高中數學中的幾何概型問題概述

焦義貴

摘 ? ?要： 幾何概型是高中數學繼古典概型之后學習的另一類等可能概型，它對應的是一個連續型變量的均勻分布，幾何概型是古典概型的拓廣.在高中，幾何概型的題目主要分為長度型、面積（體積）型、角度型、會面型，不管解決哪種類型問題，其關鍵都要選擇適當度量，使基本事件轉化為與之對應的總度量值，所求問題轉化隨機事件對應的子度量值，然后代入公式進行計算求解.

關鍵詞： 概率 ? ?幾何概型 ? ?高中數學教學

概率研究隨機事件發生的可能性大小問題，通過學習，學生可以了解隨機現象與概率的意義，正確區分頻率與概率，初步形成用隨機的觀念觀察、分析、研究客觀世界.幾何概型是高中繼古典概型之后學習的另一類等可能概型，是高中新課程實驗教材新增加的內容，也是必修課中關于概率的最后一個知識點，它的特點是試驗結果在一個區域內均勻分布，所以隨機事件的大小與隨機事件所在區域的形狀、位置無關，只與該區域的大小有關.要求學生能體會幾何概型的意義，會解決典型的幾何概型問題.幾何概型的研究，是古典概型的拓廣，兩種概型既有區別又有聯系，它們的相同點是基本實驗結果發生都具有等可能性，并均用比值計算隨機事件概率，不同之處是幾何概型將古典概型試驗結果從有限個拓廣到無限個.本文擬對幾何概型的定義，計算公式，以及各種題型進行系統梳理.

一、幾何概型的有關知識

1.幾何概型的定義

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度、面積、體積或角度成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

2.幾何概型的概率公式

P（A）=■;

由于幾何概型中隨機事件的概率是度量之比，因此我們不難發現下面的結論：

（1）不可能事件概率一定為0，但概率為0的事件不一定為不可能事件.如：向正方形桌面上隨機扔一粒芝麻，正好落在中心點的概率為0，但這個事件有可能發生.

（2）必然事件概率一定為1，但概率為1的事件不一定為必然事件.如：向正方形桌面上隨機扔一粒芝麻，正好落在除中心點外區域的概率為1，但這個事件有可能不發生.

3.幾何概型的特點

（1）無限性：試驗中所有可能出現的結果（基本事件）為無限多個;

（2）等可能性：每個基本事件出現的可能性相等.

4.幾何概型與古典概型的比較

區別：古典概型具有有限性，即試驗結果是有限個;而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果.

聯系：古典概型與幾何概型的基本試驗結果都具有等可能性.兩者均用比例法求隨機事件的概率.

二、常見題型

幾何概型問題，可以將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機取一點，該區域內每個點被取到的可能性都相等，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某全子區域中的點.主要題型有：長度型、面積（體積）型、角度型、會面問題等，下面分別舉例說明.

1.長度型

根據不同的問題類型，長度之比可能體現為線段長度之比、弧長之比、時間長度之比、區間長度之比等.下面舉例說明.

例1.某人睡覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.

解：依題意，此人可能等待的時間0～60分鐘，當此人在每小時的50～60分某時刻醒來時，其等待時刻不多于10分鐘.

所以，等待的時間不多于10分鐘的概率為p=■=■.

例2.點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，求劣弧■的長度小于1的概率.

解析：設事件M為“劣弧■的長度小于1”，則滿足事件M的點B可以在定點A的兩側與定點A構成的弧長小于1的弧上隨機取一點，由幾何概型的概率公式得：P（M）=■.

例3.已知集合A{x|-1

解析：由題意得A={x|-1

例4.將長度為3cm的細鐵絲任意剪成兩段，A表示“較長的一段大于或等于較短一段的2倍”，求事件A的概率.

分析：可以把3cm長的鐵絲看做是長為3的線段CD，由于剪法的任意性，分點落在CD上任意一位置均可.當點落在CE或FD上時，事件A發生.

解：P（A）=■=■.

2.面積、體積型

例5.拋階磚游戲：參與者將手上的“金幣”拋落在離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的硬幣剛巧落在任何一個階磚的范圍內（不壓階磚相連的線）獲勝.當正方形階磚的邊長為5cm，金幣直徑為2.5cm時，請你計算“金幣”落在階磚范圍內的概率.

提示：圓心落在正中間邊長為2.5cm的正方形內，游戲獲勝.

解：設A=“金幣落在階磚內”，則

P（A）=■=■.

例6.一只蒼蠅在一棱長為60cm的正方體籠子里飛，蒼蠅距籠邊大于10cm的概率是多少？

答案：P=■=■.

例7.將長為1的棒任意地折成三段，求三段的長度都不超過■的概率.

解：設第一段的長度為x，第二段的長度為y，第三段的長度為1-x-y，則基本事件組所對應的幾何區域可表示為Ω={（x，y）|0

事件“三段的長度都不超過■”所對應的幾何區域可表示為A={（x，y）|（x，y）∈Ω，x<■，y<■，1-x-y<■}，此區域面積為■×（■）■=■.

此時事件“三段的長度都不超過■”的概率為P=■=■.

3.角度型

例8.過等腰Rt△ABC的直角頂點C任作射線CD交斜邊AB于D，求AD>AC的概率.

解：∵AC=AD，∠A=45°

∴∠ACD=67.5°

∴AD>AC的概率為：

P=■=■.

4.“會面”型

兩個對象會面問題屬于面積問題，三個對象會面問題屬于體積問題.

兩個對象相遇問題解題的關鍵是把兩個時間分別用x、y兩個坐標表示，構成平面內的點（x，y），從而把兩個一維的時間問題轉化為二維的面積問題，用面積比表示兩個對象相遇的概率.三個對象相遇問題類似地轉化為三維的體積問題求解.

例9.某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會在某天9點到10點之間的某一時刻到達該碼頭的同一個泊位，早到的外輪要在該泊位停靠20分鐘辦理完手續后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.

解析：設事件表示兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待，兩艘外輪到的時間分別為9點到10點之間的x分，y分，則

|x-y|≤20，0≤x，y≤60，即A=（x，y）|-20≤x-y≤200≤x≤600≤y≤60？搖，以9點為原點，建立平面直角坐標系如圖所示，事件所對應的區域如圖中陰影區域所示，所以其概率P（A）=陰影面積/ABCD面積=5/9.

以上是幾何概型中最典型的問題，即長度之比類型、面積（體積）之比類型、角度之比類型、會面問題類型，不管解決哪種類型問題，其關鍵都要選擇適當度量，使基本事件轉化為與之對應的總度量值，所求問題轉化隨機事件對應的子度量值，然后代入公式進行計算求解.特別要注意分析清楚，試驗的基本事件應該屬于與長度、面積（體積）還是角度，這樣才能尋到正確的解題方向，避免出現錯誤.