解題后反思在高中數學中的積極意義

閻黎明

【摘 要】解題后反思，命題的意圖是什么？考核的概念、知識和能力是什么？驗證結論是否正確，命題的條件的應用是否完備？不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷地思考并做出新的判斷，體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感，逐步養成獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學。

【關鍵詞】反思 ? ?高中數學 ? ?意義

由于認知結構水平的限制，學生表現出對知識不求甚解，熱衷于做大量題，不善于解題后對題目進行反思，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節，也不善于糾正和找出自己的錯誤，缺乏解題后對解題方法、數學思維的概括，掌握知識的系統性較弱、結構性較差。一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案后，學生必須認真進行探索：命題的意圖是什么？考核的概念、知識和能力是什么？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？等等。所以，為了提高解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。

解題反思的積極意義有如下幾個方面：

一、積極反思，查缺補漏，確保解題的合理性和正確性

學生解數學題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證。可是一些同學把完成作業當成是趕任務，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去，由此產生大量謬誤，應該引起重視，加以克制，引以為戒。如：1. 結論荒唐，引為笑柄;2. 以特殊代替一般;3. 臆造“定理”，判斷無據，以日常概念代替科學概念。以上常見的錯誤，不勝枚舉。由此可見，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學中的足夠重視。

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路、最優最簡捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負，應該進一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，勾通知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌。一題多解，每一種解法可能用到不同章節的知識，這樣一來可以復習相關知識，掌握不同解法技巧，而多題一解每一種解法又能解很多道題。然后比較眾多解法中對這一道題而言哪一種最簡捷、最合理，把本題的每一種解法和結論進一步推廣，同時既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等。善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解， 這對提高解題能力尤其重要。

三、積極反思、系統小結，使重要數學方法、公式、定理的應用規律條理化，在解題中應用自如、改進過程，尋找解題方法上的創新

在問題解決之后，要不斷地反思：解題過程是否浪費了重要的信息？能否開辟新的解題通道？解題過程多走了哪些思維回路？思維、運算能否變得簡捷？是否拘泥于思維定式，照搬了熟悉的解法？通過這樣不斷地質疑、不斷改進，讓解題過程更具有合理性、科學性、簡捷性。

例1：求證：正四面體和正八面體相鄰兩側所成的二面角互補。

此題有常規的解題思路：分別求出兩個多面體的二面角的值，再求和。這也是一般參考書上的解法。探索解題過程，總感覺這樣解題很笨拙，缺少靈氣！不能反映兩個多面體的巧妙結構。事實上，問題隱含了“結構”這個重要信息，那么，能否把“結構”作為切入點去探究問題呢？這樣，此題的對學生能力的提高，意義就大不一樣了

四、重視知識的遷移和應用，探究問題所含知識的系統性

解題之后，要不斷地探究問題的知識結構和系統性。能否對問題蘊含的知識進行縱向深入地探究？能否加強知識的橫向聯系？把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統的知識“面”，通過不斷地拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性。

例2.試證以過橢圓的焦點的弦為直徑的圓必和橢圓相應的準線相離。

證明完這道題后，可進一步引導學生分析和思考：

（1）把題目中的條件“橢圓”改為“拋物線”，結論有何變化？

（2）把題目中的條件“橢圓”改為“雙曲線”，結論又有何變化？

學生在這三題的證明過程中發現：在不同曲線下可得不同的結論，橢圓是相離，拋物線是相切，雙曲線是相交，這三道看似不同的題目的證明方法卻完全相同，都可以根據圓以及曲線的定義來證明。

五、整合知識，創新設問

要讓學生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關的問題卻有著內在的聯系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質的聯系，要質疑為什么有這樣的問題？它和哪些問題有聯系？能否受這個問題的啟發，將一些重要的數學思想、數學方法進行有效的整合，創造性地設問？讓學生在不斷的知識聯系和知識整合中，豐富認知結構中的內容，體驗“創造”帶來的樂趣。這對培養學生的創造思維是非常有利的

六、探究規律，形成小結

對每個問題都要尋根問底，能否得到一般性的結果，有規律性的發現？能否形成獨到的見解，有自己的小發明？點滴的發現，都能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣，長期的積累，更有利于促進學生認知結構的個性特征的形成，并增加知識的存儲量。

總之，解題后引導學生不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷地思考并做出新的判斷，讓學生體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感。長此以往，學生就能逐步養成獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學，這是學好數學的必要條件。

【參考文獻】

[1]李求來，等.中學數學教學論[M].長沙：湖南師范大學出版社，1992.

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