幾何直觀在線性代數課堂教學中的應用

張鵬鴿+高淑萍+馬建榮

摘要：線性代數課程特點使得其課堂教學一直以來都是教學中的難點和重點，本文從幾何直觀的角度對課程中行列式和線性相關性理論進行討論，主要是通過幾何直觀的思想引導學生，幫助學生理解和掌握這部分內容，使得課堂效果得到大幅提高，并提升教師在線性代數課堂教學中和學生的互動關系，激發學生對線性代數的學習興趣，更好地落實素質教育在高校中的普及，有助于提高學生的綜合素質。

關鍵詞：幾何直觀；行列式；線性相關與線性無關；秩

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）16-0199-02

針對線性代數課程的特點以及幾大模塊的教學安排，本文重點介紹幾何直觀在線性代數課堂教學中的應用，使得學生豁然開朗，甚至是醍醐灌頂的感覺。正如中國當代數學家徐利治說：“無論是從事數學教學或研究，我是喜歡直觀的。學習一條數學定理及其證明，只有當我能把定理的直觀含義和證明的直觀思路弄明白了，我才認為真正懂了。”

線性代數是理工、經管類等大學生的一門重要的數學基礎課，是學習后續課程不可缺少的工具。我校陳懷琛教授早在2008年全國大學數學論壇報告中指出，線性代數的教學對后續課程的影響非常大，僅機械和電子專業在大學前三年中就有十多門課會用到線性代數的知識，可見提高線性代數課堂教學的重要性是不言而喻的。有人說得好：“開設線性代數課程的目的，不僅是要教給學生一些有用的運算工具和算法，而且要注意提高學生在空間想象、抽象思維、邏輯推理和數學表述等方面的能力，幫助學生構建起嶄新的思維方式，為他們的后續課程及進一步深造打好基礎。”

從教多年以來，筆者得知學生對線性代數課程的普遍反映就是：抽象，難學，概念、定理多，證明、推理難，尤其是好多概念來得突然，不知所云。為了解決學生面臨的這些問題，作者總結了多年的教學經驗，重點從幾何直觀的角度給出線性代數課程中兩個抽象概念的幾何背景，有助于學生理解和掌握相關知識，并提高了線性代數課堂教學的效果。下面針對該課程中這兩個概念做詳細討論。

一、行列式的幾何意義

線性代數的主線就是求解線性方程組，矩陣是求解方程組的一大重要工具，而行列式則用來解決一類特殊的方程組，在引入二元一次線性方程組時，提出了行列式的概念，在此我們給出二階、三階行列式的幾何意義幫助學生理解掌握n階行列式的意義。

二階行列式：a■ b■a■ b■=a■b■-a■b■則表示以向量α■=（a■，b■），α■=（a■，b■）為鄰邊的平行四邊形的面積。如下圖：

S■=α■α■sin<α■，α■>

其中α■=■，α■=■，

sin<α■，α■>=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=■·■-■·■=■

從而S■=α■α■sin<α■，α■>=a■b■-a■b■=a■ b■a■ b■

三階行列式a■ b■ c■a■ b■ c■a■ b■ c■則表示由行向量或列向量所張成的平行六面體的體積，這一結論可以從兩個向量張成的平行四邊形推出。如下圖所示：

由兩個向量α■、α■張成的平行四邊形Aα■Bα■，面積S為α■、α■構成的行列式，沿著第三個向量α■會生長出無數個平行于原四邊形的新平行四邊形，直到α■的末端。顯然，所有的這些平行四邊形構成一個以向量α■、α■、α■為棱的平行六面體，這些四邊形的面積疊加起來正是平行六面體的體積。于是，行列式的幾何意義可以解釋為：行列式中行或者列向量所構成的超平行多面體的有向面積或有向體積。

二、向量組線性相關性的幾何意義

大家都知道向量組的線性相關性是線性代數課程的重點和難點，學生普遍難理解這部分內容的意義，比如相關與無關、極大線性無關組、線性空間的基等概念。課堂上通過幾何直觀的思想解釋線性相關和線性無關的概念，便于學生理解。抽象的東西，學生往往難以理解和掌握，而直觀的幾何圖形往往更容易讓人找到學習的切入點，從而更好地掌握相關知識。

向量組中若有一個向量可以由其余向量線性表示，則稱這組向量線性相關，否則稱其線性無關。在二維平面上，如果兩個向量線性相關，則這兩個向量一定在一條直線上，方向相同或相反，反之亦成立。這時可以給學生解釋：因為在一條直線上的所有向量中兩個向量都具有倍數關系，即β=kα，所有向量都線性相關，而不在一條直線上的兩個向量一定線性無關（反證法易得矛盾）。在三維空間中，若考慮兩個向量的線性相關性，則與平面上共線或不共線的情形相同，若考慮三個或三個以上的向量組的線性相關性時，以三個向量α、β、γ為例，根據定義線性相關是指其中有一個向量可以由其余向量線性表示，不妨設γ=k■α+k■β，當α與β共線時，α、β、γ共線，當α與β不共線時，α與β可以張成一平面，則γ就落在這一平面上，即α、β、γ共面；反之亦成立。顯然，不共面或不共線的三維向量組一定線性無關。

從幾何意義上講，在一個向量組里，若有多個向量在同一條直線上，那么這些向量中只需要一個非零向量做代表就可以了，直線上其余向量均可由這一個非零向量表示了，而且這一非零向量選法不唯一；進而，如果向量組中是由多個向量構成且位于一個平面上，那么只要找兩個非零非共線的向量做代表就可以了，其余向量就可以用這兩個非零非共線的向量表示了。如果向量組中是由多個向量構成且位于一個立體空間中，那么只要找三個非零非共線非共面的向量做代表就可以了，其余向量就可以用這三個非零非共線非共面的向量表示了。

于是n維向量組就可以通過幾何篩選得到一個極大線性無關組。學生就可以理解極大線性無關組就是這樣一組向量：從原來一組向量中挑出一部分向量組成一個新的向量組，這個新的向量組在某種意義下可以代表原來的向量組，同時這個新向量組很純凈，沒有躲在后面濫竽充數的向量，多余的向量都被剔出去了，向量相互獨立，誰也不代表，誰也不被代表，這些構成的向量組中向量的個數就是向量組的秩了。實質上，這樣向量組就原向量組的一極大線性無關組或是構成向量空間的一組基，極大線性無關組中所含向量的個數即為原向量組的秩或者空間的維數，秩和維數均為不變量。這樣學生理解起來就容易多了，而且清楚了極大線性無關組和秩的意義，接下來講到線性方程組解的結構時學生就非常能理解為何要找一組基礎解系來表示全部解。

總結教學經驗得到：若將線性代數中抽象概念幾何化，學生會很容易掌握，同時課堂教學效果也大幅提高，最主要的是教會了學生一種借助幾何直觀分析問題、思考問題、解決問題的科學方法，對后續課程的學習將大有益處。

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