本想情理之中，卻是意料之外

蘇曉輝

摘 要： 《2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：了解并證明圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).這是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在剛剛過(guò)去的2015年南京市中考試卷上，我們看到了這一圓周角定理推論的考察.作者今年仍然從事畢業(yè)班教學(xué)工作，在教學(xué)這一定理時(shí)較去年有了更深的體會(huì).

關(guān)鍵詞： 圓內(nèi)接四邊形 圓周角 轉(zhuǎn)化 學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

一、課前預(yù)設(shè)

筆者在備課時(shí)，先從特殊情況出發(fā)，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，當(dāng)BD是直徑時(shí)，你能發(fā)現(xiàn)∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

每個(gè)學(xué)生先獨(dú)立思考，然后請(qǐng)同學(xué)展示交流.

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：∠A=∠C=90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于180°，得到∠ABC+∠ADC=360°.

設(shè)計(jì)思路：讓學(xué)生自己思考，鞏固了前面所學(xué)的圓周角相關(guān)知識(shí)，同時(shí)也告訴學(xué)生是用圓周角的知識(shí)解決問(wèn)題，向?qū)W生滲透化歸的數(shù)學(xué)思想.

再推廣到一般情況，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，當(dāng)BD不是直徑時(shí)，你上面發(fā)現(xiàn)的∠A與∠C、∠ABC與∠ADC的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？為什么？請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證自己的猜想.

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論交流，最后全班交流展示.

第一步：可以先量一量、想一想，提出猜想：對(duì)角互補(bǔ).

第二步：能否轉(zhuǎn)化成上面的特殊情況解決.

設(shè)計(jì)思路：將第2種情況轉(zhuǎn)化為第1種情況，體現(xiàn)了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

最后請(qǐng)你歸納總結(jié)上面的發(fā)現(xiàn)，你能否將結(jié)論表述出來(lái)？

讓學(xué)生自己說(shuō)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

呈現(xiàn)三種語(yǔ)言.

設(shè)計(jì)思路：培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.

但是在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，第一環(huán)節(jié)進(jìn)行得非常順利，但是在第二環(huán)節(jié)上卻出乎意料.

二、課堂生成

每個(gè)學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，最后請(qǐng)同學(xué)們展示交流.

學(xué)生1：連接OA、OB、OC、OD，因?yàn)椤?=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，又因?yàn)椤?+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠1+∠4+∠5+∠8=360°÷2=180°，即∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

此種證法將四邊形分割成四個(gè)等腰三角形，利用角的相等關(guān)系和四邊形內(nèi)角和證明.

學(xué)生2：連接AC、BD，因?yàn)椤?=∠6，∠2=∠5，∠3=∠8，∠4=∠7，又因?yàn)椤?+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠1+∠4+∠5+∠8=360°÷2=180°，即∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

此種證法利用同弧所對(duì)圓周角相等得出角的相等關(guān)系.

學(xué)生3：因?yàn)椤螦是劣弧BD所對(duì)的圓周角，∠C是優(yōu)弧BAD所對(duì)的圓周角，兩段弧合起來(lái)是一個(gè)整圓，度數(shù)是360°.所以∠A和∠C的度數(shù)和應(yīng)該是弧的度數(shù)的一半，即∠A+∠C=360°÷2=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

此種證法利用圓周角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)關(guān)系進(jìn)行證明.

隨后，班上沒(méi)有學(xué)生想出教師預(yù)設(shè)的證法.我只好進(jìn)行了補(bǔ)充，將一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況：延長(zhǎng)DO，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE和CE.

三、課后反思

課后，筆者對(duì)本節(jié)課的課堂預(yù)設(shè)和生成進(jìn)行了整理和反思，又發(fā)現(xiàn)了一些新的東西.

1.簡(jiǎn)化證法

學(xué)生2的證明方法也可進(jìn)一步簡(jiǎn)化：因?yàn)椤?+∠2+∠7+∠8=180°，而∠2=∠5，∠4=∠7，所以∠1+∠4+∠5+∠8=180°.

此種證法將對(duì)角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和.

2.分類討論

在證明圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)時(shí)，教材、教師預(yù)設(shè)和課堂生成上是有瑕疵的.在一般情況下，圓內(nèi)接四邊形在圓內(nèi)的位置應(yīng)該分為三種情況：圓心在四邊形內(nèi)部、圓心在四邊形一邊上、圓心在四邊形外部.而前面我們只考慮第一種情況，而后兩種情況這四種證法是否同樣適用？帶著這個(gè)疑惑，我進(jìn)行了思考.

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，圓心在四邊形一邊上時(shí)，這四種證法都可行，并且比第一種情況的證明過(guò)程更簡(jiǎn)單.但是圓心在四邊形外部時(shí)，有些復(fù)雜.我列出了四種證法的圖形.

后三種圖形的證法與前面所講述的是一樣的，但是第一種證法與前有點(diǎn)不太一樣.

連接OA、OB、OC、OD，因?yàn)椤?=∠5，∠2=∠4+∠5，∠3=∠6，∠7=∠8+∠1，又因?yàn)椤?+∠3+∠4+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠4+∠5+∠6+∠4+∠6+∠7+∠7-∠1=360°，所以∠4+∠1+∠6+∠4+∠6+∠7+∠7-∠1=360°，所以2∠4+2∠6+2∠7=360°，所以∠4+∠6+∠7=360°即∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

四、感悟升華

布魯姆曾說(shuō)：“人們無(wú)法預(yù)料教學(xué)所產(chǎn)生的成果的全部范圍，沒(méi)有預(yù)料不到的成果，教學(xué)就不成為一種藝術(shù).”

在本節(jié)課的證明圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師本想通過(guò)特殊情況過(guò)渡到一般情況，希望學(xué)生通過(guò)作輔助線的方法將一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況處理，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單圖形，但是本想情理之中，卻是意料之外.學(xué)生并沒(méi)有這樣想，同樣是從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用四邊形的內(nèi)角和、等腰三角形、圓周角等性質(zhì)證明這個(gè)定理，不但活躍了課堂氣氛，還啟迪了老師的思路.這種教學(xué)效果肯定要比多講幾個(gè)例題要好很多.

除此之外，我也在想：學(xué)生為什么會(huì)先想到這三種證明方法呢？這可能與他們前面學(xué)習(xí)、練習(xí)有很大的關(guān)系.四邊形的內(nèi)角和、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)是學(xué)生常用的解題依據(jù)，而圓周角定理、連接半徑這種輔助線剛剛學(xué)過(guò)，最近一直在進(jìn)行這方面的練習(xí)，這些學(xué)生都非常熟悉，所以在思考一個(gè)新的問(wèn)題時(shí)，首先想到這些方法，也是順其自然的.而教材上出示的證明方法（也就是教師的預(yù)設(shè)）是作出直徑，然后轉(zhuǎn)化為特殊情況.這種方法在前一節(jié)課（圓周角定理的推論）中出現(xiàn)過(guò)，但是對(duì)于剛剛接觸圓的學(xué)生來(lái)講，這種方法還是比較陌生的，所以沒(méi)有想到.

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中知道要依據(jù)學(xué)情開(kāi)展教學(xué)行為.但是學(xué)情并不簡(jiǎn)單地認(rèn)為是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，還要考慮你所教的學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中哪些是非常熟悉的，哪些是不熟悉的、陌生的，而這正是學(xué)生思考新問(wèn)題的起點(diǎn)，只有把握好這一點(diǎn)，活用教材，做出適合學(xué)情的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]邱云.掌好課堂引導(dǎo)之舵.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015年第5期（中旬）.