數學模型，得到數學結論；

5）檢驗：把求得的數學結論回歸到實際問題中去檢驗，判斷其真偽，是否可靠，必要時給予修正。

高中數學建模具有其獨特的特點，數學建模不一定有唯一正確的答案，對同一個實際問題，不同的人卻可能建立起完全不同的模型而都符合實際問題的基本要求。數學建模沒有統一的方法，面對一個實際問題，學生可以任意選定建模方法，因此應該向學生說清楚常用的建模方法，譬如機理分析法、測試分析法、擬合法等。高中數學所建模型還具有逼真性、可行性、漸進性和可轉移性的特點，建模時不必追求模型的完美無缺而只要符合實際問題的基本要求即可，建模會出現反復幾次建模過程，包括由簡到繁，也包括由繁到簡，所建模型完全可能轉移到另外的領域中去。

3 高中數學建模的應用

形成數學建模的能力需要較長時間，雖然數學建模有基本程序，但是數學建模過程不是機械的套路，數學建模能力是伴隨著數學建模學習和實踐活動逐漸形成的，是伴隨著對數學的理解和感悟的加深、用數學的意識的增強、綜合知識的拓寬逐漸提高的。教師可以把一些較小的數學建模等應用問題，通過把數學建模過程分解后，切入放到正常教學的局部環節上去做，而且經常這樣做我們可以用“化整為零”、“細水長流”來描述這種做法。比如在新知識的引入、復習課時，可以用一點時間穿插介紹一個數學應用或數學建模的問題，讓學生在課堂上通過討論僅僅完成“問題數學化”的過程。

切入的內容應該和正常的教學內容、教材的要求比較接近，以便于學生的理解和對教材知識的掌握，如現實生活中普遍存在著最優化問題——最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問題；現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如投資決策、人口控制、資源保護、生產規劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關數量問題，常歸結為不等式問題。限于篇幅舉個簡單的例子如下：

汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停住，該段距離一般稱之為“剎車距離”。剎車距離是分析事故的一個重要因素。在一個限速40km/h以內的彎道上，A、B兩輛汽車相向而行發現情況不對，同時剎車但還是碰車了，事發后現場測得A車的剎車距離略超過12m，B車的剎車距離略超過10m，又知A、B兩種車型剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關系：

，

問超速行駛應負主要責任的是誰？

分析思路：要弄清主要責任者需分析行駛速度，要弄清速度問題，就要運用剎車距離函數和實測數據，構建一元二次不等式，即建立數學模型。

，

分別求解不等式，得 （舍）， （舍），經比較，易知乙車超過限速，應負主要責任。學生在教學中熟悉了數學建模，認識到數學的應用性。教師也可以自己根據所教的內容，結合自己的知識領域，收集并設計一些數學應用和數學建模方面的問題，用于課堂教學。

4 結語

高中數學建模有別于傳統基礎知識的教學，教師不是要教學生學數學，而是要引導學生用數學。高中數學建模教學案例應符合學生的學情和學力，依托已有知識基礎，參考教學進度，結合社會熱點和生活實際，分專題、分階段、分層次的設計選取。建模過程中對模型的探索沒有固定的模式和準則，需要合理的假設、敏銳的洞察、必要的遷移、準確的判斷，需要創新能力、信息雙向翻譯能力、查閱資料使用技術手段能力等共同協作。數學建模為學生學習數學開啟了一扇窗，讓學生重新認識了數學，激發了學生學習數學的興趣和熱情，培養了學生的建模意識和建模能力，學生在自主發現、探究、解決問題的過程中有不同層次的收獲，提高了數學應用的能力。

【參考文獻】

[1]沈文選.簡析中學數學建模的教育性質[J].當代教育論壇，2002，（10）.

[2]姜啟元.數學模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004年.