數學本科教學中“數學基本思想”的認識與運用

景淵遠等

【摘要】本文通過數學本科基礎課的數學內容，談三種“數學基本思想”：抽象、推理、化歸（模型）思想的認識，并指出其具體應用.

【關鍵詞】數學基本思想；抽象；推理；化歸；極限

【中圖分類號】G40-055

史寧中、柳海民指出：在基礎學科教學中實施素質教育的基本路徑有：“在基本知識、基本技能的基礎上加上基本思想和基本活動經驗，在分析問題和解決問題能力的基礎上，加上發現問題和提出問題的能力.”那么，什么是數學（基本）思想呢？本文在這方面做一點有益探討.

數學思想是數學文化的核心.“一般說來，稱解某數學問題的原則為數學思想，而具體途徑為數學方法.”張奠宙認為：“同一個數學思想，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法，當評價它在數學體系中的自身價值和意義時，就稱之為思想.”本文通過本科數學內容，揭示所隱含的基本數學思想及其應用.

一、抽象思想

什么是數學抽象？史寧中指出：“數學抽象包括：數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象.通過抽象得到數學的基本概念，研究對象的定義，刻畫對象之間關系的術語和運算方法.這是從感性具體上升到理性具體的思維過程，這是第一次抽象.在此基礎上可以憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現實的數學概念和運算方法.”其在數學分析和高等代數中大量運用.數學抽象思想，有第一次抽象，也有第二次抽象.

眾所周知，運用“推理思想”可知2，3，π和e等不是有理數.這樣一來，如

果說直線上布滿全體有理數，當用燈光一照時，就會發現間隙，每個尚未布上有理數的點代表一個無理數，如何定義它使其與以前的定義相容？其“思想”為：將這一點左邊的有理數全體記為集合M，而將該點右方有理數全體記為集合N，以分割（M，N）定義該點的數，易知，當該點為有理數時，這種定義與以前的有理數定義相容.這種思想的實現就有了實數（有理數和無理數的總稱）的戴德金分割定義.

數學分析中極限定義所遵循的“極限思想”是“抽象思

*本項目通訊作者由下述項目資助：黑龍江省新世紀教改工程（重點）項目，2011

本項目作者馬海鳳由下述項目資助：2014/2015年度黑龍江省高校教師雙語教學項目

*通訊作者

想”和“逼近思想”的

子思想，但這是第二次抽象.設變量為an（n=1，2，…），固定量a，如果當n “無限”增大時，an到a的距離“想怎么小，就怎么小”時，稱當n趨于無窮時，an以a為極限.將這種“極限思想”用“數學符號”表示出來，就是“ε-N語言”的定義.初學微積分，理解這種定義很困難，其要點是“極限思想”的領悟.

二、化歸思想

化歸即轉化和歸結的意思，通常指把某些未知或較復雜的問題，轉化為已知的或較簡單的問題，這就是化歸思想.如果將未知的現實問題，化為已知的數學問題，然后，對該數學問題進行分析，得到解析解或數值解，最后以數學解去解釋原現實問題的解，這就是“模型思想”.由此可見“化歸思想”應是比“模型思想”更基本的數學思想.

三、推理思想

“推理”是基本數學思想，含“演繹推理”和“歸納推理”.基本的數學思想下往往包含著子數學思想.因為這種思想應用面相對較廣，如果稱之為方法會讓人感覺片面，況且在整體的數學思想中還存在著其他與之并列或等價的數學思想.例如同構思想和模型思想就可稱之為化歸思想的子思想.而“演繹推理”又是“推理思想”的子思想.

下面我們來說一下推理思想.當然，進行“邏輯推理”時，一般需幾種“數學思想”并用.下面舉一個日常例子.

結束語

數學分析和高等代數里所蘊含的數學思想和方法在人類的數學史上起著重要作用.許多思想和方法被當作工具應用于物理、化學等其他學科，對人類科技的進步起著奠基的作用.古人云：“授人以魚，不如授之以漁.”這句話道出了思想和方法的重要性.數學思想是對數學知識、數學方法的本質認識.數學思想源于數學方法但高于數學方法，思想凌駕在方法之上，如果沒有思想就不會有相應的方法去解決問題.如果把方法比作軀體，那思想就是靈魂和意識.

【參考文獻】

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