構造性方法在高中數學解題中的應用

李斌

【摘 要】構造法是一種富有創造性的解題方法，對培養學生的創造性思維有著重要意義。 新一輪的課程改革增加了向量、概率、算法、微積分等知識，并強調數學知識點的相互融合，這使構造法的應用更加廣泛。綜合相關文獻資料發現，廣大教育工作者已經對構造法解題的基本類型、構造法的功能及構造法對思維能力的培養有了廣泛的研究，但針對新教材中的新內容卻很少涉及。文章通過對向量、概率、算法、微積分等七塊知識點的舉例研究，初步探討構造法在高中數學解題中的應用。

【關鍵詞】構造法 高中數學 新教材 解題

1構造思想與構造法

構造思想是一種數學思想，它用構造的策略來解決問題，反映了構造法的實質。構造法是一種數學方法，是采用構造的方法去執行這種策略的具體手段。其實質構造思想與構造法互為表里，在數學活動中的表現形態不具備明確的界限，故統稱為構造思想方法，簡稱構造性方法。

構造性方法的實質就是依據某些數學問題的條件或結論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數學關系為“支架”，在思維中構造出一種相關的數學對象、一種新的數學形式，從而使問題轉化并解決的方法。

2怎樣用構造法解題

數學解題方法形式多樣，種類繁多，構造性解題方法就是其中一種。“構造”是一種重要而靈活的思維方式，它沒有固定的模式。要用好這一方法，需要有敏銳的觀察、豐富的聯想、靈活的構思、創造性的思維等能力。構造性解題方法很好地體現了數形結合、類比、轉化等數學思想，也滲透了猜想、換元、歸納概括、特殊化等重要的數學方法。

應用構造法解題的關鍵有以下幾點：

（1）要有扎實的數學基礎知識。使用構造法解題是對已有知識和方法采取分解、組合、變換、類比、限定、推廣等手段進行思維的再創造，構成新的式子或圖形來幫助解題。因此已有的知識和方法必須豐富、扎實。

（2）要有明確的方向，即要明確為了解決什么問題而建立一個相關的構造。一般的，在解題過程中，根據所給命題的題設條件或結論的結構特征，利用多種知識的內在聯系，或形式上的某種相似性，有目的地構造一個相應的數學模型，使原命題轉化為一個與之等價卻又具有某種被賦予特定意義的命題，通過對它的討論而使原命題得到解決。

（3）要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯整合。用構造法解題有兩種結果：一種是通過構造某個模型直接得到答案；另一種是把構造出的模型應用于已知條件中，從而得到答案。因此，要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯整合。

3構造法在高中數學新教材各類型內容中的應用

2003年我國頒布了《普通高中數學課程標準》，這一次數學課程改革，使得數學課程在教學內容上發生了很大的變化。它削減了數列極限、函數極限、數學歸納法、二項式定理、復數等內容，降低了解析幾何的難度，增加了冪函數、用向量方法證幾何題、算法、條件概率、幾何概型、微積分等內容。

構造法是一種創造性的解題方法，在函數、向量、幾何、算法等內容中都有著廣泛的應用，所以我相信，用構造法解題會越來越普遍，成為一種師生所熟練應用的解題方法。下面筆者針對新教材中改動較多的內容，分類舉例，體現構造法在解題中的應用。

3.1 構造法在函數中的應用

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，它貫穿高中數學課程的始終。因此，無論是用構造法解函數題還是構造函數解其他題目，都有著廣泛的應用。對于某個函數題，找不到已知條件與未知量的直接關系，或者想到一道與此題相似的題目，但需要引進輔助元素，此時就要考慮用構造法解函數題；對于某些問題，可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數，從而利用函數性質解決問題。

3.2 構造法在解析幾何中的應用

解析幾何往往是學生很怕遇到的題目，因為它綜合性強，數形結合緊密。尤其是圓錐曲線方程，經過人為雕琢，經常作為高考壓軸題，難度非常高。新課改降低了解析幾何中二次曲線的要求，以掌握基本的幾何知識為主，不必在一些人為的難題上逗留。但新課程改革強調數學的各部分知識都應該緊密結合，不能幾何是幾何，代數是代數。所以解析幾何和代數的聯系會更加緊密。我們可以用解析幾何的知識去解代數題，也可以用代數的知識去解解析幾何題。

4總結與思考

構造法在高中數學解題中的應用非常廣泛，不論是添加輔助線還是利用數形結合的數學思想，都會用到構造思想。尤其在新教材中，增加了向量與空間幾何、概率、算法、微積分等知識，用向量來證幾何題要構造向量；用幾何模型求概率要構造二維坐標；用計算機幫助解決繁難問題要構造算法；求圖形的面積要構造微積分，這使構造法在高中數學解題中的應用更加廣泛。而且新課標還指出：“要將數學的知識點融合在一起，不能代數就是代數，幾何就是幾何。”這要求我們將幾何與代數整合起來，在適當的時候利用代數的知識解決幾何問題，例如構造向量證幾何題、構造不等式做解析幾何題等；也可以利用幾何的知識解決代數問題，例如構造二維坐標求概率、構造直線與點證不等式等。

通過對構造法解題的探討，可以得出以下幾點深刻的思想啟示：

（1）構造思想在解決數學問題中起到化簡、轉化和橋梁作用，要運用這種方法，就要求掌握各種基本方法，分析題目特點，進行創造性聯想。

（2）運用構造法解決問題，可以使數學各分支知識相互滲透，有利于提高分析問題和解決問題的能力。

（3）數學各分支知識為構造法解題提供了廣闊而豐富的背景，構造方式是最為重要的，有必要留意體會和理解記憶所構造成的輔助元素的含義和作用，以便在數學研究和教學中重視掌握這一獨特有效的方法。