高中函數(shù)的對(duì)稱性問題

王麗云

摘要：在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)中，對(duì)教材分析、函數(shù)的性質(zhì)，其著重點(diǎn)是單調(diào)性、奇偶性、周期性，而在考試測(cè)驗(yàn)中，把高考中的函數(shù)對(duì)稱性、連續(xù)性、凹凸性也進(jìn)行了考查。主要研究了函數(shù)的對(duì)稱性以及對(duì)稱軸的選擇。本文結(jié)合實(shí)踐從以下幾個(gè)方面闡述一下如何提高解決高中階段函數(shù)對(duì)稱性問題的措施。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 對(duì)稱性 應(yīng)用

一、對(duì)稱性的定義

（一）對(duì)稱性的定義

1.函數(shù)軸對(duì)稱。對(duì)于函數(shù)的軸對(duì)稱，我們通常的教法就是讓學(xué)生找到一條可以將圖像完全對(duì)折的直線，這個(gè)圖像就是軸對(duì)稱的函數(shù)，而這條直線就是這個(gè)函數(shù)的一條對(duì)稱軸。

2.中心對(duì)稱。對(duì)于一個(gè)函數(shù)的圖像，若以一個(gè)點(diǎn)為中心去旋轉(zhuǎn)，即180度角。在這樣的情況下得到了一個(gè)圖像，把這個(gè)圖像和原函數(shù)的圖去比較，若重合在一起。那么，它就是一個(gè)中心對(duì)稱的函數(shù)，我們把這個(gè)點(diǎn)稱為函數(shù)的對(duì)稱中心。

（二）函數(shù)對(duì)稱性條件

根據(jù)定理1：若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則其充要條件是f（x）+f（-x）=0，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。

而定理2：若函數(shù)y=f（x，其）圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱，則其充要條件是f（x）=f（-x），那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。

對(duì)于定理3：若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則充要條件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）

而定理4：若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，則其充要條件是f（a+x）=-f（a-x）即f（x）=-f（2a-x）

所以，根據(jù)以上推理可以得到結(jié)論，即若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱，則其充要條件是f（a+x）-b=-[f（a-x）-b]，證明其成立的過程如下：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）是關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱，點(diǎn)P′（2a-x，2b-y）是在y=f（x）圖像上的點(diǎn)，所以，2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b，所以，f（x）+f（2a-x）=2b;而設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，那么，y0=f（x0），因?yàn)閒（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。所以，點(diǎn)P′（2a-x0，2b-y0）也是y=f（x）圖像上的一點(diǎn)，而對(duì)于點(diǎn)P是關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱與點(diǎn)P。

（三）常見函數(shù)的對(duì)稱性

我們比較常見的函數(shù)，存在對(duì)稱性的有以下幾種。

1.常數(shù)函數(shù)。對(duì)于這種函數(shù)，其屬于軸對(duì)稱和中心對(duì)稱函數(shù)，在其直線上的任何一點(diǎn)都是它的對(duì)稱的中心，而把垂直于這個(gè)直線的直線叫做它的對(duì)稱軸。

2.一次函數(shù)。對(duì)于這類函數(shù)，也是軸對(duì)稱、中心對(duì)稱函數(shù)，在直線上的任何一點(diǎn)都是它對(duì)稱的中心，而垂直與這個(gè)直線的直線都叫做它的對(duì)稱軸。

3.二次函數(shù)。對(duì)于這個(gè)函數(shù)，屬于軸對(duì)稱函數(shù)，不屬于中心對(duì)稱函數(shù)，則其函數(shù)方程是x=-b/（2a）。

4.反比例函數(shù)，對(duì)于這個(gè)函數(shù)來說，其屬于軸對(duì)稱、中心對(duì)稱函數(shù)，把原點(diǎn)作為其對(duì)稱的中心，即y=x;y=-x都是它的對(duì)稱軸。

5.指數(shù)函數(shù)。對(duì)于這個(gè)函數(shù)，其不屬于軸對(duì)稱函數(shù)，也不屬于中心對(duì)稱函數(shù)。

6.對(duì)數(shù)函數(shù)。這個(gè)函數(shù)不屬于軸對(duì)稱、中心對(duì)稱函數(shù)。

7.冪函數(shù)。在冪函數(shù)中，往往奇函數(shù)屬于中心對(duì)稱的函數(shù)，而對(duì)稱中心為原點(diǎn)的點(diǎn);在冪函數(shù)中，其偶函數(shù)為軸對(duì)稱的函數(shù)，則對(duì)稱軸為y軸;對(duì)于其他的冪函數(shù)，往往不是對(duì)稱性的函數(shù)。

另外，還有正弦函數(shù)、正弦型函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、對(duì)號(hào)函數(shù)、對(duì)號(hào)函數(shù)，以及三次函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)就不再一一敘述。

二、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）=（？）

（A）0.5、（B）-0.5、（C）1.5、（D）-1.5

解：因?yàn)閥=f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，所以點(diǎn)（0，0）為一個(gè)對(duì)稱中心;又因?yàn)閒（x+2）=-f（x）=f（-x），則f（1+x）=f（1-x），所以，對(duì)于直線x=1為y=f（x）的對(duì)稱軸，所以，y=f（x）為周期函數(shù)，其周期是2。

所以，f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5，則選（B）。

所以，對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱性的考查，大部分和函數(shù)的周期性有關(guān)，只要學(xué)會(huì)了基本的、對(duì)稱性的知識(shí)點(diǎn)，或者周期性的概念就可以解決這些有關(guān)的問題。

例2，已知f（x）=4^x/（4^x+1），求f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值。對(duì)于這類問題，往往我們需要考慮的是其中兩個(gè)自變量，即把其求和為0，看看這個(gè)函數(shù)值是不是一個(gè)定值，通過驗(yàn)證就知道結(jié)果。但是，在這里，存在一些隱含的條件，即函數(shù)的對(duì)稱性。所以，我認(rèn)為，首先去“配對(duì)”，按照對(duì)稱性來說，往往考查的就是在函數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系。

例3，如果函數(shù)y=f（x），滿足f（x+3）=f（2-x）和f（4+x）=f（5-x），求該函數(shù)的最小正周期。

解：因?yàn)閒（x+3）=f（2-x）=f（4+（-2-x）=f（5-（-2-x））=f（7+x），所以，這個(gè)函數(shù)的周期是4。

所以，我認(rèn)為，若把兩個(gè)對(duì)稱性的圖合在一起，那么，在其中的符號(hào)就化為同號(hào)，這樣就可以得到其周期性。

例4，如果函數(shù)y=3sin（2x+θ+π/4），其中：0<θ<π，這個(gè)是奇函數(shù)，求θ的值。

解：因?yàn)?x+θ+π/4=kπ，而x=0，所以，θ+π/4=kπ，按照要求的范圍來分析，即θ=3π/4。

所以，我任為：對(duì)于所有的三角函數(shù)，其奇偶性就等同于對(duì)稱性來分析，解題時(shí)，首要把所有的對(duì)稱軸求出來，然后，把y軸作為一條對(duì)稱軸，或者是把全部的對(duì)稱中心找出來，則原點(diǎn)也是一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。

例5，求函數(shù)f（x）=e^（x+1）與函數(shù)g（x）=ln（x+1）的對(duì)稱軸方程。

解：因?yàn)閒（x）=e^x和g（x）=lnx是相互的反函數(shù)，則是關(guān)于y=x而對(duì)稱的，對(duì)于f（x）=e^（x+1），是把f（x）=e^x按照要求向左移動(dòng)了一個(gè)單位的，則g（x）=ln（x+1）是通過函數(shù)g（x）=lnx向左移動(dòng)一個(gè)單位后的函數(shù)，所以，其對(duì)稱軸隨著向左移動(dòng)了一個(gè)單位，則y=x+1。

例6，如果y=asinx+bcosx關(guān)于x=π/4對(duì)稱，求直線ax+by+3=0的直線的斜率。

解：根據(jù)題意可知，其是關(guān)于x=π/4而對(duì)稱的，則f（0）=f（π/2），把這個(gè)函數(shù)代入，則可以求出a與b之間的關(guān)系。

所以，對(duì)于對(duì)稱性，往往就是關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的問題，而在對(duì)稱中的兩個(gè)自變量，其函數(shù)值存在緊密的關(guān)系。

總而言之，函數(shù)貫穿于高中數(shù)學(xué)，通過用函數(shù)來解決高中數(shù)學(xué)中的許多問題，這是高中數(shù)學(xué)核心所在，而函數(shù)的基本性質(zhì)，在高考中占有一定的分值，這是一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)。所以，我們要求學(xué)生學(xué)會(huì)函數(shù)對(duì)稱性的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生解決函數(shù)問題來說很有意義。

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（責(zé)編 張景賢）