構建數學思維模型 提高綜合分析能力

夏金娟

【關鍵詞】小學數學 數學思維 分析能力 教學片段

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）12A-

0074-02

2011年版的數學課程標準對小學高年級解決問題的目標是這樣描述的：嘗試從日常生活中發現并提出簡單的數學問題，并運用一些知識加以解決；能探索分析和解決問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性；經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程；能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性。數學問題的解決，從根本上講是把已學到的數學知識運用到新的情境中去，通過對已有知識的重新組合而生成新的解題策略和方法。由此可見，解決問題是發展學生創新意識和實踐能力的重要途徑，有利于強化學生對數學知識的掌握。

一、教學片段

（一）合作交流，思維訓練

（出示：閱覽室里，女同學占）

師：誰來說說這句話的意思？

生：把閱覽室里的總人數看作整體“1”，平均分成4份，女同學占其中的一份。

師：你能聯想到什么數學問題嗎？

四人學習小組討論后匯報。

生1：男同學占總人數的。

生2：女同學和男同學的比是：1∶3.

生3：女同學占男同學的；男同學是女同學的3倍。

……

（二）創設情境，交流提升

師：平時同學們都喜歡到學校閱覽室看書，下面，我們就去學校閱覽室里看看有什么數學問題。（課件出示情境圖文：學校閱覽室里看書的同學中，女同學占，30分鐘后，有6位女同學進去看書，這時看書的同學中，女同學占?，F在閱覽室有多少名同學在看書？）

師：請同學們說說看這道題有幾個數量信息。

生1：有四個信息，女同學占看書總人數的；半小時后；增加了6名女同學；女同學占看書總人數的。

生2：（搶答），30分鐘這個信息對解題沒有用。

師：你的觀察真仔細！誰來說說你讀完信息后想到了什么？下面請四人小組合作解答問題。

生：=40（人）

師：說說你的思路？

生：女同學原來占總數的，增加6人后，現在女同學占總數的，用女同學前后的數量差6人除以前后對應總人數的分率差就可以得到閱覽室的總人數了。

師：誰有不同意見嗎？

（學生沉默。教師知道結果是錯誤的，但沒有直接點出學生的錯誤，而是組織學生進行檢驗，讓學生自己去發現問題）

師：下面我們一起檢驗這個結果是否正確?，F在有40人，沒來6位女同學之前，閱覽室原有幾人？

生：40-6=34人。

師：原來女同學占，原來的女同學人數怎么算？

列式：34×

（學生很快發現：結果不是整數，開始懷疑列式是否正確）

師：我們通過檢驗發現原來女同學的人數不是整數，說明列式有問題，讓我們反思一下這道題在哪個地方理解錯了。

（組織四人學習小組討論。通過合作交流，學生自己探索解決問題的方法）

師：你們發現癥結在哪了嗎？

（學生沉默）

師（點化）：同學們，你們想想看，原來女同學占和后來女同學占對應的單位“1”雖然都是閱覽室里的總人數，但這個總人數變了沒？

（這個拋磚引玉的點化提問，激活了學生的思維，學生的發言活躍起來了）

生1：變了，增加了6個女同學，總人數也增加了6人。

生2：總人數變了，和對應的單位“1”的數量就不相同了。

生3：這道題里，女同學增加了，造成總人數也增加了。

師（小結）：當單位“1”的數量發生變化時，單位“1”不相同的分率是不能直接相加減的，比如12的和20的，我們不能把直接加。但如果是20的和20的，就可以把直接加后再乘以20，因為和對應的單位“1”都是20。你們聽明白了嗎？

生：我明白了，單位“1”不相同的兩個分率是不能直接相加減的，這道題把減是錯的。

（學生明白了解題錯誤的原因，但不知道如何找到解題的方法，這時教師點化啟發）

師：閱覽室里有女同學、男同學，還有總人數，這三個量哪個是變量，哪個是不變的量呢？

生1：女同學變了，總人數也變了，但男同學的人數沒有變。

生2：男同學的人數始終沒有改變，我們可以把單位“1”轉化成用男同學表示就可以解答了。

師：你看到了解決問題的關鍵了，那怎樣把女同學轉化成用男同學看作單位“1”來表示呢？

（學生的思維活躍起來了）

生1：從女同學占原來閱覽室總人數的可以知道原來閱覽室總人數有4份，女同學占1份，男同學占3份，那么，女同學占男同學的。

生2：女同學占現在閱覽室人數的，現在的閱覽室有5份，女同學占2份，男同學占3份，女同學占男同學的。

師：善于抓住不變量，把變量轉化成用不變量的男同學做單位“1”是解決變量單位“1”的分數問題的關鍵。同學們明白這道題怎樣解答了嗎？

（學生列式）

原女同學占男同學的比為：=

現女同學占男同學的比為：=

男同學： =18（人）

現總人數：=30（人）

師：還有別的方法嗎？

生：也可以通過總人數的變化來求解的。

（學生列式）

原總人數占男同學：=

現總人數占男同學：=

男同學：=18（人）

現總人數：18×=30（人）

師：下面我們對比一下這兩種方法，方法一求現在的總人數用除法，方法二求現在的總人數用乘法，為什么呢？

生：方法一是通過“男同學占現在總人數的”來求總人數，這里的總人數是未知的，用除法算。方法二是通過“總人數占男同學的”來求總人數，這里的單位“1”是男同學，是已知的，所以用乘法算。

（通過對比，提高轉化單位“1”思維的靈活性）

師：今天我們學會了抓住不變量，用算數法解決了分數問題，希望同學們今后做題能學會觀察分析哪個是變量，哪個是不變量，學會轉化單位“1”，把不變量看作單位“1”求解。

生：老師，能不能用方程解答？

（這時已經打下課鈴了）

師：怎樣用方程解答呢？請同學們回去探究一下，下一節課我們一起學習。

二、教學反思

（一）鼓勵學生掌握多樣化的解決問題策略，逐步完善數學模型

新數學課程標準要求積極鼓勵學生體驗“從實際背景中抽象出數學問題—構建數學模型—求解模型—解釋、應用和拓展”，從而分析問題和解決問題。本節課首先讓學生發現自己列式錯誤，從而進一步明確了這類數學問題的解答模型——單位“1”的數量發生變化時，要運用轉化單位“1”的策略解決問題。解決問題的關鍵是要觀察哪個是變量，哪個是不變量，把不變量看成單位“1”，才能求解。這里學生一般很難想到這樣的轉化，這就需要教師的點化。為突破難點，新課前教師讓學生合作交流，對“閱覽室里，女同學占”進行大膽聯想，為轉化思維奠定基礎。在解決問題過程中，教師注意培養學生思維的多樣性，即能通過女同學占男同學的分率求解，也可以通過全班同學占男同學的分率求解。最后還引導學生用方程的思維去求解，讓學生課后探索用方程解的方法，激發學生的求知欲，完善這類數學問題的數學模型，提高學生分析問題、解決問題的能力。

（二）教師要善于關注學生的學習狀態和需求

一節課的流程，不可能都是按照教師的備課教案按部就班來完成，有時會出現一些意外的收獲。這些收獲有的來自師生的互動，有的來自學生間思維的碰撞，還有的是來自個別學生的“別出心裁”。因此，教師要善于從“關注知識”轉向“關注學生”，學會由“給出知識”轉向“引出知識”。在數學學習中，對于新知識，學生獲得的經驗往往是模糊的、零散的，這就要求教師幫助學生將學習活動過程中獲得的經驗系統化、清晰化、條理化。教師要學會對一些突發的事情隨機應變，從糾正學生錯誤的數學思維中提升和完善學生數學建模的思維活動經驗，從而不斷提高學生的數學素養。比如，本節課中學生出現了列式上的錯誤，主要是學生對“女同學占”和“女同學占”這兩句話看作相同的單位“1”，即以閱覽室里的總人數看作單位“1”，這是學生思維的形象性與問題的抽象性發生了沖突而導致的錯誤，說明學生的思維在解決問題過程中出現了錯誤。在小學階段，學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，對一些深度的抽象思維的數學問題感到棘手是正常的，這就需要教師有意識地點撥和訓練，引導學生反思。本節課中，教師通過點撥學生回顧分數的加減法的意義來反思錯誤的列式，從而提高了學生遷移知識的能力和推理能力。

（三）教師要善于讓學生學會用學過的數學思維模型為新的思維模型服務

數學很講究“溫故而知新”的學習方法。新知識的出現，往往是以舊知識為基礎的，新知識是舊知識的引申和發展，是舊知識的重新組織或轉化。學習新知識前，復習相關的舊知識，不僅可以鞏固并加深對新舊知識的掌握，還可以使知識系統化，有利于學生循序漸進地探索、推理、學習知識。學習新知識后要善于與舊知識聯系，形成一個更廣泛的知識體系。本節課中，當學生用兩種方法解答后，教師啟發學生對比這兩種方法：方法一求現在的總人數用除法，方法二求現在的總人數用乘法，為什么呢？從而幫助學生既鞏固“已知單位‘1的數量時用乘法，求單位‘1的數量用除法”的數學思維模式，又加深了“如果單位‘1發生變化時，需要轉化單位‘1求解”的思維模式，提高學生數學綜合分析能力。

縱觀小學數學教育發展史，始終把解決問題作為貫穿數學課程的一條主線。因此，小學數學教學應該把培養學生解決問題的能力作為重要的教學任務。本節課的教學實踐證明，以培養學生解決問題的能力為教學目標，教學成效是不錯的。

（責編 黎雪娟）