本原性教學：數學教學的理性回歸

趙兆兵

[摘 要]“本原性教學”意味著教學回歸“本原”，追問教學的本質，這不僅是對數學教學現實的一種糾偏，更是對學科教學深層的本質性的一種追尋。它是一種教學的方式，一種教學設計的理念，也是一種思考教學的方式。本原性教學的課堂實踐要立足數學視野，分析教學內容；站到兒童立場，構建整體框架；回到教學場域，把握關鍵事件。

[關鍵詞]本原 數學教學 教學內容 整體框架 關鍵事件

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）29-012

夏丏尊先生在《愛的教育》譯者序言中有這樣一段文字：“學校教育到了現在，真空虛極了。單從外形的制度上、方法上，走馬燈似的變更迎合，而于教育的生命的某物，從未聞有人培養顧及。好像掘池，有人說四方形好，有人又說圓形好，朝三暮四地改個不休，而于池的所以為池的要素的水，反無人注意。”夏先生在這里說的是教育，其實，數學教學又何嘗不是如此！過分追求教學外在的“形式”，而不關注教學內容的本質，只為演繹所謂“教”的精彩，而不關心學生真實的想法，一味跟風模仿，迎合新的理念，缺少自己獨立的價值判斷與理性思考，教學正與我們的“初衷”漸行漸遠，變成一個“沒有了水的池塘”。“洞見或透識隱藏于深處的棘手問題是很難的，因為如果只是把握這一棘手問題的表層，它就會維持原狀，仍然得不到解決。因此，我們開始以一種新的方式來思考。”顯然，數學教學亟需回歸本原，追尋本原性的學科教學！

一、數學“本原性教學”的內涵詮釋

“本原”字典中的解釋是根本，事物的最重要部分。哲學上指萬物的最初根源，世界的來源和存在的根據。哲學中對“本原”的思考表現為一種刨根問底的探詢精神，始終把理解世界的“終極存在”、“始基”、“初限”或構成世界的“元素”作為哲學研究中的首要問題。

借用哲學中對“本原”的理解和思考方式，我們嘗試提出一種“本原性教學”的設想，即教師始終把某個數學問題中最為原始、樸素、本質的觀念、思想和方法作為思考的首要問題。緊扣教學內容的數學本質設計教學任務，引導學生在交往互動的過程中獲得知識建構和能力提升，形成良好學科觀念的一種教學方式。

作為一種理想的教學形式，本原性教學意味著教學要凸顯教學內容的數學本質。把師生的“眼光”都聚焦到對所教和所學內容的數學本質的探詢、理解和創造上來，而把對技能、技巧的訓練和對經驗、情景的設計等視為其必要的“背景”，讓課堂充滿數學的“本味”。

作為一種教學設計的理念，本原性教學意味著教學應扎根于學生的常識和經驗。關注其最原初、樸素的想法和真實的思維狀態，讓學生經歷數學知識“再創造”的過程，不斷提升學生數學理解的水平，發展數學核心素養。

作為一種動態的思考教學的方式，本原性教學意味著要重塑教師的教育哲學。運用哲學中對“本原”進行連續不斷地追問和探詢的方式思考數學及其教學，讓師生共同體會到教學主題的數學本質、原初觀念和核心思想，形成批判的意識和獨立思考的精神。

總之，本原性教學意味回歸“本原”，追問教學的本質。這不僅是對數學教學現實的一種糾偏，更是對學科教學深層的本質性的一種追尋。

二、數學“本原性教學”的實踐建構

理念是一種莊嚴的理想，一種在經驗中無法遇見的完美性的概念。理念只有在具體的實踐中才能體現價值。作為追尋教學本質中一種完美設想，本原性教學如何在具體的課堂實踐中落地生根，真正成為一種行之有效，并能夠引導課堂教學的核心觀念。下面結合教學實踐談一些粗淺的做法。

（一）立足數學視野，分析教學內容

數學課中“數學味”流失的一種重要原因，就是教師缺失清晰的從數學角度考量教學的意識與視野！數學知識的教學，不僅僅是單一的、靜態的符號形式，更是數學思想方法、語言、文化的整體的、動態的綜合體現，學生數學素養的提升，必須在經歷數學知識的探索過程中，感悟知識，形成技能，體驗思想方法，獲得積極的情感體驗。因此，教學分析不能僅僅限于教學方法的層面，還需要揭示數學本質，從數學內容上進行提升！有效的教學依賴于教師對數學本質的“深度理解”。

1.探詢教學內容的本真意義

課改以來，教材編寫有一個顯著的特點，就是調強“數學生活化”，借助“生活原型”幫助學生理解“數學概念”，應該說這個基本出發點是好的。但是，如果教師不能清醒地認識到，學生在日常生活中自由生成的“純經驗”型的數學信息與真正意義上的“數學概念”之間的本質區別，而只是一味停留在“情境”的層面展開教學，那么數學內涵的流失將成為一種必然！

以“三角形的高”教學為例，什么是三角形的高？三角形的“高”與日常生活中的“高”的內涵是一回事嗎？教材中從“人字梁”模型引入對學生理解三角形的高有沒有負面的干擾？事實上，三角形的高更應該是數學上量化三角形的一個“參數”，跟長方形中的“長”和“寬”是類似的概念，而生活中的“高”多是豎直方向上物體的高度。清楚地認識這一點，教學中顯然就不應過分糾結是用“人字梁”這樣的素材，還是創設“小松鼠把三角形的蛋糕推進樹洞”的情境，而應該讓學生真切感受到“高”引入的數學價值，是數學中量化地研究圖形的需要。

對教學內容中數學本質的探詢，意味著教師要追問“生活數學”與“學校數學”的分野，從學科上對教學內容的本質有一個整體認識和定位，構建 “數學教學內容知識（MPCK）”體系，形成自己對數學教學目的的統領性觀念。

2.把脈教學內容的思想軌跡

依托教材分析教學內容，有兩條“主線”值得我們深思。一條是數學知識體系的“明線”，它明明白白呈現在教材的例題中；另一條是隱含在知識體系中的思想方法——“暗線”。在“有形”的數學知識中蘊含著“無形”的思想方法，需要我們透過具體的知識內容，把脈教學整體的思想軌跡。

以“用數對確定位置”教學為例，有教師認為：學生在考試里“行”和“列”容易出錯，因此在教學中想方設法進行強調，讓學生反復操練以期取得良好效果。然而細細想來，“先列后行”真有那么重要，值得如此大費周張嗎？事實上，透過“用數對確定位置”的知識表層，“一一對應”的思想赫然在目！一個數對只能表示平面上一個點的位置，一個點只要也只能有唯一的數對表示。再進一步思考，什么時候，我們只用一個數字，就能確定一個點位置？如果要確定魔方上一個小方塊的位置，用兩個數組成數對還行嗎？數學味的核心自然是數學，但絕對不是純粹的數學知識與技能，而是富有文化色彩的帶有鮮明數學特性的整體感。誠如教育家米山國藏所言：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益。”

3.對接教學內容的思維方式

數學學習中每一個新的領域，都意味著一種新的思維方式。因此，教學不僅是建構知識發展能力，更重要的是讓學生實現思維方式的轉變，實現由知識教學向智慧教學的跨越。波利亞指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷。”數學史對教學的借鑒意義，一個重要的方面就是對知識背后的思維歷程的理解和把握。

以“用字母表示數”的教學為例，教材（蘇教版）的例題是這樣呈現的：擺1個三角形用3根小棒，擺2個三角形用6根小棒，擺3個三角形、4個三角形呢？擺n個三角形呢？用字母表示是“n×3”。教學時，如果只是按照這樣的順序展開，課堂無疑是“順暢”的，但這里的“順暢”只是假象，因為教學沒有觸及所教內容的根本。那么問題出在哪里呢？其實“用字母表示數”的教學本質在于學生思維方式的轉變，即從學生熟悉的算術思維向代數思維的轉換。顯然，這樣的轉換對學生來說并不是一件容易的事件，這也是造成學生填寫“青蛙歌”時教學尷尬的重要原因。為此，教學的重構意味著讓學生感受到“n×3”不僅是一個算式，也能表示一個結果，并通過不斷由“過程”到“對象”的“凝聚”的過程中，讓學生體會到用字母表示數的本質。

（二）站在兒童立場，構建整體框架

小學數學的本質是“兒童數學”。兒童學習數學一直以來都有其自身的方式，這是由兒童的生理和心理的特征決定的。教學中，如果片面凸顯數學之于教學的意義，一味地追求教學的深度，對于兒童來說，無疑是一場學習的災難。弗賴登塔爾認為：“學習數學的唯一正確的方法是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發現或創造出來。”由此，真正意義上的教學是“數學味”與“兒童性”之間的一種平衡，是教學整體框架下兒童的內在生長與自我完善。

1.從兒童的經驗出發

數學知識不僅包括被整個數學共同體所認同的“客觀性知識”（科學形態的表征），還包括從屬于學生自己的“主觀性知識”（個體認識的表征），即帶有鮮明個體認知特征的“數學經驗”。學生的數學經驗反映了其對數學的真實理解。站在兒童立場，意味著數學教學應當植根于兒童經驗，呈現兒童經驗，發展兒童經驗。

在“折線統計圖”的教學中，我首先呈現條形統計圖并進行分析，激活學生已有的數學經驗；然后引導學生從整體上觀察條形統計圖，并用手比畫氣溫的變化趨勢，同步畫出軌跡，把條形的頂端簡化為一個點，自然引入折線統計圖；在此基礎上引導學生比較兩者的異同，突出折線統計圖的特點。這樣的教學利用學生已有的數學經驗，使學生對折線統計圖的特點理解更加深入。

2.向數學的本質邁進

一味迷信“經驗”，過度向兒童的興趣妥協，會讓教學迷失方向！數學學習是讓學生經歷“數學化”的過程，這其中既包括橫向數學化，也包括縱向數學化。橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，而在“符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”，則是縱向數學化。

以“復式統計表”教學為例，從兒童的經驗出發，創設真實的問題情境，引導兒童體會單式統計表的局限性是教學的必然之意。然而，如果接下來還是按教材的設計呈現復式統計表，讓學生填寫數據的話，教學便失去了應有的味道！換一種思路，讓學生在親身經歷“合并”到“優化”，體會復式統計表的創生過程，學生對復式統計表的結構理解，對復式統計表獨特的價值理解會不會更加的深刻？其實兒童與其說是“學習數學”，毋寧說是兒童經驗的“數學化”。

（三）回到教學場域，把握關鍵性事件

學習是一種內部過程，但它受外部的刺激或事件的影響。我們把對學生學習內部進程有重大影響的事件稱為教學中的“關鍵性事件”。把握教學中關鍵性事件有兩種不同的視野。第一種是我們常見的教學重點、難點分析。“重點”針對的是教學內容，即什么是學生必須掌握的內容要點，教師要把教學重心放在哪里，反映的是學科課程論。“難點”主要是針對學生的學習過程而言，即學生可能存在的認知困難，反映的是學科學習論。第二種則來自對教學互動過程中“有意義事件”的辨別。其實，事件本身沒有關鍵與非關鍵之分，重要的是教師對所發生的事件的判斷和理解。

1.生成教學的“核心問題”

教學不能總是“在木板最薄弱的地方釘無數個釘，卻在木板最堅固的地方無所為”。現實的課堂中“教師教得有模有樣，學生學得糊里糊涂”一個最根本的原因就是“核心問題”的缺失！用一句詩來說就是“你教或者不教，難點就在哪兒，不增不減！”教學的關鍵在于“學習共同體”的建立，而這主要取決于“核心問題”的生成，只有真正進入師生視域交集中的問題才能成為教學的“核心問題”。

2.重塑教學的“對話品格”

教學的本質是思維對話。“對話不是單純的言語應答，而是各種價值相等、意義平等的意識主體相互作用的一種形式。”英國思想家戴維·伯姆認為，“對話仿佛是一種流淌于人與人之間的意義溪流，它使所有對話者都能夠參與和分享這一意義之溪，并因此能夠在群體中萌生新的理解和共識。”

【教學片段】折線統計圖

師（故意設疑）：現在大家都會看折線統計圖了嗎？什么樣的折線統計圖都能看懂嗎？

生：能。

師：那我們來看一看這張統計圖。

生（驚奇）：這是什么統計圖啊？

師：不是說能看懂嗎？怎么都不說了呢？

生1：這個統計圖沒有標題，也沒有數據，我們怎么知道統計的是什么呀？

師：是啊！沒有標題和數據，確實不知道統計的是什么。但我們可以來猜一猜！有三個同學猜測的結果是這樣的。

課件出示：A同學：蘇州市1～5月份的平均氣溫；

B同學：某同學跳繩后5分鐘的心跳次數；

C同學：某同學最近5次數學測試的成績。

師：你覺得哪個同學的猜測比較合理呢？

生2：我認為B同學的比較合理。我們跳繩后開始心跳得比較快，后來就平靜了下來，所以5分鐘心跳的次數比較合理。

師：為什么不選A呢？

生2：蘇州市1～5月份的平均氣溫應該是越來越高。折線應該上升而不應該是下降，所以A不可能。

生3：我們認為C也有可能。

師：為什么？如果是C的話，你覺得這個同學的成績怎么樣？

生：不好，很差！

師：那如果是你的成績，你覺得折線應該是什么樣子的呢？

（學生用手從低到高比劃折線的變化趨勢）

師（微笑）：是這樣嗎？想好了嗎？

生4：不對，不對！，我認為應該是這樣——（用手沿水平方向比劃）

師：什么意思？

生4：每次都是100分。（眾生大笑）

上述案例中，圍繞“這幅統計圖統計的是什么呢？”“你覺得哪個同學的猜測比較合理？”“如果是你的成績，你覺得折線應該是什么樣的呢？”等問題，教師一步一步地將學生的思考引向深入，在尋找與折線統計圖相吻合的數據的過程中，深化學生對折線與數據之間對應關系的理解，同時，不完整的統計圖將學生思維進一步聚焦到“折線”上來。對“折線”特征的分析過程，其實就是對“折線”中蘊涵的豐富信息的解讀過程，而這恰恰是學生數據分析觀念的核心所在。

課堂對話永遠充滿著精彩的未知與可能，教學中的對話不是漫無目的的閑談，而是教師、學生、數學之間“視界融合”的過程，是意義不斷創造與生成的過程。重塑教學的對話品性，意味著對話要圍繞教學的核心問題展開，并推進教學活動不斷成為學生發展中的關鍵性事件。

“本原”原本是哲學研究中的一個冷峻字眼，但它同時把我們帶入了一個追求本質、回歸原初的境界。數學教學不應該是日復一日地重復某種固定的“模式”，因為教學經驗的嫻熟并不一定代表教學的進步。追問實踐、澄清理念、重寫自己的教育哲學，或許，對于“本原性教學”的追求只是個美好愿望，但誰又能不懷揣著愿望前行呢？

（責編 金 鈴）