新課程背景下培養學生幾何直觀能力的實踐研究

周仕斌

摘要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》將幾何直觀作為十個核心概念之一，可見“幾何直觀”在現階段數學教學中的作用。幾何直觀是一種創造性思維，是一種重要的科學研究方式，對數學中的很多問題，我們會發現其靈感往往來自幾何直觀。數學家的很多創造性思維源于幾何直觀。幾何直觀能力包括空間想象力、直觀洞察力及用圖形語言思考問題的能力。借助幾何直觀，可以幫助我們理解和接受很多數學中的抽象內容、方法和觀念，而且數學中許多定理、概念和公式的發現與證明都可借助幾何直觀。

關鍵詞：幾何直觀;空間觀念;數形結合;空間想象;創造性思維

中圖分類號：G622.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）47-0264-02

一、幾何直觀和幾何直觀能力的含義

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀的最大特點是把復雜的東西簡單化、形象化，讓學生更容易去接受和理解數學問題。數學學習離不開公式、定理、計算、數字羅列、思維邏輯拓展等，對大部分學生來說，多多少少會感到枯燥乏味。如果借助幾何直觀，在小學階段，既能符合小學生對事物認知能力的要求，也能貼合學生的心理特征，吸引他們的注意力，提高學習興趣，提高教學效果。應用幾何直觀，可以培養學生的空間想象力、直觀洞察力和用圖形語言思考問題的能力。這些幾何直觀能力是幾何知識學習的奠基石，是數形結合思想的基礎，是學生不可或缺的一種數學素養。可以說，幾何直觀促進我們理解數學的本質和思想，它是數學發現的向導。

二、幾何直觀的意義或教育價值

（一）幾何直觀能夠培養人的創造性思維能力

首先，數學中很多問題的解決靈感來自幾何直觀，大數學家尚且如此。這是因為幾何直觀為問題解決者提供一種創造性思維和科學研究方式。

其次，幾何直觀在數學中的應用，可讓學生更容易和直接地理解抽象的數學內容，開啟解決問題的思路。這說明幾何直觀在數學認識中的重要性，也為學生在數學學習中的創新思維準備條件。

最后，幾何直觀可通過揭示研究對象的性質和關系，讓學生體驗數學形成過程中的創造性過程，激發創造激情，提升思維想象力，向著更高的抽象空間形式發展，發揮出更大的創新思維能力。

在大多數的情況下，數學結果是“看”出來的，而不是“證”出來的。以利用平面圖形認識分數的乘法為例。所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長期有效的觀察和思考的基礎之上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。因此，在數學教學中保護學生先天的幾何直觀的潛質，培養和不斷提高幾何直觀水平，成為數學教育的一個重要價值追求。

（二）幾何直觀促進學生對數學問題的理解

幾何直觀在數學中無處不在。數學家依賴直觀推動對數學的思考，加強對數學的理解。它不僅是一切幾何學的基礎，而且貫穿在整個數學學習過程中。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維來洞察，借助圖形生動形象地描述數學問題，直觀反映分析問題的思路，這是理解數學的有效渠道。例如，借助地圖理解比例、利用直觀圖理解正方形邊長和面積的關系、借助數軸認識小數的意義、借助“線路圖”理解行程問題、借助網絡圖理解單元知識等。

（三）幾何直觀能夠幫助學生感悟數學美

數學美，不僅美在抽象簡約，也美在直觀多姿，而幾何直觀能夠充分凸顯其結構美。例如，利用直觀感悟圓的對稱美，理解圓的基本結構和性質。所以，培養學生的幾何直觀能力，不僅能提高基本數學素養，而且可以把圖形美的直觀、對稱、奇異、統一等特征融入整個教學過程中，讓學生在美的享受中發現知識和理解知識，在潛移默化中感受數學美。

所以，培養學生幾何直觀能力，不僅能提高學生學習數學的基本素養，而且可以將幾何美的直觀、對稱、奇異、統一等特征融入整個教學過程中，使學生在美的享受中發現知識、理解知識，在潛移默化中感受數學美。

三、幾何直觀能力培養的途徑探析

（一）尋找直觀模型，發展幾何直觀能力

在小學教學實際中，找尋數學對象的直觀模型，恰當運用直觀的模型教具，尤其是恰當應用幾何圖形，可以幫助低齡兒童體驗數學概念的意義，強化學生感受數學、運用數學的能力。

（二）擴張自主操作空間，積累幾何直觀體驗

教學中只靠教師的講演，并不能讓學生真正掌握幾何直觀的意義及操作方法。只有真正參與其中，才能積累更多的幾何直觀體驗。

小學生學習幾何初步知識時，往往有錯用公式的現象，為了闡明原因，我們做過許多實驗。實驗結果表明，因為學生對公式進行感知時缺乏正確的表征，未將計算公式與圖形聯系起來，不清楚公式是怎樣產生的，為什么要學習公式，才會出現錯用公式的情況。要想改變這一現象，行之有效的方法是組織學生動手操作，推導公式。

例如，對“三角形的面積公式”這一課時的安排，可以在學生學具袋中準備兩兩完全一樣的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，準備正方形、長方形和平行四邊形。課上讓學生做出三角形的高，回顧已學的幾何圖形面積公式，讓每位學生找一找、拼一拼、折一折、剪一剪、拆一拆，小組合作，點燃學生的探索欲望，參與數學活動。經過討論，學生會發現三角形的面積與它等底等高的四邊形（正方形、長方形或平行四邊形）的面積存在一定的聯系。

（三）運用現代信息技術，感受幾何直觀的作用

在教學中合理使用現代信息技術和多媒體技術呈現教學案例，如圓的面積公式推導，教學效果會更佳。同時，開發新的教學軟件，讓學生的課堂學習生動和直觀視覺化，可以更好地發展學生的幾何直觀。

（四）增強教材整合，適時安排幾何直觀教學

幾何直觀的內容如果只在“圖形與空間”部分，按照教材所提供的材料來教學，是與課程目標相悖的，因此，幾何直觀應滲透在小學數學學習的每個時期。

（五）加強數形結合教學，提高應用圖形解決問題的意識

在小學教學中，數形結合是一種重要的數學思想，通過將“幾何問題代數化”或“代數問題幾何化”來促進數學的理解和數學問題的解決。幾何直觀是指“利用圖形描述分析問題”，其核心是以“形”思“數”，由此可見幾何直觀與數形結合兩個概念間的內在聯系。教學過程中，教師應充分采取數形結合的教學策略，引導學生依托直觀的“形”去思考抽象的“數”。久而久之，就會切身體會到數學學習中利用圖形解決數學問題的重要意義。需要注意的是，數形結合并不是屬于簡單的組合，關鍵在于挖掘兩者間的本質關系，助推學生的數學思考。

（六）重視幾何直觀的合情推理教學

在數學教學中，教師要有意識地培養學生利用他們自己的幾何直觀對數學問題做出判斷，引導他們借助對數學問題的直觀理解探索解題思路及預測解題方法的正確性與可行性等。

比如，在小學數學中講到圓的公式，教師在推導過程中往往采用把圓分割成全等小扇形，再將這些小扇形拼成近似的長方形的方法。同時，我們會發現，分割成的扇形越小，數量越多，所拼成圖形越接近長方形，作為教師要引導學生去觀察和發現，利用合情推理，推導出圓的面積公式。這樣的教學，就是利用圖形語言帶領學生觀察、聯想、猜測等發展合情推理能力。

四、對幾何直觀教學的建議

小學生處于形象思維階段，讓學習者了解數學知識，必須使用幾何直觀方法。雖然幾何教學的目的是重視邏輯推理，但不排除直觀實驗，因為直觀實驗在小學數學中是了解數學本質的手段，是邏輯推理的工具。例如，小學教科書“看一看”、“剪一剪”、“做一做”、“拼一拼”等直觀實驗活動，在小學生學習數學的初始階段非常重要。

1.選擇直觀教具，提供感性認識。

2.重視數學實驗，積累表象。小學幾何知識屬于直觀幾何范疇，大多數的幾何圖形性質是組織學生經過做實驗來發現和驗證的，這既是教學內容的需要，也符合小學生數學的心理規律。研究表明，成功的學生幾何學習必須經過從兒童動手操作活動構造的系統中，主動建造知識。在觀察、測量、畫圖等實驗活動中，運用各種感官，既可豐富幾何表象，又能發現問題要素之間的聯系，從而從直觀的表象中抽象出幾何圖形的特征，抽象出事物之間的數量關系，加強學生的幾何直觀思維能力。

3.直觀圖形的變式，加深對問題的理解。對圖形的觀察是一種多樣化、多側面的數學活動。如果說“標準圖形”可以使學生更直觀、更準確地概括數學對象的性質的話，那么運用“變式圖形”進行觀察，就會更好地幫助學生將“標準圖形”中所獲得的性質應用到概括與它同一類的圖形中去。但要注意兒童空間思維水平發展的階段性。

4.加強交流和想象。空間想象能力包含對圖形的再造、對圖形的分解、對圖形的重組，以及對平面圖形透視的能力。想象是形象思維的表現之一，想象力越豐富，越能促進學生大膽猜想，它是拓展學生幾何直觀思維空間的主要通道，是發展幾何直觀的重要手段。兒童能正確地運用幾何語言，而幾何語言的發展也離不開對圖形操作實驗等活動空間操作，它是發展幾何語言的基礎。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京師范大學出版社，2011.

[2]陶玉萍.“幾何直觀”在小學數學教學中的運用[J].中國教師，2013，（7）.

[3]馮崇和.幾何直觀：探索解決小學數學問題的重要手段[J].內蒙古師范大學學報，2014，（8）.

[4]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013，（5）.

[5]楊孝斌，任勁松.幾何直觀的教育價值及其教學建議[J].宜賓學院學報，2013，（6）.