高中數學函數的奇偶性、周期性及圖象的對稱性探究

鐘海峰

摘要：到了高三，教師要不斷培養學生的研究性學習，這樣才能很好地引導學生學會學習，比如說理解函數的奇偶數的特性、周期性及圖象的對稱性等，即“三性”，在這個的基礎上，去進一步探求相互之間的關系.而在研究問題的過程中，讓學生轉變自己的學習方式，以及培養學生在探究方面的能力、創新的意識。本文結合具體的教學實踐，主要從以下幾個方面對于高中數學中函數的相關問題進行探討。

關鍵詞：高中數學 研究性 觀察 探究

一、高中數學研究性學習

對于“研究性學習”，從以下幾個方面來說。

（一）背景材料的選取

在教材中，所有的重要的知識點都作為“研究性學習”的背景和材料，這確實是一個富有的素材庫，它的意義很大，即能夠把所有的中學教師的優點發揮出來。有時，還可以把各自所寫論文材料作為“研究性學習”的背景和材料。

（二）“研究性學習”的教學目標

對于教學，首要是目標的明確，即在每一節課中，把相關的重點教給學生，而對于發現問題的方法，需要我們逐步去引導，反復進行結論前、后的思考。

在荷蘭，有位著名的數學教育家弗賴登爾曾經說過，通過自己的反思，尤其在數學活動中是很重要的，我們把它作為數學的一個核心、動力的因素。所以，反思構成了發現的根本之泉，而教會學生去發現問題，在“研究性學習”中是一個目標。

（三）“研究性學習”的課堂操作

1.通過建立課題小組而進行：一般情況，以10個左右同學為基準，作為一個課題的小組，然后去確定課題小組的組長由誰擔當。

2.把課內、課外的關系處理好。對于教師，其主要精力安排在課外時間，而在課內，主要任務是積極促進各個課題組去展示自己的成果。

3.通過把點、面結合起來，作為本教案的一個研究方案，組成一個課題小組而進行。每一個小組進行一個方案的研究。主要研究的范疇有：函數的奇偶性;函數的中心對稱;關于x軸上的兩點成中心對稱，周期性;關于平行于y軸的兩直線對稱，周期性;關于一條平行y軸的直線成軸對稱，與周期函數等。

二、通過不斷觀察、反思去進行研究性學習

在課前，往往老師給大家提供了有關的背景、材料，通過逐步的研究、學習，在上課前，讓同學們去展示一下學習成果。采用先進的教學手段，比如多媒體進行教學，展示2個重點的函數圖像，y=sinx奇函數對稱軸x=kπ+，k∈z f（-x）=f（+x）（特例）f（2π+x）=f（x） ? f（-x）=-f（x） 對稱中心（kπ，0），k∈z f（π-x）=-f（π+x）（特例）。

對于這兩個函數，從函數的“三性”角度來分析，看起來比較優美，而美，在于把函數“三性”集中一起了，那么，這類函數還有別的，即正切函數和余切函數。

三、通過試驗、猜想進行研究性學習

對于偶然性，其中有必然性，讓學生找一個函數去作進一步的試驗。通過下面的做法，讓每一個課題組，選出一位同學，把本組所構造的函數給同學們進行展示，即給大家一起分享成果。

組一的一位學生，展示了：

1.已知函數y=f（x）為偶函數，且關于直線x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=x2，作出函數的圖象（作圖過程略）從圖3中不難發現，函數具有周期性，且周期為2。

2.已知函數y=f（x）為偶函數，且f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x2，（作圖過程略），由圖3可知，函數的對稱軸為x=k，k∈z。

3.已知函數y=f（x），滿足f（x+2）=f（x），且f（1-x）=f（1+x），當x∈[0，1]時，f（x）=x2（作圖過程略），由圖3可知，函數為偶函數。對于上面的三個命題，我們能不能把其寫成一個命題的形式，讓學生去思考。

有的學生說：已知函數y=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x2，給出三個論斷：

1.f（-x）=f（x）;

2.f（2-x）=f（x）;

3.f（2+x）=f（x）。

若把其中兩個論斷作為一個條件，則另一個的論斷，被作為結論的命題，即真命題。在此基礎上，我們就可以作出一個合情的猜想，即：函數y=f（x），給出三個論斷：

1.f（-x）=f（x）;

2.f（2a-x）=f（x）;

3.f（2a+x）=f（x）。

把其中兩個論斷作為一個條件，而另一個論斷作為結論，則該命題是真命題。

四、通過探索、發現進行研究性學習

我們可以從本課題組中，選出三位同學進行，即對猜想的證明，其具體的分工，往往由自己來定。有的學生認為：由f（2a-x）=f（x），得f（2a+x）=f（-x），又f（-x）=f（x），得f（2a+x）=f（x）。又有學生認為：由f（2a+x）=f（x），得f（2a-x）=f（-x），又f（-x）=f（x），得f（2a-x）=f（x），還有學生認為：由f（2a-x）=f（x），得f（2a+x）=f（-x），又f（2a+x）=f（x） ，得f（-x）=f（x）。對于三位同學的推證，其關鍵抓住了變量x，即其具有任意性，這樣，根據目標而進行相關的變形。在探索過程中，他們可以發現論斷2、論斷3的條件是：其中參數有2a是相同的，通過反思圖3，即作圖的過程，又有新的發現，即圖象的特征是：在兩條對稱軸即x=0，x=1下，產生了周期性，而在作圖過程中，很容易發現2=2（1-0），從而得到三個論斷：1.y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱;2.y=f（x）的圖象關于直線x=b對稱;3.y=f（x）是周期函數，且周期T=2|b-a|為其中一個周期，而以其中兩個論斷為條件，則另一個論斷是結論的命題，即真命題。

五、通過類比、發散而進行

在學生展示了偶函數、軸對稱、周期性等相互關系時，把圖1、圖2結合而作類比、發散，在此基礎上得到一些命題：

1.若函數y=f（x）為偶函數，其圖象關于點A（a，0）對稱，則函數y=f（x）為數，且周期T=4|a|。這是把軸對稱類比為中心對稱。

2.若函數y=f（x）為奇函數，其圖象關于直線x=a對稱，則函數y=f（x）為周期函數，且周期T=2|a|。

3.若函數y=f（x）為奇函數，其圖象關于點A（a，0）對稱，則函數y=f（x）為周期函數，且周期T=2|a|。

綜上所述，對于“研究性的學習”，在我們中學生中是可以做的。而研究一個問題，往往需要我們去發現問題，在反思的基礎上，不斷去熟悉函數的性質、捕捉信息，發現問題，而反思屬于發現的源泉，通過反思、試驗、猜想、論證，從而發現問題再去解決問題。而在整個研究性學習過程中，我們還可以應用逼近、聯想即類比的思維，這是發現、解決問題的兩種思維模式。所以，在學習過程中，為了獲得了一個知識，需要在平時的點點滴滴的積累，那么，學問無處不在。

參考文獻：

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（責編 張景賢）