淺談改進線性代數課堂教學的幾點做法

胡清潔　陳玉

摘要：本文結合教學實踐，提出了幾點改進線性代數課堂教學的做法：加強知識點間聯系教學；以問題為驅動引導學生參與課堂教學；適當滲透數學思想方法；注重知識背景教學。

關鍵詞：線性代數；聯系教學；問題驅動；數學思想方法

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）13-0259-02

線性代數是高等學校一門重要的公共數學基礎課程。線性代數給人感覺是概念多，比較抽象，教師難教，學生難學。針對目前狀況，如何采取更加合適高效的教學方法幫助學生掌握線性代數課程的基礎知識，提高其基本技能，是目前線性代數課堂教學改革的主要任務之一，也是廣大數學教師在教學中經常思考的問題，本文就這些問題淺談個人的幾點粗淺做法。

一、結合已有知識，加強知識點間的聯系教學

結合已有知識，加強知識點間的聯系教學就是在教學中能抓住數學概念的內涵，做到對數學前后知識點間聯系有清楚的認識，讓學生對前后數學知識能夠有機的統一起來，對新的數學知識認識提高到某種理性認識高度。結合前后知識點間聯系教學的方法是多種多樣，這就需要教師在備課時投入大量的精力去挖掘，這種方式的教學能使學生對基礎知識掌握牢固，理解深刻。例如，在講n維向量空間時，可結合我們熟知的二維平面向量和三維空間向量去類比引入n維向量的概念，同時指出它就是二維平面向量和三維空間向量即n=2，3時的推廣形式；在講n維歐氏空間中向量的有關概念時，可以引導學生由二維平面向量的長度、夾角、內積、距離公式，通過適當分析得到在n維歐氏空間中向量的長度、夾角、內積、距離公式等。在線性代數教學中有機結合已有知識，加強知識點間的聯系教學不僅可以使學生掌握線性代數基礎知識，而且也可以幫助學生完善已有的數學知識結構。

二、以問題為驅動，引導學生積極參與課堂教學

問題驅動課堂教學模式是近年來國內外教育界研究的熱點，它不僅能達到讓學生有思考的學習，而且能使學生主動的、探索式的學習。為達到上述目標，這就需要教師在課堂上從不同角度提問題讓學生思考，逐步讓學生養成自主思索探究習慣，有意識地訓練學生勤于思考的能力，逐步使學生從被動的接受知識走向主動的參與課堂學習，從而提高學生學習的興趣，進一步達到培養學生創新能力的目的。在線性代數課堂教學中實施問題驅動教學模式，仍然是為了將抽象的線性代數的內容講授給學生，讓學生有思索的學習、主動的學習、探索式的學習，讓學生從中體驗出學習線性代數課程的樂趣。例如，在講克萊姆法則時，可以先提出這樣的問題：我們通過分析二元和三元一次方程組解的特征引入了二階和三階行列式的定義，那么能否基于同樣的思想，借助n階行列式去刻劃n元一次方程組的解呢？由此激發學生的求知欲，使其產生濃厚的學習興趣，自覺積極地參與到課堂教學中去。例如，在講授矩陣乘法時，可以先提出這樣的問題：一元一次方程ax=b當a≠0時方程的解可以表示成x=a-1b，那么線性方程組AX=B的解能否寫成X=A-1B的形式呢？這樣引導學生探索AX=B中三個矩陣的元素與線性方程組的對應關系就可以導出矩陣乘法的運算規則。

三、適當滲透數學思想方法，培養學生良好的思維品質

數學思想方法是數學知識本質的反映，具有高度的概括性與抽象性，教師在數學課程教學中既要傳授知識，又要注重其中數學思想方法的滲透，更要結合教材使隱藏在數學知識背后的數學思想方法能夠在精心設計的教學過程中得到體現。線性代數不僅包含豐富的數學基礎知識，而且蘊涵了許多重要的數學思想方法，特別是一些現代數學的思想方法，目前線性代數教材中一些重要的數學思想方法都隱含在數學知識體系中，這就需要教師在備課的過程中去疏導和整理，在教學過程中引導學生去總結和領會，從而提高學生運用數學思想方法去解決數學問題的能力。例如，當講到分塊矩陣的可逆性時，對于高階矩陣的可逆性問題一般先通過初等變換將原高階矩陣化為分塊上（或下）三角矩陣，然后轉化為低階矩陣的可逆性問題進行討論。這實際上體現了線性代數中一種降階的思想，因此教師結合例題講解時應適當滲透這一數學思想。例如，在講解線性方程組時，我們一般將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為階梯形矩陣，依據線性方程組的同解原理，從階梯形矩陣對應的線性方程組的解找到原線性方程組解的基本結構。這實際上體現了線性代數中初等行變換思想。同樣初等列變換的思想，在求一組向量的秩或者極大線性無關組時也可體現出來。例如，分類的思想方法在線性代數中也有體現，如將矩陣分為對稱矩陣和不對稱矩陣；又如將方陣分為可逆和不可逆兩類；又如向量組可分為線性無關和線性相關兩類等等。例如，在講矩陣的特征值與特征向量這一章時，實際上特征值和特征向量都可轉化為我們前面學習的行列式的計算和線性方程組解的問題等，這里面都體現了化歸的數學思想。例如，在介紹n階行列式的計算時，我們知道當行列式的階數大于4時按定義計算，計算量比較大。我們一般利用行列式的性質，把一般行列式的計算化為幾類簡單行列式的計算問題。這其中就體現了數學中的化歸數學思想，教師在課程小結中應該適時總結。例如，求矩陣的秩按定義計算，計算量也比較大，我們一般把矩陣經初等變換化為階梯形矩陣，再依據初等變換不改變矩陣的秩的結論，從階梯形矩陣的秩得出原矩陣的秩，這里面就用到了把一個一般矩陣秩的問題化歸簡單矩陣秩問題的數學思想。總之線性代數教學應該以滲透數學思想方法為主線，以解決問題為目的，讓學生在學習過程中發揮主觀能動性，從而使得線性代數的教學成為一個發展與培養學生應用數學思想方法解決數學問題能力的過程。

四、注重知識背景教學，激發學生學習興趣

數學來源于實際，最終應用到實踐當中去。線性代數課程也一樣，這門課程的很多概念、方法有其發生與發展過程，很多知識在實踐中也有廣泛的應用。因此教師在線性代數教學過程中，需要結合具體內容，適當的介紹有些概念的發生發展過程、某些結論的應用情況，這樣有助于激發學生學習的興趣。endprint

例如，許多線性代數的概念可從日常生活中的例子引入。例如矩陣的概念可結合多個城市間的航行時間表、某省各地州市每月的生產總值表等實例引入；線性方程組解的存在性可結合經濟學中的投入產出模型去解釋等等。

在線性代數的教學過程中，教師可結合某些知識點適當介紹其歷史背景及其發展過程，適當擴大學生在數學史方面的知識面，從而提高他們的學習興趣。例如，在講行列式的概念時，可結合數學史材料對學生介紹行列式知識的產生背景以及發生發展過程。教師可告訴學生它最早由德國數學家萊布尼茨和日本數學家關孝和作為解方程組的一種工具提出，當初只是一種速記的表達式，而且在很長一段時間內，行列式都只是作為解線性方程組的工具，并未形成完整的理論體系。后來法國數學家范德蒙把行列式理論從線性方程組解的理論中分出來，才形成了相對獨立的理論體系。同時也可向學生介紹在行列式理論方面做出突出貢獻的其他數學家還有柯西、雅可比等通過這些相關歷史背景知識的介紹可以使線性代數的課堂教學更加生動有趣，自然而然會在學習過程中調動學生的積極性。

目前，線性代數的知識與方法在各個領域得到了廣泛應用，例如運籌學、計算數學、密碼學、經濟學、生物學等很多學科都是以線性代數基礎知識和方法為基礎的，因此，教師在教學過程中可向學生介紹線性代數在各個領域中的應用情況，讓他們真正意識到學習線性代數對他們的專業學習有用，從而激發他們的學習熱情。另外，教師在教學過程中針對相關知識點介紹一些線性代數知識在這些方面的應用情況，也為學生在后段專業學習方面做了一些鋪墊工作。

總之，要想提高線性代數課堂教學效率，需要教師去探索、實踐一些可行的教學方法，同時需要教師在課堂上去適當地引導學生，才能使學生的學習興趣應運而生，才會使學生覺得線性代數課不是那樣的抽象，不是那樣的難學，才能最終真正提高線性代數課堂教學質量。

參考文獻：

[1]徐利治.關于高等數學教育與數學改革的看法及建議[J].數學教育學報，2000，9（2）.

[2]David C Lay.線性代數及其應用[M].劉深泉，洪毅，馬東魁，等，譯.北京：機械工業出版社，2005.

[3]陳懷琛，龔杰民.線性代數實踐及MATLAB入門[M].北京：電子工業出版社，2006.

[4]王兵團，張志剛，朱婧，等.MATLAB與數學實驗[M].北京：中國鐵道出版社，2003.

[5]王尚志，孔啟平.培養學生的應用意識是數學課程的重要目標[J].數學教育學報，2002，（11）.

[6]劉學質.線性代數的數學思想方法[M].北京：中國鐵道出版社，2006.

[7]陳維新.線性代數教學談[J].高等數學研究，2010，13（4）.

[8]陳維新.線性代數簡明教程（第2版）[M].北京：科學出版社，2008.

[9]陳維新.線性代數（第2版）[M].北京：科學出版社，2007.

[10]張奠宙.新概念：用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究，2004，（3）.

[11]唐兢.大學數學教育必須從經典走向現代[J].高等數學研究，1999，（4）.

[12]李尚志.線性代數教學改革漫談[J].教育與現代化，2004，（1）.

[13]李尚志.從問題出發引入線性代數概念[J].高等數學研究，2006，（9）.

[14]王海俠，孫和軍，王青云，改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2006，（13）.endprint