高中數學中的數列問題

陳前進

摘 ?要：數列一直都是一個特殊的數學問題，它既是一系列有規律的數字，同時又代表著某一曲線上的一些特殊的點的組合。高中數學涉及到數列的問題，大部分都是根據有限的數字找到這種特殊的規律，或者將數列作為特殊的函數上特殊點的像，從而實現數列與函數或者曲線之間的相互轉化。本篇文章從理論結合實例的角度講解了高中數學中重點知識點數列的一些經典問題和常見解法，希望能夠對廣大的高中學生起到一定的幫助。

關鍵詞：高中數學;數列;經典

數列是高中數學知識體系中一個重要的知識點，它不僅代表著高中數學一中與眾不同的思維方式，同時也是對高等數學中的矩陣或者行列式等進行一個基礎的演示，使學生提前獲得一些最基本的概念，為日后在數學方面的進一步學習打下一定的基礎。

高中數學中數列知識體系包括了數列的基本概念、數列通項式和數列的擴展三個方面。數列的基本概念已經不需要贅言，數列通項式是數列中知道數列中一個數來求取后一個數字的規律，是一個重要的概念和知識要點。求取數列的通項式有很多的方法例如觀察法、累加法、累乘法、待定系數法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法等，涉及到的數學思想主要包括函數與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉化思想等。

一、數列通項式的求解方法

函數通項式是數列的最重要的特點和概念，就如一個數列的DNA一樣，用來表明數列之間本質上的不同，同時也成為數列考試設計題目的一個重要方式。求解數列多項式的方法有很多，包括觀察法、累加法、累乘法、待定系數法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法等。

1.觀察法求解通項式

給出多項式中的幾個項，然后根據這幾個項求取中整個數列的通項式，然后根據通項式來求解出任意的一個項，這是最容易出題的一個思路和方面，也是最基礎最最重要的方法。

例：給出一個數列的幾個項如下：1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，請跟據上面的幾個項求出這列數中的x代表什么？

這個題目雖然簡單，卻是學習數列最基礎最重要的一個范例。事實上，無論做任何關于數列的題目甚至求解任何數學題目，對于題目的觀察和對信息的抓取都是最重要的第一步。通過觀察，我們發現，第三項2是第一項1和第二項1的和，而第四項3又是第二項1和第三項2的和，根據這個規律，我們不難發現，后一個是它本身前兩個之和，于是通項式可以寫作：an=an-1+an-2（n≥2）。根據這一個范例我們可以舉一反三列出更多的題目，比如已知一列數為1，1，1，2，3，4，6，9，13，x，28，41，求解x。在這里，我們必須先對數列中的項進行觀察，對于通項式大膽假設然后小心求證，只要自己的假設能夠滿足數列中的規律，那么自己的假設可以認為是正確的。觀察法和假設法是求解數列問題的一個基本方法組合，也是學生必須掌握的基本技能。

二、與數列相關的數學思想

在高中數學的學習過程中，除了掌握一些基礎的數學知識和解題技巧以外，對知識和題目之后蘊含的數學思想進行掌握顯得更加重要。那么，與數列相關的數學思想包括函數與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉化思想等。

1.函數與方程的思想

數列中蘊含的函數與方程的思想主要表現為在數列的一些未知項往往以多項式的方式表達出來，而多項式的表達往往通過方程的方式，從另一個角度來看，數列與多項式又都是函數上的一些不連續的數值，也就是函數圖像上的一些散點，這些散點又有著內在的規律，這個規律就是前面說到的數列的通項式。數列與函數的結合通常出現在綜合性較強的題目當中。

例：已知在正項數列{an}中，a1=2，且在雙曲線y2-x2=1上，數列{bn}中，點（bn，Tn）在直線上，其中Tn是數列{bn}的前 項和，①求數列{an}的通項公式;②求證：數列{bn}是等比數列。

這不僅是一個函數的問題，同時是一個函數與雙曲線進行結合的題目，這類題目通常第一問題都比較簡單，也是幫助解題者找到解題道路的一個思路。

解：①由已知帶點在y2-x2=1上知，

an+1-an=1，所以數列{an}是以2為首項，以1為公差的等差數列。

所以

②因為點（bn，Tn）在直線上，所以 ，所以 ，二者相減得：，所以bn=bn-1，于是令n-1得，b1=b1+1，所以b1=，所以{bn}是一個以為首項，以為公比的一個等比數列。故。

通過函數與方程的思想將數列的問題轉換為函數或者方程，有時會轉換成為不等式進行求解，這是數學中的轉換的方式，當不同的數學知識進行相互裝換的過程中，對于高中數學整體的認識會進一步得到提升。

2.數列中的分類與討論思想

分類與討論思想是數學嚴謹性的重要體現，在數列中也時常體現。討論的對象主要是一些比較特殊的函數例如對數中的底不能為1等，或者分段函數等，都對數列本身產生較大的影響。

例：已知數列{an}的前n項和為Sn=1+10n-n2，（1）求數列{an}的通項公式;（2）求數列{|an|}的前n項和Tn;

數列{an}的前n項和為Sn=1+10n-n2是一個開口向下的一元二次函數，那么在求取通項公式時就分為n=1和n≥2兩種情況;由于函數的圖像被x軸切割，其絕對值也被分為兩段，這兩段分別為不同的多項式來表示。

三、總結

高中數學中的數列問題是一個重點知識點，對于很多學生而言數列與其他的知識點有形式上的不同，于是就成為了一個難點。在掌握基礎知識和數學思想的同時，通過練習來積累解題的經驗，通過對這些經驗的思考來感悟其中的數學思想，兩者相輔相成，必然能夠學好這部分的知識。

參考文獻：

[1]史立霞，秦振.數列中的分類討論問題[M].高中數學教與學，2012（19）.

[2]郭剛.等比數列的分類討論[M].數理化學習，2012（9）.

（作者單位：湖北鄂州市華容高中）