數(shù)學專業(yè)“復變函數(shù)”課程的教學探討

陶元紅+南華+劉東旭

摘要：本文針對學生在學習了“數(shù)學分析”課程之后，對“復變函數(shù)”課程有可能存在的迫切、畏懼或忽視等問題，探討了在“復變函數(shù)”課程教學中應該注意的三個環(huán)節(jié)，并探討了第一次課的教學內容的有效選擇和安排。

關鍵詞：數(shù)學專業(yè);復變函數(shù);數(shù)學分析;教學探討

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）23-0278-02

“復變函數(shù)”課程是高等院校數(shù)學專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課，該課程體系完整、理論性強，對學生的理論知識要求比較高。數(shù)學專業(yè)的許多后續(xù)課程，甚至研究生階段開設的分析理論課程，都會涉及復變函數(shù)論的內容?！皬妥兒瘮?shù)”課程的內容是“數(shù)學分析”中實變函數(shù)微積分的推廣和發(fā)展，所以在我國高等院校數(shù)學專業(yè)的課程設置中，通常會把“復變函數(shù)”這門課程當作“數(shù)學分析”課程的后續(xù)課程，將其安排在二年級下半學期或三年級，此時學生已經完整地學習過三個學期的“數(shù)學分析”課程，對一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分的核心內容已經很熟悉。多年來，筆者一直在延邊大學數(shù)學系從事“復變函數(shù)”課程的教學工作，研讀了不同的“復變函數(shù)”教材[1-4]和一些教學研討文章[5]，在教學中發(fā)現(xiàn)了一些學生在學習“復變函數(shù)”課程時的一些困惑和問題，也積累了一些教學經驗。本文針對學生在學習了“數(shù)學分析”課程之后，對“復變函數(shù)”課程有可能存在的迫切、畏懼或忽視等問題，探討了“復變函數(shù)”課程教學中應該注意的教學環(huán)節(jié)以及對第一次課的教學內容的有效選擇和安排。

一、初學“復變函數(shù)”課程的學生可能存在的問題及教學策略

筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，在“復變函數(shù)”開課之初，大多數(shù)學生都迫切地想知道該課程的重要性以及難易程度。鑒于“復變函數(shù)”課程的知識體系與“數(shù)學分析”的相關知識有著非常密切的聯(lián)系，如果有些學生對“數(shù)學分析”沒有很好的掌握，就會對“復變函數(shù)”課程產生畏懼;而有些“數(shù)學分析”學的很好的學生，會認為對微積分的內容已經有所了解，從而忽視“復變函數(shù)”課程的重要性。針對上述問題，筆者認為教師在教學中應尤其注意以下三個環(huán)節(jié)：①在開課之初就要明確復變函數(shù)論的重要性，做好“復變函數(shù)”課程與“數(shù)學分析”課程的有效銜接，消除學生的疑慮，調動學生的學習興趣。②在“復變函數(shù)”課程的教學過程中，應該注意與“數(shù)學分析”課程的比較，把“數(shù)學分析”的相關內容引進來，讓學生在復習舊知識的基礎上，吸收新內容。③在教學中，要特別強調：復變函數(shù)論作為一門學科，有其自身的特點和研究方法，在很多方面“復變函數(shù)”與“數(shù)學分析”這兩門課程的知識是不同的，不可以照搬照抄，也不可以盲目地進行推廣。筆者在教學中能夠很明確地感覺到做好如上三個環(huán)節(jié)中的第一環(huán)節(jié)在“復變函數(shù)”的教學中至關重要。這一環(huán)節(jié)做好了，就可以為學生定下一個“放下包袱、輕裝上陣”的學習基調，給學生一個能夠學好此門課程的信心并調動起學生愿意主動探究學習此門課程的學習動力。那么面對已經熟練掌握一元和多元微積分知識的學生，怎樣做好第一環(huán)節(jié)呢？筆者認為這就需要教師精心設計和安排第一節(jié)課的教學內容。

二、作好數(shù)學分析與復變函數(shù)課程的有效銜接，精心設計第一節(jié)課

正所謂“萬事開頭難”，任何一門新課的開始都是要精心準備的，都要給學生解答“學什么”、“為什么學”和“怎么學”這三個問題，要讓學生對這門課程有個大體的認識，讓學生了解此門課程并有信心、有興趣去學習它。針對已經學習了“數(shù)學分析”課程的學生可能出現(xiàn)的迫切、畏懼和輕視的問題，筆者認為“復變函數(shù)”第一節(jié)課的教學內容應該包括：①復變函數(shù)論的歷史和重要性。②“復變函數(shù)”課程內容的概述。③“復變函數(shù)”課程與“數(shù)學分析”課程的主要異同點的概述。④應該采用的學習方法。但是如何能夠讓學生輕松地接受上述四個內容，這還需要教師采用學生易于接受的方式來合理安排教學內容的順序。筆者在教學中發(fā)現(xiàn)：將上述四個內容按照“3421”的教課順序，會收到事半功倍的教學效果，具體操作過程如下。

1.先不必拘泥于嚴謹?shù)募毠?jié)，選取“復變函數(shù)”與“數(shù)學分析”兩門課程中相似的概念——“函數(shù)、極限、微分、泰勒級數(shù)”，通過對比它們在兩門課程中的異同，用學生可以理解的方式講出“復變函數(shù)”課程中這些概念的優(yōu)點，這樣不僅復習了“數(shù)學分析”的內容又引入了新的知識，可以充分引起學生們的親切感和好奇心，消除學生對課程的疑慮和畏懼，調動學生愿意主動探究的學習興趣。

2.比照教材目錄，將“復變函數(shù)”的課程內容簡明地概述給學生，指出課程的重點和難點，同時指出哪些章節(jié)要略講，哪些章節(jié)要詳細講，這樣就可以讓學生對復變函數(shù)有一個總體的認識，樹立學習此課程的信心。

3.講清楚授課的路線是沿著：函數(shù)—極限—連續(xù)—導數(shù)—積分—級數(shù)這一條主線來進行的，與“數(shù)學分析”中微積分的講解類似，只不過將研究對象從“數(shù)學分析”中的實變函數(shù)換成復變函數(shù)。告訴學生：對于與“數(shù)學分析”中類似的內容簡單講過，會多花時間講授兩門課程不同的性質。

4.建議學生采用結合“數(shù)學分析”與“復變函數(shù)”的異同，進行比較學習的方法，一邊復習舊知識一邊學習新知識，這對于學生在學習“復變函數(shù)”的同時又深入理解“數(shù)學分析”是非常有利的，而且還可以培養(yǎng)學生理解不同數(shù)學課程之間的聯(lián)系與區(qū)別，加強數(shù)學知識的連貫性，為今后學習后續(xù)專業(yè)課打下基礎。

5.簡短介紹復變函數(shù)論的產生歷史和廣泛應用：復變函數(shù)論產生于18世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了18世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了19世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。復變函數(shù)論的應用很廣泛，有很多復雜的計算都是用它來解決的。俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結構問題等。

三、“函數(shù)、極限、微分、泰勒級數(shù)”在兩門課程中的對比分析endprint

下面我們來探討關于對比分析“復變函數(shù)”與“數(shù)學分析”兩門課程中相似的概念——“函數(shù)、極限、微分、泰勒級數(shù)”的具體細節(jié)。

1.這兩門課程中討論的函數(shù)是不同的，圖像表述也尤為不同?！皵?shù)學分析”中討論的一元函數(shù)y=f（x）是實變函數(shù)，其自變量x和因變量y都是實數(shù)，因此，實數(shù)和數(shù)軸是研究實變函數(shù)的基礎，此時函數(shù)的圖像可以畫在同一個平面直角坐標系中;而復變函數(shù)w=f（z）的自變量z和因變量w都是復數(shù)，因此，復數(shù)和平面點集是研究復變函數(shù)的基礎，此時若想描述復變函數(shù)的圖像，則需要兩個平面直角坐標系分別表示自變量z和因變量w的變化。

2.極限和導數(shù)的定義形式是相同的，但內涵已經完全不用。利用函數(shù)在一點處導數(shù)的定義，同時剖析“復變函數(shù)”與“數(shù)學分析”中極限概念和導數(shù)概念的異同?！皵?shù)學分析”中定義在區(qū)間[a，b]上的實函數(shù)y=f（x）在點c∈[a，b]處的導數(shù)定義為：f'（c）=■■，其中只考慮自變量x從點c的左右兩個方向沿著實軸這一直線逼近，當左右極限都存在且相等時，我們稱函數(shù)y=f（x）在點處可微分。復變函數(shù)w=f（z）在平面區(qū)域上點處的導數(shù)定義在形式上和一元實函數(shù)的導數(shù)是類似的：f'（z0）=■■，但是自變量z趨于點z0的方向不在僅局限于左右兩個方向，而且趨近的路徑也不局限于直線，還可以是任意形狀的曲線。通過上述兩個導數(shù)定義的比較，可以看出復變函數(shù)的導數(shù)的定義條件要比數(shù)學分析中嚴苛許多。由于條件的強弱不同，就會帶來性質上的天壤之別。

3.在無窮可微性方面，“復變函數(shù)”與“數(shù)學分析”有著驚人的區(qū)別。在“數(shù)學分析”中，若函數(shù)y=f（x）在一點c處可微，我們只能推出其導函數(shù)在點c是存在的，而我們無法確定其導函數(shù)在點c處是否連續(xù)，更無法確定其導函數(shù)在點c處是否仍可微。而對于復變函數(shù)w=f（z），若其在點z0處一次可微就可以推斷其導函數(shù)在點z0處仍然可微，若重復下去，就可以推出復變函數(shù)w=f（z）點z0處無窮次可微，即任意階導數(shù)都存在，這個性質明顯比“數(shù)學分析”中要驚人的好。

4.函數(shù)可否泰勒展開的問題，也完全不同。在“數(shù)學分析”中，若實函數(shù)y=f（x）在點c處無窮次可微，我們就可以寫出級數(shù)（x-c），但它未必等于函數(shù)y=f（x）在點c處的值f（c），或者說它未必就是函數(shù)y=f（x）在點c處的泰勒展開式。而“復變函數(shù)”中若w=f（z）點z0處無窮次可微，則此函數(shù)在點z0處一定可以泰勒展開：

綜合上述講解，已經可以讓學生對“復變函數(shù)”中最重要的極限和微分概念有了直觀的認識，它會一直存在于學生的記憶，進而成為學生探究式學習“復變函數(shù)”課程的動力。

四、總結

筆者針對學生有了前期的“數(shù)學分析”課程的學習后，對“復變函數(shù)”課程有可能存在各種學習問題，剖析了教師在“復變函數(shù)”課程教學中應該注意的教學環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)，探討了第一次課的教學內容的有效選擇和安排，并以實際經驗展示了第一節(jié)課上如何進行“函數(shù)、極限、微分、泰勒級數(shù)”在兩門課程中的對比分析。

參考文獻：

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[5]谷群輝，鄭洲順，何勇，張先明.本科應用數(shù)學專業(yè)復變函數(shù)課程教學方法的改革與實踐[J].數(shù)學理論與應用，2002，22（4）：23-25.endprint