逆向思維在矩陣零特征值中的教學探析

河南師范大學新聯學院　楊磊

逆向思維在矩陣零特征值中的教學探析

河南師范大學新聯學院楊磊

摘要：線性代數是高等教育的重要基礎課,矩陣特征值特征向量是線性代數的重要知識點,特別是矩陣的零特征值結合行列式,矩陣的秩以及方程組的基礎解系等相關知識點的應用就更加靈活,相關文獻也比較少,本文利用逆向思維的數學思想結合對比轉化思想就矩陣零特征值問題一些靈活應用做了些探討總結。并舉例說明這種思想方法對相關題型的計算是相當有益的,也能提高學生的解題能力和知識應用能力。

關鍵詞：矩陣；零特征值；逆向思維；數學思想

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1671-864X（2015）03-0098-01

線性代數是高等教育的重要基礎課，矩陣特征值特征向量是線性代數的一個學習難點，也是教學的重點，其內容抽象，定理結論較多，同時在求解過程有點比較繁復，是學生不易理解和掌握的部分，在教學實踐中發現，如果從逆向思維數學思想的角度思考，結合對比轉化思想，矩陣特征值特征向量有些類型的題目的求解就變得相當簡單，且思路清晰明了。所謂的逆向思維就是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。對于某些問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。因此借用逆向思維數學思想把直接求解不易或者較繁瑣的題目，從逆向的方向思考，就可使求解的過程更加簡單快捷，進而也可以加深對相關知識的理解，提高知識的應用能力，能夠讓學生做到對線性代數相關知識點的理解和掌握其精髓，提高解題能力很有裨益。本文利用逆向思維數學思想結合對比轉化思想，結合教學實踐就矩陣有關零特征值的零變形、基礎解系和不可逆矩陣等相關問題三個方面總結如下：

一、零變形

眾所周知，零是數學中一個很特殊的數字，它有一個非常好的特性，即是零乘以任何數仍等于零。如果在有關求解矩陣特征值特征向量的題目中，所求矩陣含有零特征值，就可借用零特征值的特殊性，利用逆向思維數學思想，結合對比轉化思想以及零的恒等變形，構造出有利于解題的等價形式，從而使問題的求解思路更加簡單、明了、直觀，對問題的理解和把握更加準確，教學實踐過程中可以總結講解，進而提高學生對相關知識點的理解把握，提高學生的轉化能力和分析問題解決問題的能力。例如：

例1.設A為二階矩陣，α1α2為線性無關的2維列向量，且Aα1=0，Aα2=2α1+α2，求A的特征值。

解析：題目中由于矩陣A沒有給出，只給出了矩陣的階數和特征向量，按常規求矩陣特征值特征向量的解題思路，此題只能知道矩陣有兩個特征值，具體是什么根本無法直接求解，但根據題目其他已知條件，利用逆向思維數學思想結合對比轉化思想和零的恒等變形即零變形，就會使解題的思路豁然開朗，也即是因Aα1=0，由零變形Aα1=0=0α1，利用矩陣的特征值特征向量的定義和性質，已知λ=0為矩陣A的特征值。此時矩陣含有零特征值，結合其他已知條件，用同樣的思想方法可知，又因Aα2=2α1+α2，再由零變形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1 （2α1+α2），就可求出矩陣A的另一個非零特征值為λ=1，問題得以順利解決。由此可窺知逆向思維數學思想的妙處。具體求解過程如下。

解：因Aα1=0，由零變形Aα1=0=0α1，則λ=0為矩陣A的特征值。又因Aα2=2α1+α2，再由零變形有A（2α1+α2α2）=A （2α1）+Aα2+α2=1（2α1+α2）

因此λ=1為矩陣A的非0特征值。綜上，矩陣A的特征值為λ=0，λ=1。

二、基礎解系

線性代數把線性方程組系統理論化，并給出線性方程組的如Cramer法則，Gauss消元法，線性方程組解的結構等諸多完善理論解法，其中線性方程組解的結構求解方法是用方程組的基礎解系來表示方程組的全部解。解線性方程組是線性代數的線性方程組求解中需要重點掌握和理解的知識點，用基礎解系理論求解線性方程組有著非常好的理論和實際優勢，思路清晰，邏輯嚴謹，但求解過程所用到的知識點較多，計算相對繁復一些，不過此解法仍是要求必須掌握的基本方法之一。在教學實踐中發現，若借用逆向思維的數學思想，結合對比轉化思想把齊次線性方程組的基礎解系問題理解為系數矩陣A屬于零特征值的特征向量問題，由此可知此方程組的基礎解系就是系數矩陣A屬于零特征值線性無關的特征向量，再結合特征向量及方程組相關知識達到方便求解的目的。進而提高學生對線性方程組基礎解析相關知識點的準確理解和把握，提高學生對知識的理解能力，轉化能力和分析問題解決問題的能力。又如：

例2.已知A2=0，A≠0，證明A不能相似對角化。

證析：題目是一個抽象矩陣的求解證明問題，沒有給出矩陣的具體元素，不可利用矩陣對角化方法直接求解，只可結合矩陣相似的性質和題目已知條件求解，因A2=0，A≠0，此時可以考慮到矩陣零特征值問題，便可利用逆向思維數學思想和對比轉化思想來求解，有題目條件已知矩陣A的秩滿足γ（A）≥1，不妨設Aα=λα（α≠0）為矩陣A屬于特征值Aα=λα（α≠0）特征向量Aα=λα（α≠0），故有A2α=λ2α=0，因此可知λ=0為矩陣A的特征值，即矩陣A有零特征值，故此題可以用矩陣A的零特征值求解，由線性方程組理論易知線性方程組Ax=0的基礎解系有n-r(A)個向量，即λ=0有n-r (A)個線性無關的特征向量，所以矩陣A不可對角化，問題得證。通過此題可見若利用逆向思維數學思想可以使題目的思路更加簡便，學生理解掌握知識更加透徹，更有利于社會人才的培養。具體證明如下：

證：因A2=0,A≠0，則r (A)≤1，設Aα=λα(α≠0)，從而A2α=λ2α=0，則λ=0為矩陣A的特征值，因此Ax=0的基礎解系有n-r (A)個向量，即λ=0有n-r(A)個線性無關的特征向量，所以矩陣A不可對角化，得證。

例3.設A是n階矩陣，且r(A)

解析：由r(A)

例4.設A是3階不可逆矩陣，且α1,α2是Ax=0的基礎解系，α3是A屬于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是_____