用科學(xué)思想指導(dǎo)極限教學(xué)

曲峰林+張青

摘要：本文首先從微積分的發(fā)展著手分析極限在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，然后根據(jù)科學(xué)思想的指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)過程。讓學(xué)生通過感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程理解極限中的重要思想，體會(huì)極限過程中的量變到質(zhì)變、無限和有限的辯證關(guān)系。

關(guān)鍵詞：極限;科學(xué)思想;高等數(shù)學(xué);教學(xué)過程

中圖分類號(hào)：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）23-0150-02

極限的教學(xué)是微積分（高等數(shù)學(xué)）教學(xué)的重要基礎(chǔ)，怎樣通過課堂教學(xué)讓學(xué)生了解、領(lǐng)會(huì)到熟練掌握極限的思想并用于指導(dǎo)學(xué)習(xí)是我們值得探討和研究的一個(gè)重要問題。高等數(shù)學(xué)中很多重要的概念都是由極限來定義的，例如微分學(xué)中函數(shù)連續(xù)的概念、導(dǎo)數(shù)的定義;積分學(xué)中定積分、重積分的定義，等等，都是用極限來定義的。包括級(jí)數(shù)收斂的定義也是利用了極限的形式給出的。這樣看來，極限不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，也是高等數(shù)學(xué)中分析問題和解決問題的一個(gè)重要的方法，它體現(xiàn)了一種處理客觀世界數(shù)量變化的新思維、新方法，這個(gè)方法與初等數(shù)學(xué)中的一些技巧和方法有著很大的差別。初等數(shù)學(xué)是一種以靜態(tài)的、不變的觀點(diǎn)來分析事物的思維方式，而高等數(shù)學(xué)則是以運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來處理問題和解決問題。在物質(zhì)世界中，事物的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，這是物質(zhì)世界的普遍規(guī)律，而極限就是處理變化事物的最有效、最成功的方法之一。然而，從實(shí)際教學(xué)的情況看來，極限這一章節(jié)的教學(xué)一直是教學(xué)上的難點(diǎn)，學(xué)生們初進(jìn)大學(xué)（一般的高等數(shù)學(xué)課都設(shè)置在第一學(xué)年），這種從靜止不變的思維定式向動(dòng)態(tài)的變化的思維定式的突然轉(zhuǎn)變，一時(shí)間很難接受。從數(shù)學(xué)思想的方面來看，極限思想體現(xiàn)了一些很重要的哲學(xué)思想，正確的認(rèn)識(shí)這些思想對(duì)于指導(dǎo)教師的教學(xué)工作是非常有意義的。同時(shí)，能夠?qū)⑦@些思想融入教學(xué)的過程中，讓學(xué)生受益是更加重要的事情。筆者從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作多年，在這些年的教學(xué)工作中，對(duì)極限概念的教學(xué)有一些心得。下面，我們將從不同的方面加以闡述。

一、從微積分的發(fā)展認(rèn)識(shí)極限的作用以指導(dǎo)教學(xué)

微積分的創(chuàng)立首先是為了解決17世紀(jì)主要的一些科學(xué)問題，它們是求運(yùn)動(dòng)物體的速度、求曲線的切線、求函數(shù)的最大值與最小值以及求曲線的長度這四類典型的問題。隨著微積分的概念與技巧的擴(kuò)展，人們努力想去補(bǔ)充被遺漏了的基礎(chǔ)理論。Netwon和Leibniz都嘗試解釋概念并證明他們的程序是正確的，但他們都沒有清楚的理解也沒有嚴(yán)密的定義他們的基本概念。其間，包括Taylor、Euler、Lagrange等人，18世紀(jì)的幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)家都對(duì)微積分的邏輯作了一些努力，但多數(shù)努力都沒有結(jié)果[1]。通過對(duì)微積分這段發(fā)展史看來，認(rèn)識(shí)無窮小和無窮大才是難點(diǎn)之所在，是問題的關(guān)鍵。到了18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾等一些數(shù)學(xué)家先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念用以解決微積分理論基礎(chǔ)的問題，然而極限概念的第一次比較完整的被闡述是19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在《分析教程》中提出：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個(gè)變量成為無窮小。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程。直到維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，排除極限概念中的直觀痕跡，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。由此我們可以看到，直到19世紀(jì)以前，微積分的嚴(yán)密化一直未完成。然而用微積分的思想解決問題卻推動(dòng)著很多學(xué)科分支的發(fā)展。所以，在學(xué)生初學(xué)高等數(shù)學(xué)，第一章就要接受極限這個(gè)定義方式不同于以往的靜態(tài)定義，并且極其嚴(yán)密的概念時(shí)，可以借助于學(xué)生已經(jīng)建立起來的對(duì)圖像和函數(shù)的直觀的概念進(jìn)行理解。然后再給出精確定義，關(guān)于這一點(diǎn)將在下面一個(gè)方面里詳細(xì)敘述。

二、運(yùn)用從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)、從特殊到一般的方法設(shè)計(jì)教學(xué)過程

極限的問題主要是無限問題，最難以理解的也是趨于“無窮大”和“無窮小”的這兩種提法。用極限的思想解決問題是指把某些實(shí)際問題的研究放在無限過程中進(jìn)行演算，最終得出相應(yīng)的結(jié)論.比如，劉徽的割圓術(shù)求圓的面積[2].設(shè)有半徑為r的圓，利用其內(nèi)接正n邊形的面積A ?逼近圓面積S。內(nèi)接正n邊形的面積為：A ?=n· ?·sin ?，（n=3，4，5，…）當(dāng)n無限增大時(shí)，A ?無限逼近S，或?yàn)锳 ?=n· ?（2 ?·r）·r≈πr ?.我們?cè)诮淌跁r(shí)，要體現(xiàn)隨著n的增加，多邊形面積接近圓面積的這一現(xiàn)象。筆者認(rèn)為用數(shù)據(jù)表格可以很清晰的展現(xiàn)這一過程，如表1（取圓的半徑r=1），從表中可以看到正多邊形面積越來越接近與圓的面積π，同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)邊數(shù)增加到100以上時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)據(jù)時(shí)與真實(shí)值是相等的;邊數(shù)增加到500以上時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)據(jù)時(shí)與真實(shí)值是相等的。即讓學(xué)生感受到趨近，以及趨近的速度。

這些直觀的數(shù)據(jù)和生動(dòng)的例子，可以讓學(xué)生對(duì)于“趨近”這個(gè)詞有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，并且簡單易懂，這是教學(xué)的第一個(gè)階段。教學(xué)的第二個(gè)階段即為去掉實(shí)際的應(yīng)用背景，用函數(shù)和數(shù)列的例子，通過觀察圖形、數(shù)據(jù)表的方法看到對(duì)自變量變化而產(chǎn)生的函數(shù)值的變化過程。這時(shí)的例子要涵蓋自變量趨于無窮時(shí)函數(shù)值收斂、無窮型發(fā)散、振蕩的類型;自變量趨于有限常數(shù)時(shí)函數(shù)收斂、發(fā)散、間斷等類型。尤其要列舉出發(fā)散的各種情況，因?yàn)檎J(rèn)識(shí)了事物的反面更有助于認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)含義。教學(xué)的第三個(gè)階段即引入極限的精確定義，即ε-N定義和ε-δ定義。然后列舉簡單的例子進(jìn)行驗(yàn)證。而驗(yàn)證的過程也建議用表格的形式列出ε，N的取值并且對(duì)比圖像直觀理解趨近的過程。例如：驗(yàn)證

表2列出相應(yīng)ε，N的取值。

對(duì)ε-N定義和ε-δ定義這兩個(gè)定義的理解是極限教學(xué)中的難點(diǎn)，可以說是難點(diǎn)中的難點(diǎn)，教師要認(rèn)識(shí)到難點(diǎn)的關(guān)鍵是什么。筆者通過自身的學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)和與學(xué)生交流看來，無論學(xué)生的提問方式是什么樣的，他們的關(guān)鍵在于，對(duì)這種復(fù)雜條件下的定義方式不能正確理解。在初等數(shù)學(xué)中，定義的模式基本為：若條件P成立，則定義結(jié)論A，反之也成立，因?yàn)槎x為充分必要條件。但極限定義中條件P本身就是一個(gè)判斷語句，所以教師在教學(xué)中應(yīng)該通過證明極限的存在性，即驗(yàn)證條件;以及利用極限定義證明函數(shù)的性質(zhì)，即利用條件兩方面的練習(xí)使學(xué)生理解這種定義方式。

三、了解極限中體現(xiàn)的哲學(xué)思想有助于更好的組織教學(xué)語言

從哲學(xué)的角度來界定事物發(fā)展變化過程中所呈現(xiàn)的無限性是正確理解極限的基礎(chǔ)。在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，體現(xiàn)的最為顯著的就是“量變到質(zhì)變”的哲學(xué)思想。從前面的兩個(gè)實(shí)例看來，第一個(gè)例子中，無論邊數(shù)的取值如何增加，只要是給定的正數(shù)，那么計(jì)算結(jié)果仍然是正多邊形的面積，但取極限之后，結(jié)果則表示圓的面積。第二個(gè)例子中，精確的瞬時(shí)速度只能通過縮短時(shí)間間隔來近似，時(shí)間間隔在實(shí)際的操作過程中不可能取為零，但極限運(yùn)算可以求出最終的極限狀態(tài)。此外，該定義還體現(xiàn)著“有限和無限的對(duì)立統(tǒng)一”。具體說來，無限由有限構(gòu)成，無限不能脫離有限而獨(dú)立存在;有限包含無限，有限體現(xiàn)無限。利用有限和無限的這種辯證統(tǒng)一，通過有限認(rèn)識(shí)無限，通過有限去把握無限，通過有限的、相對(duì)的各種事物和現(xiàn)象逐步把握事物在無限發(fā)展過程中所體現(xiàn)的本質(zhì)和規(guī)律。極限概念這是這種有限與無限的統(tǒng)一，所以能夠正確把握無限的內(nèi)涵，對(duì)于組織教學(xué)，進(jìn)而通過課堂的講授讓學(xué)生體會(huì)有限與無限的辯證關(guān)系是學(xué)習(xí)極限概念重要前提和重要的教學(xué)要求。

利用科學(xué)的思維指導(dǎo)教學(xué)，通過了解歷史的發(fā)展過程揭示概念的重要本質(zhì)，科學(xué)有效地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，能夠更好地通過課堂講授的手段讓學(xué)生了解、領(lǐng)會(huì)到熟練掌握極限的思想并用于指導(dǎo)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)是本文研究的重點(diǎn)。在教學(xué)改革的過程中，我們利用這個(gè)方法進(jìn)行教學(xué)得到的良好的教學(xué)效果。所以我們將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)這一教學(xué)模式，用科學(xué)思維、科學(xué)的方法指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M].上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

[2]極限發(fā)展的幾個(gè)歷史階段[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001，（2）：40-43.endprint