淺談解題教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維自控能力的培養(yǎng)

蔡梅香

摘 要：解題教學(xué)中通過啟迪探索、反饋調(diào)整及歸納整理三步驟不斷引導(dǎo)、誘發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生思維自主控制能力逐步得到提高. 這將有助于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法有效地發(fā)現(xiàn)問題和快速解決問題，也有助于學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：自主控制；啟迪；反饋；總結(jié)

控制論認為：教學(xué)過程是一個由教師、學(xué)生、知識信息三要素構(gòu)成的控制系統(tǒng).課堂教學(xué)過程是教師的外部控制和學(xué)生的自主控制共同活動的過程. 學(xué)生思維自主控制是指學(xué)生主體作為施控者充分發(fā)揮主觀能動性，在科學(xué)、系統(tǒng)的監(jiān)測和評價的基礎(chǔ)上，選擇恰當?shù)乃季S形式，使思維過程沿著預(yù)期的方向發(fā)展，是課堂教學(xué)活動的主體. 在解題過程中，學(xué)生思維自主控制能力一般表現(xiàn)為：對例題、習(xí)題能做出敏捷、有效的反應(yīng)，并能自覺地調(diào)整自己的解題策略和思維方向，最后解決問題. 只有具備了這種能力，才能形成學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的傾向；開拓學(xué)生智力，提高學(xué)習(xí)效率. 因此，在解題教學(xué)中，教師的外部控制就是：創(chuàng)造良好的教學(xué)情景，運用靈活的教學(xué)方法，不斷地引導(dǎo)誘發(fā)學(xué)生的思維自主控制能力的形成與加強. 本文以三角中的一堂習(xí)題課的教學(xué)過程為例，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生思維自主控制能力的一些粗淺的認識.

[?] 啟迪探索，在引導(dǎo)解題中培養(yǎng)

現(xiàn)代教學(xué)思想認為：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動，即思維活動的教學(xué). 數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是過程而不是結(jié)論，真正的效果在于過程中. 在解題過程中，為了發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，教師的外部控制應(yīng)體現(xiàn)在啟迪引導(dǎo)學(xué)生思維過程上.即通過教師提出問題，激起學(xué)生解決問題的欲望，從而啟迪學(xué)生對例題、習(xí)題的觀察、分析，使學(xué)生在不斷的探索思維中，逐步學(xué)會自主的思維獨立性，變教師的他控為學(xué)生的自控. 這是學(xué)生解題思維自控能力形成必不可少的一步.

在解題教學(xué)時，開始引入的問題不必太難，但一定要能啟迪學(xué)生思維，能體現(xiàn)學(xué)生自控形成的過程. 如三角中的一堂習(xí)題課上，筆者首先出示：

例題：已知sinθ+cosθ=，求sin2θ的值.

例題給出后，教師不急講思路，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先觀察、審題，提出自己的看法：學(xué)生認為，此題是一道條件求值題，條件中有兩個變元sinθ與cosθ，而結(jié)論根據(jù)倍角公式，應(yīng)是求2sinθ·cosθ，顯然，若求得sinθ與cosθ的值，此題就解決了.但條件中是兩個變元在一個方程中，按照基本量的思想，應(yīng)構(gòu)成一個二元方程組，關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1可借用得：sinθ+cosθ

=，

sin2θ+cos2θ=1.

由學(xué)生演算，嘗試后發(fā)現(xiàn)過程較繁，因此他們憑直覺思維判定，此題有更為有效的解決方法（思維自主控制能力初步形成）. 對此，教師可“延遲判斷”，而向?qū)W生提示：條件求值問題需注意條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，再讓學(xué)生討論、探求. 為了啟發(fā)學(xué)生思考，教師不妨將原方程組補成關(guān)系式：

sinθ+cosθ

=，

sin2θ+cos2θ=1，

2sinθ·cosθ=？ 這樣，學(xué)生一下子就看出了它們具有平方關(guān)系. 該題解答如下：

由條件平方得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即1+sin2θ=，所以sin2θ= -.

很明顯，這個目標創(chuàng)設(shè)的解題過程，就是一個培養(yǎng)學(xué)生思維自主控制能力的簡單過程，它以教師為導(dǎo)引，學(xué)生思維為主體，通過教師的調(diào)控，學(xué)生探索、判定、求變，并最終解決了問題. 學(xué)生在這一過程中智力得到了開發(fā)，思維自主控制能力也得到了鍛煉和培養(yǎng).

[?] 反饋調(diào)整，在調(diào)控練習(xí)中培養(yǎng)

課堂教學(xué)過程中，師生的思維任務(wù)是一致的，教師的外部控制和學(xué)生的自主控制必須同步. 而學(xué)生的思維往往是不嚴謹?shù)模蚨處煈?yīng)針對學(xué)生的這一“癥狀”，有意識地設(shè)計課堂練習(xí)及時反饋學(xué)生的思維自主控制過程，以便有效調(diào)整、控制. 教師這一外部控制主要表現(xiàn)為兩個方面：學(xué)生思路與教師思路失調(diào)，思維片面時，必須及時調(diào)控；學(xué)生思路由于對某個內(nèi)容沒有徹底了解而產(chǎn)生錯誤時，也要隨時調(diào)控. 這樣，學(xué)生在思維自主控制過程中就可以減少錯誤和偏差，思維能力進一步加強.

根據(jù)本節(jié)課的特點，我們可繼續(xù)設(shè)計如下練習(xí)題讓學(xué)生解答：

【練習(xí)1】 已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），求sinθ-cosθ的值.

【練習(xí)2】 已知sinx+cosy=，求u=sinx-cos2y的最大值與最小值.

對于練習(xí)1，學(xué)生解答大多為：由條件平方得1+2sinθ·cosθ=，所以sin2θ=-.

又sinθ-cosθ=±= ±=±=±，學(xué)生做到此便覺大功告成了. 此時反饋給教師的是學(xué)生思維不夠嚴謹，應(yīng)由教師指出來，但不應(yīng)直接答復(fù)，而要探求他們的問題所在，再加以啟示，使他們最后仍通過自己的自主思維加以解決. 此時，教師可讓學(xué)生轉(zhuǎn)為解下列方程組：由sinθ+cosθ

=，

sinθ-cosθ

=-，得sinθ

=-，

cosθ

=.學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果與已知條件θ∈（0，π）不相符. 這樣，學(xué)生思維的積極性一下子就被調(diào)動起來了. 通過思考，學(xué)生調(diào)整了思維策略和方向，悟出了：擴解是由于平方引起的. 實事上，由于sinθ+cosθ=，經(jīng)函數(shù)線可判定θ∈

，π

，故sinθ-cosθ>0，正確答案應(yīng)是sinθ-cosθ=.

通過練習(xí)1的學(xué)習(xí)，學(xué)生品嘗了思維果子的甘甜，思維自主控制能力也在分析與調(diào)整中得到了鍛煉. 所以對于練習(xí)2，學(xué)生吸取了教訓(xùn)，認真分析，發(fā)現(xiàn)：該題若用平方法處理，不能達到消元的目的. 而應(yīng)用代入消元法，再轉(zhuǎn)化為一元二次最值問題解決（解答略）.

由上面兩個練習(xí)，我們高興地看到：教師有意識地創(chuàng)造機會讓學(xué)生思考，并及時反饋學(xué)生的思維過程，糾正學(xué)生的思維偏差，調(diào)整不合拍的思維，學(xué)生在思維過程中學(xué)會了調(diào)整自己的思維方式，克服了思維中的片面性和局限性. 這樣，學(xué)生思維自主控制能力也進一步提高了.

[?] 歸納整理，在總結(jié)深化中培養(yǎng)

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說：“即使在教學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類化.” 歸納能使大腦的有關(guān)部分貯守的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，并組成更有序的結(jié)構(gòu). 它能使學(xué)生更及時、有效地對思維活動進行調(diào)控，避免思維的麻木性和低效性. 學(xué)生學(xué)會歸納整理的最佳途徑是自主地參與數(shù)學(xué)活動，并有意識地把這種參與活動的經(jīng)驗變?yōu)榻忸}的思維自主控制能力.

從上面例題的引導(dǎo)、練習(xí)的調(diào)控，學(xué)生已有一些解決這種題目的感性認識. 為使學(xué)生更好地歸納整理解題規(guī)律，教師可由習(xí)題引出“一類”問題，即編題組進行歸納. 但考慮到學(xué)生獨立總結(jié)經(jīng)驗的困難，教師一般是在學(xué)生有了充分的思考后，再引導(dǎo)學(xué)生逐步概括.

教師出示題組：

①已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），求cotθ的值. （94年高考題）

②若tanθ是方程2x2-2kx+k2-3=0的兩個實根，且θ∈

π，

，求cosθ-sinθ的值.

③已知sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，且α，β均為銳角，求tan（α-β）的值.

學(xué)生練習(xí)后，教師繼續(xù)引導(dǎo)思維：三道習(xí)題的求解中采用了一個共同的方法是——平方消元法. 最后學(xué)生有了這樣一個理性認識：有關(guān)正弦、余弦的和差關(guān)系，一般可采用平方消元法求解，目的是減少參變量，但要注意平方可能引起擴解，需要檢驗解的合理性. 由于學(xué)生通過思考和親身體驗，很快就掌握了這種方法. 這樣學(xué)生不僅學(xué)會了挖掘習(xí)題本身蘊藏的內(nèi)在規(guī)律而且能有效運用這種規(guī)律，更廣泛地控制自己的思維了.

如其他章節(jié)較難的三角習(xí)題：

①已知8sinα+5cosβ=6，8cosα+5sinβ=10，求sin（α+β）的值.

②已知sinA+sinB+sinC=1，cosA+cosB+cosC=0，求cos2A+cos2B+cos2C的值.

學(xué)生一般都能找出解題思路，迅速地解決問題了.

可見學(xué)生把教師的理想思維和自己的實際思維相結(jié)合，真正達到自主控制，在實踐中就是碰到未謀面的題目，也不會“頭腦一片空白”，而能不斷啟動自己的思維，對題目做出快捷反應(yīng)，不斷地調(diào)節(jié)思維方向來解決問題.

總之，通過教師的引導(dǎo)思維、調(diào)整思維和深化思維的外部控制，學(xué)生思維自主控制能力的逐步提高，有助于學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法有效地發(fā)現(xiàn)問題和快速解決問題，也有助于學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，這在當今信息時代是有裨益的.