用科學思想指導極限教學

曲峰林+張青

摘要：本文首先從微積分的發展著手分析極限在高等數學教學中的重要性，然后根據科學思想的指導設計教學過程。讓學生通過感性認識到理性認識的過程理解極限中的重要思想，體會極限過程中的量變到質變、無限和有限的辯證關系。

關鍵詞：極限;科學思想;高等數學;教學過程

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）23-0150-02

極限的教學是微積分（高等數學）教學的重要基礎，怎樣通過課堂教學讓學生了解、領會到熟練掌握極限的思想并用于指導學習是我們值得探討和研究的一個重要問題。高等數學中很多重要的概念都是由極限來定義的，例如微分學中函數連續的概念、導數的定義;積分學中定積分、重積分的定義，等等，都是用極限來定義的。包括級數收斂的定義也是利用了極限的形式給出的。這樣看來，極限不僅僅是一個數學概念，也是高等數學中分析問題和解決問題的一個重要的方法，它體現了一種處理客觀世界數量變化的新思維、新方法，這個方法與初等數學中的一些技巧和方法有著很大的差別。初等數學是一種以靜態的、不變的觀點來分析事物的思維方式，而高等數學則是以運動、變化的觀點來處理問題和解決問題。在物質世界中，事物的運動是絕對的，靜止是相對的，這是物質世界的普遍規律，而極限就是處理變化事物的最有效、最成功的方法之一。然而，從實際教學的情況看來，極限這一章節的教學一直是教學上的難點，學生們初進大學（一般的高等數學課都設置在第一學年），這種從靜止不變的思維定式向動態的變化的思維定式的突然轉變，一時間很難接受。從數學思想的方面來看，極限思想體現了一些很重要的哲學思想，正確的認識這些思想對于指導教師的教學工作是非常有意義的。同時，能夠將這些思想融入教學的過程中，讓學生受益是更加重要的事情。筆者從事高等數學的教學工作多年，在這些年的教學工作中，對極限概念的教學有一些心得。下面，我們將從不同的方面加以闡述。

一、從微積分的發展認識極限的作用以指導教學

微積分的創立首先是為了解決17世紀主要的一些科學問題，它們是求運動物體的速度、求曲線的切線、求函數的最大值與最小值以及求曲線的長度這四類典型的問題。隨著微積分的概念與技巧的擴展，人們努力想去補充被遺漏了的基礎理論。Netwon和Leibniz都嘗試解釋概念并證明他們的程序是正確的，但他們都沒有清楚的理解也沒有嚴密的定義他們的基本概念。其間，包括Taylor、Euler、Lagrange等人，18世紀的幾乎每一個數學家都對微積分的邏輯作了一些努力，但多數努力都沒有結果[1]。通過對微積分這段發展史看來，認識無窮小和無窮大才是難點之所在，是問題的關鍵。到了18世紀，達朗貝爾等一些數學家先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念用以解決微積分理論基礎的問題，然而極限概念的第一次比較完整的被闡述是19世紀，法國數學家柯西在《分析教程》中提出：當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程。直到維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義，排除極限概念中的直觀痕跡，給微積分提供了嚴格的理論基礎。由此我們可以看到，直到19世紀以前，微積分的嚴密化一直未完成。然而用微積分的思想解決問題卻推動著很多學科分支的發展。所以，在學生初學高等數學，第一章就要接受極限這個定義方式不同于以往的靜態定義，并且極其嚴密的概念時，可以借助于學生已經建立起來的對圖像和函數的直觀的概念進行理解。然后再給出精確定義，關于這一點將在下面一個方面里詳細敘述。

二、運用從感性認識到理性認識、從特殊到一般的方法設計教學過程

極限的問題主要是無限問題，最難以理解的也是趨于“無窮大”和“無窮小”的這兩種提法。用極限的思想解決問題是指把某些實際問題的研究放在無限過程中進行演算，最終得出相應的結論.比如，劉徽的割圓術求圓的面積[2].設有半徑為r的圓，利用其內接正n邊形的面積A ?逼近圓面積S。內接正n邊形的面積為：A ?=n· ?·sin ?，（n=3，4，5，…）當n無限增大時，A ?無限逼近S，或為A ?=n· ?（2 ?·r）·r≈πr ?.我們在教授時，要體現隨著n的增加，多邊形面積接近圓面積的這一現象。筆者認為用數據表格可以很清晰的展現這一過程，如表1（取圓的半徑r=1），從表中可以看到正多邊形面積越來越接近與圓的面積π，同時還可以發現當邊數增加到100以上時，小數點后兩位有效數據時與真實值是相等的;邊數增加到500以上時，小數點后四位有效數據時與真實值是相等的。即讓學生感受到趨近，以及趨近的速度。

這些直觀的數據和生動的例子，可以讓學生對于“趨近”這個詞有一個感性的認識，并且簡單易懂，這是教學的第一個階段。教學的第二個階段即為去掉實際的應用背景，用函數和數列的例子，通過觀察圖形、數據表的方法看到對自變量變化而產生的函數值的變化過程。這時的例子要涵蓋自變量趨于無窮時函數值收斂、無窮型發散、振蕩的類型;自變量趨于有限常數時函數收斂、發散、間斷等類型。尤其要列舉出發散的各種情況，因為認識了事物的反面更有助于認識事物的本質含義。教學的第三個階段即引入極限的精確定義，即ε-N定義和ε-δ定義。然后列舉簡單的例子進行驗證。而驗證的過程也建議用表格的形式列出ε，N的取值并且對比圖像直觀理解趨近的過程。例如：驗證

表2列出相應ε，N的取值。

對ε-N定義和ε-δ定義這兩個定義的理解是極限教學中的難點，可以說是難點中的難點，教師要認識到難點的關鍵是什么。筆者通過自身的學習領會和與學生交流看來，無論學生的提問方式是什么樣的，他們的關鍵在于，對這種復雜條件下的定義方式不能正確理解。在初等數學中，定義的模式基本為：若條件P成立，則定義結論A，反之也成立，因為定義為充分必要條件。但極限定義中條件P本身就是一個判斷語句，所以教師在教學中應該通過證明極限的存在性，即驗證條件;以及利用極限定義證明函數的性質，即利用條件兩方面的練習使學生理解這種定義方式。

三、了解極限中體現的哲學思想有助于更好的組織教學語言

從哲學的角度來界定事物發展變化過程中所呈現的無限性是正確理解極限的基礎。在這個知識點中，體現的最為顯著的就是“量變到質變”的哲學思想。從前面的兩個實例看來，第一個例子中，無論邊數的取值如何增加，只要是給定的正數，那么計算結果仍然是正多邊形的面積，但取極限之后，結果則表示圓的面積。第二個例子中，精確的瞬時速度只能通過縮短時間間隔來近似，時間間隔在實際的操作過程中不可能取為零，但極限運算可以求出最終的極限狀態。此外，該定義還體現著“有限和無限的對立統一”。具體說來，無限由有限構成，無限不能脫離有限而獨立存在;有限包含無限，有限體現無限。利用有限和無限的這種辯證統一，通過有限認識無限，通過有限去把握無限，通過有限的、相對的各種事物和現象逐步把握事物在無限發展過程中所體現的本質和規律。極限概念這是這種有限與無限的統一，所以能夠正確把握無限的內涵，對于組織教學，進而通過課堂的講授讓學生體會有限與無限的辯證關系是學習極限概念重要前提和重要的教學要求。

利用科學的思維指導教學，通過了解歷史的發展過程揭示概念的重要本質，科學有效地設計教學過程，能夠更好地通過課堂講授的手段讓學生了解、領會到熟練掌握極限的思想并用于指導后面知識的學習是本文研究的重點。在教學改革的過程中，我們利用這個方法進行教學得到的良好的教學效果。所以我們將在此基礎上進一步改進這一教學模式，用科學思維、科學的方法指導高等數學的教學。

參考文獻：

[1]古今數學思想（第二冊）[M].上?？茖W技術出版社，2002.

[2]極限發展的幾個歷史階段[J].高等數學研究，2001，（2）：40-43.endprint