對一道概率統計例題的研究性學習

楊斯瀚 侯宇陽 代慧玲 左倩 魏代俊

摘要：研究性學習是創新知識的重要途徑，是培養大學生創新能力的重要舉措。本文以《概率論與數理統計》教學中一個例題為例證，通過教師的引導、學生自主探索，逐步深入研究，展現了研究性學習的過程，體現出研究性學習的樂趣和重要意義。

關鍵詞：概率統計；研究性學習；教育教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）30-0170-02

一、引言

古語有云：讀書不知味，不如束高閣。蠹魚爾何如，終日食糟粕[1]。所謂學習，不是一味地去囫圇吞棗，而是在讀書中發現問題、研究問題、思考問題，從而推陳出新，創造新的方法和知識。另一方面，創新教育是高等教育的核心，研究性學習則是培養創新型人才的重要途徑，大學生已具備一定的基礎知識和自學能力，因此，高等教育是最適宜而且最需要開展研究性學習的場所[2-4]。高等教育所提倡的研究性學習，是從自身的學習生活、社會生活中選擇和確定研究專題或者遇到的疑難問題，以類似科學研究的方式主動獲取知識、運用知識，解決問題的過程。研究性學習的過程是一次次不斷更新知識、追求真理的過程，同時，與現代課堂教學理念所倡導的師生平等、教學相長如出一轍。

研究性學習中，老師和學生各自要定位好自己的角色，教學要以學生為主體，老師要做好引導者，在引導中既不缺失也不越位，對有些問題“點到即止”，對總結性分析又要講解透徹。學生要做好行動者，不僅要以參與者的身份對問題進行研究學習，更重要的是要學會提出問題、探究問題的外延知識。許多學者對研究性學習的理論體系做了詳盡的研究，相比較而言，研究性學習的具體案例能更加感性、直觀地展現研究性學習的魅力，但這類研究還相對缺乏，本文以概率論與數理統計教學實踐中一道《概率論與數理統計》教材例題的學習為例，在學習中發現疑問，由老師逐步引導，學生們展開探究性學習，以學生為主體從發現問題到提出質疑并深入探索，培養了學生的創新精神，展現了研究性學習過程，讓學生們體會到研究性學習的樂趣和意義。

二、一道例題的研究性學習

1.提出問題。問題的發現或者課題的選定是研究性學習的基礎，但是問題的發現需要老師和學生都保持一種好奇心和質疑精神，特別是老師對于學生有些看似“奇怪”的問題應該鼓勵和提倡，要以認真的態度幫助學習分析問題，更重要的是老師要在教學中給予學生質疑的權利和潛移默化的影響。在《概率論與數理統計》教學實踐中，《概率論與數理統計》作為工科、管理等學科的基礎課程，在各項專業課程的學習中都起到了十分重要的作用。在學習離散型隨機變量及分布的內容時，機械工業出版社的教材《概率論與數理統計》（范玉妹等編，第二版）第78頁，有這樣一道習題：某射手參加射擊比賽，共有4發子彈，設該射手的命中率為p，各次射擊是相互獨立的。試求：該射手直至命中目標為止時的射擊次數的分布律。學生在做這道習題的時候給出了各種形式的解答，教材對應的全程學習指導（范玉妹等，《概率論與數理統計全程學習指導》機械工業出版社（第二版）第42頁）則給出了這樣的解答：

解：以X表示射手的設計次數：X的可能取值為：1，2，3，4.

P（X=1）=p；P（X=2）=p（1-p）；

P（X=3）=p（1-p）■；P（X=2）=p（1-p）■

則X的分布律為：

課堂上，有部分同學認為這樣的解答有問題，與他們思考解答的不一致，但基于對教材參考答案的權威性的認同，只有極個別的學生向老師提出了質疑，教師首先從敢于質疑“權威”這樣的精神層面對提出質疑的同學進行了肯定，并希望這種精神能被其他同學所學習，這種精神能夠帶到今后的學習生活中去，然后教師針對這個具體問題提出了兩個問題讓全體同學思考：

（1）該問題的解答是否滿足概率的完備性？（2）如果不滿足，存在什么問題？經過簡單的計算，同學們很快發現解答結果不滿足完備性，因為有下式的結論：

p+p（1-p）+p（1-p）■+p（1-p）■≥1 （1）

要滿足（1）當且僅當p=1，這意味著射手是百分之百的命中率，雖然不排出這種情況的存在，但是p≠1這種情況也是顯然存在的，故這樣的解答是明顯不對的。那么，存在什么問題呢？課堂上教師并未給出正確解答，而是讓學生課后查閱資料，思考問題應該的解答，并鼓勵學生研究問題所包含的其他知識。

2.問題的初步探究。問題提出以后，學生自主的學習研究是必需的一個過程，這個過程可以是學生之間的課后討論、利用網絡資源的查閱求證等等，無論哪種途徑，都是要讓學生經過思考、經過探索。在本例中，經過課后查閱資料學習和討論，同學們不但給出了問題的正確解答，并且是從兩個不同的思維角度給予了分析：

思維一：關注最后一次的射擊情況，即考慮第四次是否擊中。

解：在考慮第四次是否擊中時，則會出現兩種情況：

（1）當前三次不中，第四次擊中時，則第四次此時會出現概率為（1-p）3p。

（2）同時也有另外一種情況，即第四次無法擊中，但由于只有四發子彈而不得不終止試驗，則此時的概率為（1-p）4。

兩種情況都有可能，但兩種可能性在最終的結果中只可能出現其中一種，不可能同時發生，即兩事件是互不相容的。所以根據互不相容事件的加法原理，當X=4時有p={X=4}=（1-p）3p+（1-p）4，其分布律為：

思維二：不考慮第四次是否擊中。

解：從另一個角度思考，也可考慮為總共只有四發子彈所以第四次射中或者不中都將停止試驗，也就是說第四發子彈不用考慮，發生第四次即為前三次均為擊中目標，所以所求概率為p{X=4}=（1-p）3，其分布律為：

兩種分析過后，教師引導學生對兩者進行比較分析，作簡單運算就可發現，從實質上來說，這兩種情況在數值上是完全一樣的，因為

P■=（1-p）■p+（1-p）■=（1-p）■[p+1-p]=（1-p）■ （2）

但是由于兩者是從不同角度出發而得到的結論，教師對于兩種方法都給予了充分的肯定，并指出兩種方法在思維角度的異同，體現了研究學習過程中不同思維的異曲同工的效果，這也讓同學們在學習中體會到了不同思維方法所帶來的樂趣。

3.舉一反三。某一個具體問題的解答并不是研究性學習的結束，其實研究性學習的重要特點就是讓學生通過某一個問題的探討去研究這個知識的外延，從而獲得新的知識和技能，這個過程中，教師要充分發揮引導、啟發作用。在本例教學實踐中，得出這個例題的正確解答之后，研究性學習并未結束，而是要舉一反三，教師繼續鼓勵同學們思考：若子彈數量不限制，則分布律又會如何呢？學生們經過思考討論、查閱資料，又總結出幾何分布的相關知識。幾何分布的定義[5]：試驗每次成功的概率為p，在多重獨立試驗概型中，試驗進行到第一次成功為止，則試驗次數的概率分布為下式：

P（X=k）=p（1-p）■，（k=1，2，3…）？搖 （3）

然后，教師繼續引導，以問題的形式讓學生繼續思考：如果是試驗到第r次成功為止呢？學生又總結出巴斯卡分布相關知識。

巴斯卡分布的定義[5]：試驗每次成功的概率為p，在多重獨立試驗概型中，試驗進行到第r次成功為止，則試驗次數的概率分布為下式：

P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=r，r+1，…） （4）

由上兩式比較得知，當r=1時，（4）式等于（3）式，即幾何分布是巴斯卡分布的一個特例。

三、總結

本例題從射擊問題出發，以學生質疑教材給出的解答開始，教師鼓勵學生主動探索研究，逐步給出了不同思維方法下的正確解答，并且學生自主地總結出幾何分布和巴斯卡分布的概念。本例題的解答并不是一個很復雜的問題，但通過研究性學習，學生自主地探索、討論，對比、論證等多種方式不斷深入研究，讓學生有了很大的成就感，培養了學生的創新研究意識；教師通過不斷設問，逐步引導學生思考，也實踐了以學生為主體的教學方法，真正做到了教學相長，讓學生自主地完成了相關知識的學習。

參考文獻：

[1]袁枚.隨園詩話[M].線裝書局，2008.

[2]張胤.研究者——學習者：高校研究性學習之課程與教學體系的構建[J].遼寧教育研究，2004，（7）：63-65.

[3]鄭光禮.對一道課本典型例題的質疑[J].課程教育研究，2013，（16）：150.

[4]楊汛，魏代俊，等.提倡質疑問難 啟迪思維創新——對一道教材例題的探究[J].課程教育研究，2014，（6）：167.

[5]鄧集賢，等.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2009.