數(shù)學(xué)專業(yè)“復(fù)變函數(shù)”課程的教學(xué)探討

陶元紅+南華+劉東旭

摘要：本文針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)了“數(shù)學(xué)分析”課程之后，對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程有可能存在的迫切、畏懼或忽視等問(wèn)題，探討了在“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中應(yīng)該注意的三個(gè)環(huán)節(jié)，并探討了第一次課的教學(xué)內(nèi)容的有效選擇和安排。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)專業(yè);復(fù)變函數(shù);數(shù)學(xué)分析;教學(xué)探討

中圖分類號(hào)：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）23-0278-02

“復(fù)變函數(shù)”課程是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程體系完整、理論性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的理論知識(shí)要求比較高。數(shù)學(xué)專業(yè)的許多后續(xù)課程，甚至研究生階段開設(shè)的分析理論課程，都會(huì)涉及復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容。“復(fù)變函數(shù)”課程的內(nèi)容是“數(shù)學(xué)分析”中實(shí)變函數(shù)微積分的推廣和發(fā)展，所以在我國(guó)高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的課程設(shè)置中，通常會(huì)把“復(fù)變函數(shù)”這門課程當(dāng)作“數(shù)學(xué)分析”課程的后續(xù)課程，將其安排在二年級(jí)下半學(xué)期或三年級(jí)，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)習(xí)過(guò)三個(gè)學(xué)期的“數(shù)學(xué)分析”課程，對(duì)一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分的核心內(nèi)容已經(jīng)很熟悉。多年來(lái)，筆者一直在延邊大學(xué)數(shù)學(xué)系從事“復(fù)變函數(shù)”課程的教學(xué)工作，研讀了不同的“復(fù)變函數(shù)”教材[1-4]和一些教學(xué)研討文章[5]，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了一些學(xué)生在學(xué)習(xí)“復(fù)變函數(shù)”課程時(shí)的一些困惑和問(wèn)題，也積累了一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。本文針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)了“數(shù)學(xué)分析”課程之后，對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程有可能存在的迫切、畏懼或忽視等問(wèn)題，探討了“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中應(yīng)該注意的教學(xué)環(huán)節(jié)以及對(duì)第一次課的教學(xué)內(nèi)容的有效選擇和安排。

一、初學(xué)“復(fù)變函數(shù)”課程的學(xué)生可能存在的問(wèn)題及教學(xué)策略

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，在“復(fù)變函數(shù)”開課之初，大多數(shù)學(xué)生都迫切地想知道該課程的重要性以及難易程度。鑒于“復(fù)變函數(shù)”課程的知識(shí)體系與“數(shù)學(xué)分析”的相關(guān)知識(shí)有著非常密切的聯(lián)系，如果有些學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)分析”沒(méi)有很好的掌握，就會(huì)對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程產(chǎn)生畏懼;而有些“數(shù)學(xué)分析”學(xué)的很好的學(xué)生，會(huì)認(rèn)為對(duì)微積分的內(nèi)容已經(jīng)有所了解，從而忽視“復(fù)變函數(shù)”課程的重要性。針對(duì)上述問(wèn)題，筆者認(rèn)為教師在教學(xué)中應(yīng)尤其注意以下三個(gè)環(huán)節(jié)：①在開課之初就要明確復(fù)變函數(shù)論的重要性，做好“復(fù)變函數(shù)”課程與“數(shù)學(xué)分析”課程的有效銜接，消除學(xué)生的疑慮，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。②在“復(fù)變函數(shù)”課程的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該注意與“數(shù)學(xué)分析”課程的比較，把“數(shù)學(xué)分析”的相關(guān)內(nèi)容引進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，吸收新內(nèi)容。③在教學(xué)中，要特別強(qiáng)調(diào)：復(fù)變函數(shù)論作為一門學(xué)科，有其自身的特點(diǎn)和研究方法，在很多方面“復(fù)變函數(shù)”與“數(shù)學(xué)分析”這兩門課程的知識(shí)是不同的，不可以照搬照抄，也不可以盲目地進(jìn)行推廣。筆者在教學(xué)中能夠很明確地感覺(jué)到做好如上三個(gè)環(huán)節(jié)中的第一環(huán)節(jié)在“復(fù)變函數(shù)”的教學(xué)中至關(guān)重要。這一環(huán)節(jié)做好了，就可以為學(xué)生定下一個(gè)“放下包袱、輕裝上陣”的學(xué)習(xí)基調(diào)，給學(xué)生一個(gè)能夠?qū)W好此門課程的信心并調(diào)動(dòng)起學(xué)生愿意主動(dòng)探究學(xué)習(xí)此門課程的學(xué)習(xí)動(dòng)力。那么面對(duì)已經(jīng)熟練掌握一元和多元微積分知識(shí)的學(xué)生，怎樣做好第一環(huán)節(jié)呢？筆者認(rèn)為這就需要教師精心設(shè)計(jì)和安排第一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。

二、作好數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)課程的有效銜接，精心設(shè)計(jì)第一節(jié)課

正所謂“萬(wàn)事開頭難”，任何一門新課的開始都是要精心準(zhǔn)備的，都要給學(xué)生解答“學(xué)什么”、“為什么學(xué)”和“怎么學(xué)”這三個(gè)問(wèn)題，要讓學(xué)生對(duì)這門課程有個(gè)大體的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生了解此門課程并有信心、有興趣去學(xué)習(xí)它。針對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)生可能出現(xiàn)的迫切、畏懼和輕視的問(wèn)題，筆者認(rèn)為“復(fù)變函數(shù)”第一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該包括：①?gòu)?fù)變函數(shù)論的歷史和重要性。②“復(fù)變函數(shù)”課程內(nèi)容的概述。③“復(fù)變函數(shù)”課程與“數(shù)學(xué)分析”課程的主要異同點(diǎn)的概述。④應(yīng)該采用的學(xué)習(xí)方法。但是如何能夠讓學(xué)生輕松地接受上述四個(gè)內(nèi)容，這還需要教師采用學(xué)生易于接受的方式來(lái)合理安排教學(xué)內(nèi)容的順序。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：將上述四個(gè)內(nèi)容按照“3421”的教課順序，會(huì)收到事半功倍的教學(xué)效果，具體操作過(guò)程如下。

1.先不必拘泥于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募?xì)節(jié)，選取“復(fù)變函數(shù)”與“數(shù)學(xué)分析”兩門課程中相似的概念——“函數(shù)、極限、微分、泰勒級(jí)數(shù)”，通過(guò)對(duì)比它們?cè)趦砷T課程中的異同，用學(xué)生可以理解的方式講出“復(fù)變函數(shù)”課程中這些概念的優(yōu)點(diǎn)，這樣不僅復(fù)習(xí)了“數(shù)學(xué)分析”的內(nèi)容又引入了新的知識(shí)，可以充分引起學(xué)生們的親切感和好奇心，消除學(xué)生對(duì)課程的疑慮和畏懼，調(diào)動(dòng)學(xué)生愿意主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)興趣。

2.比照教材目錄，將“復(fù)變函數(shù)”的課程內(nèi)容簡(jiǎn)明地概述給學(xué)生，指出課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)指出哪些章節(jié)要略講，哪些章節(jié)要詳細(xì)講，這樣就可以讓學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)，樹立學(xué)習(xí)此課程的信心。

3.講清楚授課的路線是沿著：函數(shù)—極限—連續(xù)—導(dǎo)數(shù)—積分—級(jí)數(shù)這一條主線來(lái)進(jìn)行的，與“數(shù)學(xué)分析”中微積分的講解類似，只不過(guò)將研究對(duì)象從“數(shù)學(xué)分析”中的實(shí)變函數(shù)換成復(fù)變函數(shù)。告訴學(xué)生：對(duì)于與“數(shù)學(xué)分析”中類似的內(nèi)容簡(jiǎn)單講過(guò)，會(huì)多花時(shí)間講授兩門課程不同的性質(zhì)。

4.建議學(xué)生采用結(jié)合“數(shù)學(xué)分析”與“復(fù)變函數(shù)”的異同，進(jìn)行比較學(xué)習(xí)的方法，一邊復(fù)習(xí)舊知識(shí)一邊學(xué)習(xí)新知識(shí)，這對(duì)于學(xué)生在學(xué)習(xí)“復(fù)變函數(shù)”的同時(shí)又深入理解“數(shù)學(xué)分析”是非常有利的，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生理解不同數(shù)學(xué)課程之間的聯(lián)系與區(qū)別，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性，為今后學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課打下基礎(chǔ)。

5.簡(jiǎn)短介紹復(fù)變函數(shù)論的產(chǎn)生歷史和廣泛應(yīng)用：復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于18世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了19世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用很廣泛，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的。俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題等。

三、“函數(shù)、極限、微分、泰勒級(jí)數(shù)”在兩門課程中的對(duì)比分析endprint

下面我們來(lái)探討關(guān)于對(duì)比分析“復(fù)變函數(shù)”與“數(shù)學(xué)分析”兩門課程中相似的概念——“函數(shù)、極限、微分、泰勒級(jí)數(shù)”的具體細(xì)節(jié)。

1.這兩門課程中討論的函數(shù)是不同的，圖像表述也尤為不同。“數(shù)學(xué)分析”中討論的一元函數(shù)y=f（x）是實(shí)變函數(shù)，其自變量x和因變量y都是實(shí)數(shù)，因此，實(shí)數(shù)和數(shù)軸是研究實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)，此時(shí)函數(shù)的圖像可以畫在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中;而復(fù)變函數(shù)w=f（z）的自變量z和因變量w都是復(fù)數(shù)，因此，復(fù)數(shù)和平面點(diǎn)集是研究復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)，此時(shí)若想描述復(fù)變函數(shù)的圖像，則需要兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系分別表示自變量z和因變量w的變化。

2.極限和導(dǎo)數(shù)的定義形式是相同的，但內(nèi)涵已經(jīng)完全不用。利用函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，同時(shí)剖析“復(fù)變函數(shù)”與“數(shù)學(xué)分析”中極限概念和導(dǎo)數(shù)概念的異同。“數(shù)學(xué)分析”中定義在區(qū)間[a，b]上的實(shí)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)c∈[a，b]處的導(dǎo)數(shù)定義為：f'（c）=■■，其中只考慮自變量x從點(diǎn)c的左右兩個(gè)方向沿著實(shí)軸這一直線逼近，當(dāng)左右極限都存在且相等時(shí)，我們稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處可微分。復(fù)變函數(shù)w=f（z）在平面區(qū)域上點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義在形式上和一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是類似的：f'（z0）=■■，但是自變量z趨于點(diǎn)z0的方向不在僅局限于左右兩個(gè)方向，而且趨近的路徑也不局限于直線，還可以是任意形狀的曲線。通過(guò)上述兩個(gè)導(dǎo)數(shù)定義的比較，可以看出復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義條件要比數(shù)學(xué)分析中嚴(yán)苛許多。由于條件的強(qiáng)弱不同，就會(huì)帶來(lái)性質(zhì)上的天壤之別。

3.在無(wú)窮可微性方面，“復(fù)變函數(shù)”與“數(shù)學(xué)分析”有著驚人的區(qū)別。在“數(shù)學(xué)分析”中，若函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)c處可微，我們只能推出其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)c是存在的，而我們無(wú)法確定其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)c處是否連續(xù)，更無(wú)法確定其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)c處是否仍可微。而對(duì)于復(fù)變函數(shù)w=f（z），若其在點(diǎn)z0處一次可微就可以推斷其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)z0處仍然可微，若重復(fù)下去，就可以推出復(fù)變函數(shù)w=f（z）點(diǎn)z0處無(wú)窮次可微，即任意階導(dǎo)數(shù)都存在，這個(gè)性質(zhì)明顯比“數(shù)學(xué)分析”中要驚人的好。

4.函數(shù)可否泰勒展開的問(wèn)題，也完全不同。在“數(shù)學(xué)分析”中，若實(shí)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)c處無(wú)窮次可微，我們就可以寫出級(jí)數(shù)（x-c），但它未必等于函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)c處的值f（c），或者說(shuō)它未必就是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)c處的泰勒展開式。而“復(fù)變函數(shù)”中若w=f（z）點(diǎn)z0處無(wú)窮次可微，則此函數(shù)在點(diǎn)z0處一定可以泰勒展開：

綜合上述講解，已經(jīng)可以讓學(xué)生對(duì)“復(fù)變函數(shù)”中最重要的極限和微分概念有了直觀的認(rèn)識(shí)，它會(huì)一直存在于學(xué)生的記憶，進(jìn)而成為學(xué)生探究式學(xué)習(xí)“復(fù)變函數(shù)”課程的動(dòng)力。

四、總結(jié)

筆者針對(duì)學(xué)生有了前期的“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)后，對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程有可能存在各種學(xué)習(xí)問(wèn)題，剖析了教師在“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中應(yīng)該注意的教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)，探討了第一次課的教學(xué)內(nèi)容的有效選擇和安排，并以實(shí)際經(jīng)驗(yàn)展示了第一節(jié)課上如何進(jìn)行“函數(shù)、極限、微分、泰勒級(jí)數(shù)”在兩門課程中的對(duì)比分析。

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