“任性”表達：兒童數學思維的理性觀照

【摘要】兒童天生是詩人和哲學家。數學教學應當關注兒童思考問題的視角及其對數學現象的理解和表達方式，不必過分苛求他們對知識點進行完美的表述。兒童的“任性”表達作為其數學思維的呈現方式，充盈著智慧，彰顯著價值，閃耀著人性。

【關鍵詞】“任性”表達；數學思維；理性喚醒；理性構建；理性自覺

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）06-0024-03

【作者簡介】張錦，江蘇省淮安市實驗小學（江蘇淮安，223000），一級教師。

一、“任性”一些又何妨？

新課改以來，尤其是新課標實施以來，人們越來越關注兒童的“學”，關注“以生為本”，關注兒童的長期可持續發展。但是，我們也應該看到，在數學課堂上，兒童自由表達的時空仍然受到比較大的限制。

1.爭論不休的“規定”。每到備課季，教研組的老師們都會為“雞毛蒜皮”的細節爭得面紅耳赤。比如：“6∶05”究竟怎么讀？甲說：“嚴格按照教參，讀作‘6時零5分。”乙說：“為什么不能讀作‘6時過5分呢？”爭論不滅亦不休。

2.追求完美的“表達”。一教師執教蘇教版五下《圓的認識》，教到半徑、直徑等概念時，教師用手指著“圓上”，引導學生說：“這叫圓——”面對學生思維短路、表述不暢等情況，教師干脆打斷學生的回答，說：“這叫圓上，大家齊讀——經過圓心，兩端都在圓上的線段……”

兒童與數學的相遇應該是美好的。詞人納蘭性德描繪了“人生若只如初見”的意境，我們不妨將兒童學習數學的過程視作他們與數學“初見”的過程。這樣說來，觀照當下的數學課堂，讓學生的表達“任性”一些又何妨？

二、數學課堂中“任性”表達的價值探尋

表達是將思維所得的成果用語言反映出來的一種行為。在數學教學中，筆者更愿意將“表達”理解為：數學思維成果以廣義的語言形式呈現出來。聚焦課堂，這種表達方式可能是口語式的、圖畫式的、操作式的……在表達前面冠以“任性”二字，并非簡單地附庸時尚，而是從兒童和學科的角度，還原他們學習的真實狀態。

1.尊重人性：關于本原，關于未來，關于價值觀照的哲學視角。周國平曾說過：“孩子天生是詩人和哲學家。”童年是一個獨特的生命階段，每個兒童都是一個完整的生命個體，有自己的哲學。基于兒童“任性”表達的數學課堂，教師理應對兒童抱有敬畏之心、謙遜之心，精心呵護他們的發現、表達和成長。

2.順應天性：關于成長，關于生命，關于理性彰顯的審美意蘊。尼采說：“只有作為審美現象，人世的生存才有充足的理由。”變封閉、被動、個體、靜態的表達為開放、主動、集體、動態的表達，就是基于兒童生命發展的教學訴求。教師應注意賦予課堂“任性”表達的時空，為兒童的精彩成長提供可能。

3.彰顯個性：關于自主，關于思考，關于素養提升的教育詮釋。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。兒童的“任性”表達在一定程度上是基于自主建構和個性思考的，這種思考可能是靈光一現的，也可能是經過深思熟慮的。在數學表達的過程中，學生借助抽象和半抽象的圖像、符號等載體，完成一次次“破繭飛翔”的思維之旅。

三、數學課堂中“任性”表達的實踐策略

（一）基于“任性”表達：指向兒童數學思維的理性喚醒

1.沿著“精神實體”的目標展開——“是什么”“為什么”“怎么樣”。

數學教育家弗賴登塔爾曾指出：數學教學目標一個叫精神實體，一個叫實體。實體解決的是“是什么”的問題，精神實體則沿著“為什么”“怎么樣”的路徑展開。例如：蘇教版二下《有余數的除法》一課的教學重點，是研究除數和余數的關系，我設計了如下學習單：

表格承前啟后，及時鞏固例1，又為例2做好了準備。在教學例2時，通過操作9—15根小棒研究除數和余數的關系，板書則借鑒了教材的樣式。

學生的“任性”表達由此開始。（1）爭執階段——“是什么”：在說12的余數時，學生出現了0和4的爭執，討論后一致認為余數是0（更準確地說，是沒有余數）；（2）延伸階段——“怎么樣”：16根，余數是多少呢？（3）發現階段——“為什么”：余數會是5、8、9嗎？會是4嗎？3呢？余數可能和誰有關呢？有什么關系？有的學生說“余數不能比4大”，有的學生說“余數要比4小”，還有的學生說“除數是4，余數就固定了”……

2.基于“樸素理解”的形式推進——“從哪里來”“到哪里去”。

北京教育學院劉加霞教授說：“數學教學應該行走在‘樸素理解和‘形式化之間。”在數學教學中，基于樸素理解的表達應帶有兒童特質，但又不能讓其失去數學的學科特點。例如：教學蘇教版三上《分數的認識》時，我們可以讓學生自主理解“二分之一”，借助餅形圖、線段圖、實物圖等表征方式，最終指向分數的數學意義。教師應注意讓學生經歷知識發生、發展的過程，既要感受到知識“從哪里來”，又要知曉“到哪里去”，順著這樣的思路延伸，構建理性的數學學習生活將成為貫穿課堂的主線，兒童的數學思維將得到發展。

（二）延伸“任性”表達：指向兒童數學學習的理性建構

1.建立兒童認知與學科體系的聯系，凸顯數學學習的哲學意蘊。

皮亞杰說：“兒童的數概念不是成人能直接教會的。”兒童有時會有這樣一種感覺：老師講的不是我們需要的，我們需要的老師都沒講。在兒童的認知與學科體系之間，往往存在著斷層或鴻溝。教師應注意挖掘并延伸兒童“任性”表達的資源及其價值，幫助他們有效建構認知體系。例如：教材在編排蘇教版六上《百分數的認識》時，從投籃比賽引入，“巧合”的是，這幾個分數的分母分別是5、20、25，化成分母是100的分數后就變成百分數了。一個學生追問：“萬一分母不是5、10、25這樣的數，百分數還能這樣變過來嗎？”順著這個追問往下走，很快就能接近百分數的本質了。

2.建立學習直覺與數學理性的聯系，凸顯數學學習的審美意蘊。

兒童的“任性”表達往往包含著數學學習的直覺。美國數學家庫朗指出：直覺，這種難以捉摸、充滿活力的力量，始終在創造性的數學中起作用，甚至推動和引導最抽象的思維過程。例如：蘇教版二下“兩、三位數的加法和減法”單元有這樣一道例題：車上原來有34人，到站后有15人下車，又有18人上車，離站時車上有多少人？學生列出了算式，分別是：（1）34-15+18=37（人）；（2）34-15=19（人），19+18=37（人）；（3）34+18-15=37（人）；（4）18-15=3（人），34+3=37（人）。對于第四種算式，學生解釋：15人下車，位置空出來，18人中有15個人補坐上去，還剩下3人，也就相當于多了3人。學生一個簡單的比方、一種形象的表達，也許強過教師的百般引導，這其中，學生的數學思考方式是需要教師倍加珍視的。

3.建立數學發現與核心知識的聯系，凸顯數學學習的教育意蘊。

數學教育家波利亞發現，數學有兩個方面：用歐幾里得方式提出的數學是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學是實驗性的歸納科學。鼓勵兒童“任性”表達的數學課堂應以“核心知識”為主線，在數學發現中讓學習真實地發生。例如：教學蘇教版二下“近似數”，借助數軸，學生發現，越往左邊越接近500，越往右邊越接近600，這些數都以一個數為界限，那就是550。李同學突然提問：“為什么要把550作為分界線，而不是其他數呢？”一石激起千層浪：“5000約等于幾千？”有的學生說：“5000≈6000。”大家馬上否定：“5000怎么會約等于6000呢？”有學生說：“5000有近似數嗎？”在美妙的數學發現中，學生又初步表達了對使用“近似數”的感覺：“買東西大概需要多少錢”“旅游的時候大約走了多少千米”等都會用到。將數學發現與核心知識聯系起來，富有趣味和意義。

（三）提升“任性”表達：指向兒童數學學習的理性自覺

1.讓“任性”表達與數學語言有效接軌，學會數學地思維。

北京師范大學石中英教授在《教育哲學導論》一書中闡釋：“人的發展，就其根源來說，不是一個外在的規則或控制過程，而是一個內在的覺醒或成長過程。”在某種意義上，學生的“任性”表達與其思維發展水平有著不可分割的關系。在教學中，教師應巧妙地將兒童形象化的、事例化的表達與數學語言接軌，哪怕是隱性接軌也是非常有必要的。例如：蘇教版二下“角的初步認識”單元有一道關于“用一副三角尺拼出不同的角”的思考題。有的學生將“拼”理解為“兩個三角尺的疊加”，有的學生“拼”出了符合要求的角卻答非所問。教師引導學生將他們的錯誤理解各個擊破后，學生很容易就理解了“拼”就是“頂點重合，一條邊重合”。引領兒童轉換數學語言的過程，也是幫助他們轉換數學思維的過程。

2.讓“任性”表達與數學理解巧妙聯通，實現思維數學化。

兒童的“任性”表達是基于數學素材，通過數學思考，指向數學思維的過程。教師應注意借助對比、推理、猜想、驗證等方法，將兒童的思維表達與數學思考巧妙連接。例如：教學蘇教版二下“有余數的除法應用題”，我對教材進行整合，呈現了兩道對比題：（1）10個磁性圓片，每人4個，最多可以分給幾個人？（2）10個磁性圓片，每個袋子裝4個，需要準備幾個袋子？對比之后，學生各抒己見：“人家會不高興的，袋子還需要準備一個”“你買了10個蘋果，還剩下2個不能不拿就走，還需要一個袋子裝走”……對比中透露出學生數學思考的力量，初步的思維模型也在他們頭腦中浮現。

3.讓“任性”表達與數學思考高效契合，促進思維自覺化。

在課堂的互動環境中，在表達與思考之間建立起聯系，促進個體自主建構，可行而且有必要。例如：蘇教版二下“兩、三位數的加法和減法”單元有這樣一道思考題：趙強家養的雞比鴨多30只，后來又買來30只雞和45只鴨。現在是雞多還是鴨多，多多少只？教學用書提供了兩種思路：一種是補差法，一種是假設法。小王同學假設鴨有0只，雞有30只。圍繞假設，學生的思考高度展開。教師問：“可以設30和60嗎？”學生認為可以，還可以設15和45，還有人說設1030和1060，在對假設的數據進行遴選時，學生進行了優化。有的學生還說“假設雞比鴨多25只”，被直接否定：“題目里說的是多30只，條件不可以改變。”學生辯解：“0和30題目里也沒有啊。”大家認為：就是因為沒有才去假設，但不能改變題目的意思。通過幾輪思考，學生的表達層層深入，思維也變得敞亮起來。

“不忘初心，方得始終。”教師應悉心呵護學生學習數學的“初心”，讓數學思維在學生“任性”表達的過程中逐漸被喚醒，讓學生“詩意地棲居”，綻放“活潑潑的生命”，那將是一種美妙的向往和追求！

【參考文獻】

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[3]G.波利亞.數學與猜想：合情推理模式[M].李志堯，王日爽，李心燦，譯.北京：科學出版社，2013.

[4]親近母語研究院.兒童與哲學[M]北京：接力出版社，2012.

[5]劉曉東.兒童精神哲學[M].南京：南京師范大學出版社，2003.

注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。