幾何畫板在高中數學教學中的應用研究

孫喜宗

【摘 要】蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”數學科學最重要的是抽象思維和形象思維的結合，但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。很難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力，同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。基于此，從國外引進的教育軟件幾何畫板以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。那么，幾何畫板在高中數學教學中有哪些應用呢？本文從它在高中代數、解析幾何、立體幾何中的應用等方面加以研究。

【關鍵詞】高中數學 ? ? 幾何面板 ? ? 應用

一、幾何面板在高中代數教學中的應用

華羅庚說：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖為主，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端;應用幾何畫板快速直觀地顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，起到事半功倍的教學效果。

具體說來，可以用幾何畫板根據函數的解析式快速作出函數的圖象。并可以在同一個坐標系中做出多個函數的圖象，如在同一個直角坐標系中作出函數y=x2. y=x3和y=x1/2的圖象，比較各圖象的形狀和位置，歸納冪函數的性質。還可以做出含有若干參數的函數圖象，當參數變化時函數圖象也相應地變化，如在講函數y=Asin（ωx+φ）的圖象時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖象之間的關系;利用幾何畫板則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數作圖（如圖1），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函數的相位和周期，拖動點A則改變其振幅 ，這樣在教學時既快速靈活，又不失一般性。

二、幾何面板在高中解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究;再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，幾何畫板又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能做出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線;能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”;能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖2所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應地看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。

三、幾何面板在高中立體幾何教學中的應用

初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線;正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用幾何畫板將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

如在講《錐體的體積》時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐，這樣既避免了學生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導球的體積時，運用動畫和軌跡功能當拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應地變動，直觀美麗的畫面使學生在學得知識的同時，給人以美的感受，創建了一個輕松、樂學的氛圍。

綜上所述，使用幾何畫板進行數學教學，通過具體的感性的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解，而是能夠更有實感地去把握它。這樣，既能激發學生的情感、培養學生的興趣，又能大大地提高課堂效率。endprint