高中數學教學中數形結合思想的應用研究

吳躍

【內容摘要】數形結合思想作為一種重要的數學思想，實際上包含以形助數和以數解形兩個方面，其在簡化某些數學問題方面具有巨大的優越性，同時也可以將抽象的數學知識變得形象生動，尤其適用于函數與平面解析幾何方面數學知識的求解中。本文以數形結合思想為研究對象，就其在高中數學中的應用進行了探究。

【關鍵詞】高中數學 數形結合 應用

數形結合思想實際上就是借助數量與圖形二者關系的轉化來幫助學生找到解決數學問題的一種數學思想。數學知識本身比較枯燥、乏味，并且對學生邏輯思維要求比較高，所以學生學習起來有一定的困難。而數形結合思想在教學中運用可以使抽象、復雜的數學知識變得生動、形象，有利于降低學生分析和理解有關數學問題的難度，提高學生的解題能力。

一、以數化形，使抽象數據圖形化

數量關系是數學語言中一類常見的數學知識，但是學生在理解那些抽象性比較高的數量關系時可能有一定的難度，無法形成深刻地理解和認識，學習效果不理想。理論上來講，“數”與“形”之間大都具有很強的對應關系，所以針對抽象、復雜的“數”方面的內容，數學教師可以將其對應轉化成“形”來幫助學生更好地觀察、分析和理解這些“數”的具體內容，提高學生解決有關問題的能力。在高中數學教學的過程中，平面、立體以及解析幾何等方面的數學知識大都可以采用數形結合思想來實現從“數”向“形”的轉化。

例如，已知方程|x2-1|=k+1，討論k取值不同時刻的方程個數。

解析：該方程的求解實際上可以分成兩個函數：y=|x2-1|和y=k+1，這樣一來，方程解實際上就是兩個函數圖像的交點個數，從而實現有利于降低解題的難度。下面就該道例題的具體解決步驟進行探討。

解：y=k+1的圖像實際上就是平行于x軸的一系列直線，而y=|x2-1|則表示單一的一元二次函數，其二者之間的具體位置關系如下圖所示。

由上圖可知：當k<-1時，兩個函數圖形此時沒有交點，這說明|x2-1|=k+1此時無解；當k=-1時，兩個函數此時有兩個交點，這說明|x2-1|=k+1方程有兩個解；當-10時，兩個函數此時有兩個交點，這說明|x2-1|=k+1方程有兩個解。

二、以形變數，使圖形變化數據化

雖然圖形具有直觀、形象的特點，但是在定量方面還是缺乏一定的不足，需要借助數據或者代數公式來加以表達。而在遇到那些比較復雜的圖形問題時候，學生可以合理將有關的圖形進行數據化或公式化處理，以幫助學生定量分析和了解圖形的變化特征，針對題目中所給出的各種已知條件，將圖形或幾何的意義和性質以相應的數學定理或公式來用代數式加以表達，從而更好地得出相關圖形計算公式的條件與結論。

例如：已知f（x）=x2-2ax+2，當x在[-1，+∞]間取值時，f（x）>a恒成立，對a的取值范圍進行探討。

解析：有題目可知，當x在[-1，+∞] 間取值時f（x）>a恒成立，所以可知x2-2ax+2-a>0在[-1，+∞]范圍中也恒成立，所以g（x）=x2-2ax+2-a此時處于x軸的上方，具體如上圖所示。由于此時該不等式恒成立，所以可得出以下兩個結論：當△=4a2-4（2-a）<0，可知參數a的取值范圍為（-2，1）；當△=4a2-4（2-a）≥0的時候，g（-1）>0，a<-1，此時參數a的取值范圍為（-3，1）。

由此可知，針對某些求取具體值的數學問題，圖形無法直接的表述出來，而如果可以將圖像轉化為代數問題，則可以提高學生解題的速率。

三、數形互變，使數與形共同作用

數形互變實際上不單單指以數變形或者以形變數，而是指二者的互相變換來達到解決有關數學問題的目的。通過在數與形之間找到二者交互的共同點來幫助學生從已知數學公式與結論入手，詳細分析數學題目中給出的數和形方面的互變條件，從而幫助學生將那些復雜抽象的數學問題形象化、具體化、簡單化，進而達到解決問題的目的，尤其是針對那些復雜的綜合性應用題，數學教師更需要引導學生靈活運用數與形的關系。

例如，在講解“三角函數”部分數學知識的時候，數形結合思想的運用在教學中具有重要的意義。針對函數y=Asin（wx+φ）+b的圖像變化方面的教學知識，為了可以使學生直觀地觀察A、w、φ和b等參數變化對于對應圖形的實際影響。數學教師可以借助幾何畫板來幫助學生演示各個參數變化后圖形的對應變化，具體主要為：（1）y=sinx；（2）y=sin（x+1）；（3）y=sin（x+1）+4。幾何畫板具有強大的動態展示功能，教師只需要將A、w、φ和b等參數按照上述內容進行分別賦值即可使學生直觀地觀察到各個參數變化對于函數圖形變化的影響，深化學生對于函數圖形的理解和認識，增強學習效果。

總之，數形結合思想作為一種重要的數學思想，其在高中數學教學中的應用可以使抽象復雜的數學知識變得生動、形象，有利于降低學生理解的難度，拓展學生的思維，提升學生的解題能力。因此，在實際高中數學教學中，數學教師要合理引入數形結合思想，以不斷提升學生解決數學問題的能力。

（作者單位：甘肅省迭部縣高級中學）