數(shù)感：數(shù)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的橋梁

邵文川

摘 要： 數(shù)感是我們既熟悉又陌生的概念。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。為了實(shí)現(xiàn)數(shù)與現(xiàn)實(shí)的連接，更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，這就要求教師在教學(xué)過程中緊密結(jié)合教材，靈活運(yùn)用溝通聯(lián)系、情境體驗(yàn)、多元表征、算法多樣、建構(gòu)模型等教學(xué)策略，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，把數(shù)感的培養(yǎng)落實(shí)到日常教學(xué)活動(dòng)中。

關(guān)鍵詞： 數(shù)感 聯(lián)系 體驗(yàn) 表征 模型

人們?cè)谌粘Ｉ钪谐３Ｒc各種各樣的數(shù)打交道，這時(shí)總會(huì)有意識(shí)地將一些現(xiàn)象與數(shù)量建立聯(lián)系，如走進(jìn)一個(gè)會(huì)場，在我們面前的兩個(gè)集合，一個(gè)是會(huì)場的座位，一個(gè)是出席的人。有人會(huì)自然地將這兩個(gè)集合做一下比較，不用計(jì)數(shù)就可以知道這兩個(gè)集合是否相等，哪個(gè)集合大一些，大到什么程度，這就是數(shù)感在起作用[1]。

數(shù)感是我們既熟悉又陌生的概念。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中關(guān)于數(shù)感的論述是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”

可見，數(shù)感強(qiáng)調(diào)的是一種感悟。在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，我們不僅要讓學(xué)生感悟“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”，還要讓學(xué)生感悟“抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的”[2]。可見，數(shù)感是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題建立聯(lián)系的橋梁。

那么，在日常教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)數(shù)與現(xiàn)實(shí)的連接，更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)感呢？結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為可以運(yùn)用溝通聯(lián)系、情境體驗(yàn)、多元表征、算法多樣、建構(gòu)模型等教學(xué)策略，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。

一、溝通聯(lián)系，建立數(shù)感

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，所有數(shù)學(xué)知識(shí)都是經(jīng)過抽象得到的。例如，現(xiàn)實(shí)生活中不存在純粹的點(diǎn)、線、三角形，它們都是從客觀世界中大小不一的點(diǎn)、粗細(xì)不同的線、形狀各異的三角形物體中提取出的“理想化”的思維產(chǎn)物。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要善于將數(shù)學(xué)與實(shí)際背景聯(lián)系起來，溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

如，人教版一年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“1—5的認(rèn)識(shí)”。

教學(xué)時(shí)，首先要讓學(xué)生感受到，每個(gè)數(shù)都是在數(shù)幾個(gè)具體的人或物的基礎(chǔ)上抽象出來的。如教學(xué)“1”時(shí)，要讓學(xué)生數(shù)1個(gè)奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米等；教學(xué)“2”時(shí)，要讓學(xué)生數(shù)2只鵝、2個(gè)盤子、2個(gè)筐等。學(xué)生通過數(shù)物體，親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，感悟到抽象出的“1”和“2”來源于客觀世界，學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀事物的“理想化”的思維產(chǎn)物。同時(shí)還要讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)從抽象回到具體的過程。如當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了1—5之后，可以讓學(xué)生分別拿出數(shù)量是1、2、3、4、5的小棒并用數(shù)量2、3、4、5的小棒，擺出自己喜歡的圖形，然后在全班展示、交流。這樣的教學(xué)，能及時(shí)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，讓學(xué)生感悟到抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的。

上述教學(xué)過程，可以幫助學(xué)生完成由具體到抽象，再由抽象到具體的認(rèn)知過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生很好地建立數(shù)感。

二、情境體驗(yàn)，豐富數(shù)感

數(shù)學(xué)來源于生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感離不開學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)，我們要從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)入手，創(chuàng)設(shè)與知識(shí)背景相關(guān)的生活情境，讓學(xué)生在具體的實(shí)物數(shù)量或問題情境中充分感知、積極體驗(yàn)、主動(dòng)建構(gòu)，從而使學(xué)生更具體更深刻地把握數(shù)概念，更好地豐富學(xué)生的數(shù)感。

【案例1】[3]

在教學(xué)人教版二年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)1000”時(shí)，由于二年級(jí)學(xué)生的生活經(jīng)歷還不十分豐富，認(rèn)識(shí)1000這個(gè)較大的數(shù)還是比較困難的，因此可以把認(rèn)識(shí)1000作為認(rèn)識(shí)大數(shù)的開始。此時(shí)可以組織一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)。

課前先把班級(jí)學(xué)生分為六個(gè)小組，每兩個(gè)小組承擔(dān)下面任務(wù)之一。

A組通過調(diào)查說明：1000是一個(gè)不大的數(shù)；

B組通過調(diào)查說明：1000是一個(gè)不小的數(shù)；

C組通過調(diào)查說明：1000是一個(gè)很大的數(shù)。

課前引導(dǎo)每一個(gè)小組制訂調(diào)查計(jì)劃，并且在課前完成調(diào)查。在綜合與實(shí)踐課上，讓每一小組介紹調(diào)查的結(jié)果，并且發(fā)表感想。無論是制訂計(jì)劃還是發(fā)表感想，教師都應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)指導(dǎo)。比如，學(xué)生可以制訂下面的計(jì)劃、發(fā)表相應(yīng)的感想：

承擔(dān)第一項(xiàng)任務(wù)的小組，可以計(jì)劃：數(shù)出1000粒小米、大米或者黃豆，發(fā)現(xiàn)并沒有想象的那么多；測(cè)量1000毫米的距離，發(fā)現(xiàn)1000毫米并不很長。

承擔(dān)第二項(xiàng)任務(wù)的小組，可以計(jì)劃：到超市調(diào)查1000元錢可以購買的東西，發(fā)現(xiàn)數(shù)量比較大、或者東西比較貴重，知道1000元錢不少；測(cè)量1000米的距離，發(fā)現(xiàn)1000米并不短。

承擔(dān)第三項(xiàng)任務(wù)的小組，可以計(jì)劃：從樓房的高度推測(cè)1000米的山有多高，發(fā)現(xiàn)1000米的高度很高，還可以進(jìn)一步調(diào)查本省高于1000米的山峰有多少；從停車場一輛汽車所占面積推測(cè)1000輛汽車所占面積，發(fā)現(xiàn)占地面積相當(dāng)大。

在學(xué)生匯報(bào)的基礎(chǔ)上，教師的總結(jié)：同樣是1000這個(gè)數(shù)，用在不同的情境給人的感覺是不一樣的，因此在實(shí)際生活中應(yīng)當(dāng)把數(shù)與數(shù)所表達(dá)的情境結(jié)合起來。

這樣的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景中充分感知、深刻體驗(yàn)到生活中的數(shù)，通過1000感悟生活中的大數(shù)，豐富了學(xué)生的數(shù)感。

三、多元表征，增強(qiáng)數(shù)感

當(dāng)知識(shí)被從現(xiàn)實(shí)原型抽象出來時(shí)，就形成知識(shí)的內(nèi)核，同時(shí)也就失去了知識(shí)形成過程的火熱活動(dòng)。如何對(duì)知識(shí)進(jìn)行深刻的理解，即賦予意義，只有將其納入學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中才能實(shí)現(xiàn)，這個(gè)過程的消化吸收，離不開對(duì)知識(shí)的多元表征。教學(xué)中，要盡量引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行多元表征，形成自己獨(dú)特的理解，進(jìn)行個(gè)性化的知識(shí)建構(gòu)，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)實(shí)質(zhì)的思考。

如，教學(xué)人教版一年級(jí)上冊(cè)“比大小”時(shí)，當(dāng)學(xué)生在“誰能通過擺一擺、排一排，讓別人一下子就能看清楚猴子分別和三種水果的多少情況？”這一問題的啟發(fā)下，擺出有序的象形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)（如圖1），教師應(yīng)及時(shí)啟發(fā)學(xué)生用不同形式表征比較的結(jié)果：首先可以用文字表征比大小的結(jié)果（如圖2），這樣能夠溝通文字與圖形之間的關(guān)系；接著可以用符號(hào)表征比大小的結(jié)果（如圖3），這樣能夠溝通符號(hào)與文字、圖形之間的關(guān)系。

圖1 象形統(tǒng)計(jì)圖

圖2 文字表征

圖3 符號(hào)表征

通過對(duì)“比較結(jié)果”的多元表征，促使學(xué)生更全面深刻地把握住“比大小”的實(shí)質(zhì)，增強(qiáng)了數(shù)感。

再如，人教版三年級(jí)上冊(cè)“幾分之一”。教學(xué)時(shí)，可以先按教材創(chuàng)設(shè)的情景，在4次平均分物活動(dòng)過程中，依次畫出圖示，再分別給出分?jǐn)?shù)1/2、1/4、1/3、1/5的“符號(hào)”；接著再讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)：拿一張正方形的紙折一折，表示它的1/4。反觀這一教學(xué)過程，可以發(fā)現(xiàn)執(zhí)教者能充分考慮操作、圖形、符號(hào)等表征方式的關(guān)系，并注重它們之間的轉(zhuǎn)換，既幫助學(xué)生讀懂操作過程和圖示，會(huì)用符號(hào)表示；又能根據(jù)符號(hào)，用操作活動(dòng)和圖示進(jìn)行解釋。

學(xué)生通過不同的方式表征同一概念的能力，即表征轉(zhuǎn)換能力，代表學(xué)生對(duì)概念的理解水平。教學(xué)時(shí)，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生，通過多種表征方式，建構(gòu)個(gè)性化的知識(shí)，提升思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)感。

四、算法多樣，培養(yǎng)數(shù)感

在解決問題的過程中，由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的。教學(xué)時(shí)，教師要尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡算法多樣化。

如，教學(xué)一年級(jí)上冊(cè)“8+9”例題時(shí)，可以先出示8+9，放手讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，然后匯報(bào)交流、展示多種不同的計(jì)算方法（三種不同的計(jì)算方法：把8湊成10；把9湊成10；根據(jù)9+8=17，想出8+9=17的算法）。通過同學(xué)之間的交流互動(dòng)，讓學(xué)生了解計(jì)算的多種方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主建構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感。

又如，在解決“星光小學(xué)有25個(gè)同學(xué)到游樂場游玩，游樂場里每架空中飛機(jī)最多可乘坐4人，他們想同時(shí)乘坐空中飛機(jī)，至少需要乘坐幾架空中飛機(jī)？怎樣乘坐合理？”這一現(xiàn)實(shí)生活問題時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具有乘坐空中飛機(jī)的生活經(jīng)驗(yàn)，所以在解答本題時(shí)，學(xué)生并不是簡單地計(jì)算25/4=6……1，而是能夠主動(dòng)結(jié)合問題的實(shí)際背景，深刻地領(lǐng)悟到商6和余下的1的具體含義，即6表示6架空中飛機(jī)，1表示如果6架空中飛機(jī)都坐滿4個(gè)人，還剩1個(gè)人也需要一架空中飛機(jī)，因此需要7架空中飛機(jī)才可以。同時(shí)在面對(duì)這個(gè)實(shí)際問題時(shí)，這只是一種解決問題的方法，還可以有4架乘坐4人，3架乘坐3人；或5架乘坐4人，1架乘坐3人，1架乘坐2人等解決方法。像這樣，學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，能結(jié)合具體的問題情境選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ǎ袑?shí)了解計(jì)算的意義和如何運(yùn)用計(jì)算的結(jié)果，很好地培養(yǎng)了數(shù)感。

五、建構(gòu)模型，發(fā)展數(shù)感

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別重視培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，即“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。要使學(xué)生學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問題，從一個(gè)復(fù)雜的情景中提出問題，找出數(shù)學(xué)模型，需要具備一定的數(shù)感，需要學(xué)生在遇到具體問題時(shí)，能自覺主動(dòng)地與一定的數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，這樣才有可能建構(gòu)與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型。

如，學(xué)習(xí)了“比和比例”的知識(shí)后，張老師在一個(gè)晴天的上午第四節(jié)課將全班學(xué)生帶到操場上，指著高高的旗桿問學(xué)生：“誰能知道我們學(xué)校旗桿的高度？”這是一個(gè)實(shí)際問題，如果學(xué)生不能自覺地將問題與學(xué)過的解比例的知識(shí)建立聯(lián)系，建構(gòu)與實(shí)際問題相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，就無法順利地解決問題。此時(shí)，有的學(xué)生猜測(cè)旗桿高度可能有10米、15米、20米；有的學(xué)生認(rèn)為可以爬上旗桿的頂部，從頂部垂下繩子進(jìn)行測(cè)量；有的學(xué)生認(rèn)為干脆把旗桿放倒后再測(cè)量……更多的同學(xué)搖搖頭，表示無從下手。這時(shí)，張老師把早已準(zhǔn)備好的一根2米長的竹竿筆直地立在操場上，地上立即出現(xiàn)竹竿的影子，然后啟發(fā)大家觀察竹竿的長與影子的長有什么關(guān)系？同學(xué)們開始議論紛紛，有的同學(xué)立即聯(lián)想到剛學(xué)過的“比和比例”的知識(shí)，很快就找到解決問題的方法。

將實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再聯(lián)想數(shù)學(xué)模型解決，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考問題，把數(shù)感的建立與數(shù)量關(guān)系的理解及數(shù)學(xué)模型結(jié)合起來，長期堅(jiān)持這樣教學(xué)，必定能發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，提升學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

綜上所述，數(shù)感的培養(yǎng)有利于溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問題，有利于學(xué)生提出問題和解決問題能力的提高。當(dāng)然，學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，而是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗(yàn)和建立起來的。因此，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)過程中，要緊密結(jié)合教材，靈活運(yùn)用溝通聯(lián)系、情境體驗(yàn)、多元表征、算法多樣、建構(gòu)模型等教學(xué)策略，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，讓數(shù)感的培養(yǎng)真正落實(shí)到日常教學(xué)活動(dòng)中。

參考文獻(xiàn)：

[1][美]T.丹尼克.數(shù)——科學(xué)的語言[M].北京：商務(wù)印書館，1985.

[2]史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)核心問題：基本概念與運(yùn)算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.5.

[3]史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)核心問題：基本概念與運(yùn)算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.5.