“精誠所至，真理為開”

孔炳興

【摘要】 小學數學教學中， 教師要重視猜想驗證思想方法的滲透。猜想與驗證的探究過程首先是感知階段，通過對問題情境的全面了解為下一步探究打下基礎。假設則在于對問題進行了嘗試性的研究，研究的結果正確與否可以通過實例驗證來判斷，而歸納則使研究形成了規律性，有助于深化理解并靈活運用。學生在此過程中，不僅獲得知識，更有獲取知識的能力、探究知識的自信心與積極性。

【關鍵詞】 小學數學 猜想驗證 感知 歸納

【中圖分類號】 G623.5 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）03-075-03

猜想驗證是一種重要的數學思想方法，著名的“哥德巴赫猜想”為我們進行數學學習樹立了典范。現實數學教學中，教師普遍對猜想這一環節重視不夠，特別是有的老師擔心學生會因些而把課堂猜亂了；對于驗證，也有教師認為是多此一舉的，認為這樣操作太浪費時間，倒不如多解題、會解題來得實惠，這是一種短期教育的目光。科學家牛頓說過，“沒有大膽的猜測就做不出偉大的發現”。小學數學教學中， 教師要重視猜想驗證思想方法的滲透， 以增強學生主動探索和獲取數學知識的能力， 促進學生創新能力的發展。另一方面，就思維發展特征而言，小學生處于形象思維占主導的階段，很多數學概念、性質在小學階段認識的，往往要到初中才去證明它，在這種情況下，小學階段的猜想與驗證起著實驗教學的作用，對逐步培養學生的抽象思維作用巨大，也有助于學生創新能力的培養。

一、感知——為思維建個素材的倉庫

人類認識事物是從感知事物開始的， 而后才可能認識事物的本質。學生在數學相關內容的學習中感知越豐富， 建立的表象會更清晰， 就越能發現事物的規律。

感知需要建立可行的情境條件，如用多媒體演示： 圓柱體由圖①逐漸變成圖②（底面不變，高擴大），再由圖②變成圖④（底面擴大，高不變），然后再由圖①逐漸變成③ （底面擴大，高不變），再變成④，通過將圖片作透明化處理后拖動鼠標比較體積的大小，學生感知到圓柱體體積與底面大小與高密切相關，這就為下一步的探究打下了思維的基礎。（圖1）

感知需要充分調動多種人體感官的參與，陶行知對此有“六大解放”的論述：“解放兒童的頭腦，使之能思”——思維的參與感知才能加工而深化；“解放兒童的雙手，使之能干”——動手摸一摸，量一量，做一做，感知才真切；“解放兒童的眼睛，使之能看”——眼觀六路，感知才鮮活有效，便于形成表象；“解放兒童的嘴，使之能講”——說一說有助于知識的反饋與消化。“解放兒童的空間，使之能接觸大自然和社會”——感知的世界全面，獲得的信息既真實又鮮活。“解放兒童的時間，不逼迫他們趕考，使之能學習自己渴望的東西”——時間充足才能讓信息流入大腦。上述圓柱體體積的感知過程給了學生充足的時間，引導學生動眼看一看、動手做一做、動腦想一想、動筆算一算、動口說一說，從而獲得豐富的素材，建立較清晰的表象，搭建起知識內化的橋梁，這樣就便于形成較合理的猜想，避免不切實際的幻想與瞎想。

二、假設——為思維插上想象的翅膀

假設是對知識做出未經證實的初步判斷， 它是學生獲取數學知識的重要環節。在學生大量感知相關知識內容并建立了表象后，教師要給學生充足的時間與空間，讓他們根據自己的思考自由地觀察、分析與推理，必要時再提供一定的思維支撐，使感性知識進一步理性化，然后再通過相互交流形成合理的假設。

如教學 “分數化有限小數”時， 先提供兩組最簡分數，第一組比較簡單：“，，，，，，，”，而第二組相對復雜：“，，，，，，，”對于第一組，讓學生算一算、想一想，并猜測的分母與這個分數能化為有限小數之間有何關系？ 而對于第二組，則讓算后進一步猜測： 一個最簡分數如果能化成有限小數， 與這個分數分母之間可能存在什么樣的關系？經過探究，學生就會形成一個結論：最簡分數如果能化成有限小數，與分母的特點有關系， 如果一個最簡分數的分母只含有2與5的質因數，那么這個分數就可以化成有限小數。這里教師如果只是出現第二組題，學生的猜想可能無從下手，而第一題正起到了鋪墊的作用，學生在得出2與5這兩個分母在化為最簡分數中的特征后，就可以為第二組的猜想打下基礎，他們會順水推舟地去往2與5的方向思考，從而去分析這些表示分母的數的質因數情況。無疑，假設的作出也不是憑空而生，需要建立在科學研究的基礎上，教師的引領不可忽視。

假設的作出需要一定的勇氣，“兩個銅球同時落地”的故事家喻戶曉，故事的主人公伽利略從多次觀察不同質量的冰雹落地的過程中，頂住被世人饑笑、甚至性命安全的巨大風險，大膽地提出自己的設想，最終卻獲得世人的認可，在科學史上留下了燦爛的一筆。作為教師，需要對不同的觀點抱以傾聽的態度，在學生提出錯誤的設想時，不妨讓他說說是怎么想到的，當學生說出自己的思考過程時，大家也許把他的想法稍做調整，真理就在眼前了。“失敗乃成功之母。”很多時候，大膽的設想在探究中起著舉足輕重的作用。“勇氣比正確性更為重要。”抱著這樣的態度，學生才會敢想而會想。

假設的作出還需要借助大膽的想象，甚至需要跳出框框、打破傳統來研究問題。在學生學會了長方形面積的計算、但還沒有學過三角形、梯形面積計算時，有一次筆者出示了圖2實線所示的梯形，要求學生通過丈量計算它的面積，學生會感到無從下手。這題如果還是從切割入手，學生的基礎是不能達到結果的。事實上，學生只要設想這個圖形是長方形的一部分，通過用紙片蓋住并描出這個梯形，把紙片旋轉后如圖放置，很快就可以發現兩個相同的梯形正好拼出一個長方形，這樣先計算長方形面積，再除以2，就可以得到答案了。“異想天開而得求得真理”，假設的過程，需要教師給學生更多的鼓勵與寬容，給學生更大的視野，而諷刺與否定只會澆滅學生探究的愿望。

三、驗證——為思維把握合理的航向

猜想的結論是否正確，有待進行檢驗。由于小學階段一般不要求進行規范而嚴格的數理論證，學生的假設是否具有普遍性，學生可以從已有的經驗入手，進行獨立究與小組合作探究，經歷嘗試、探究、驗證的過程，獲得驗證一個命題的能力。

以“三角形的內角和”的教學為例，在學生提出猜想后，我們可以從多個角度引導學生進行驗證：1.拼一拼：把三角形的幾個角剪下來再拼到一起，用直尺驗證拼成的新角是否兩邊在同一直線上。2.折一折：根據教材的提示把三個角折疊到一塊兒，看內角和是否是180°.3.算一算：把手頭的三角板的每一個角都量出來，并相加。4. 把正方形的紙片沿對角線分成兩個完全相同的三角形， 由正方形4個角是90°，得出正方形的內角和是360°，把正方形紙片兩對角頂點疊加到一起，發現剛好折出兩個完全相同的三角形，展開后可以推算出每個三角形的內角和是180°。

驗證是演繹思維進行的過程，驗證時需要找到符合所提出觀點的眾多對象，觀察、測量其是否具有觀點所指的屬性，最終把他歸入同類事物中去，但是驗證不可能窮盡命題涵蓋的所有的對象，所以驗證只能取有一些有代表性的對象來進行。但為了教學的方便，有時需要適當統一研究對象。如上述驗證中的第3項教師提供的是兩塊三角板，如果有老師把它設計成讓學生自己畫一個三角形，通過量出每一個內角的度數再相加，由于誤差的不可避免性，這段教學往往會陷入僵局，比如有學生說他兩個三角形的內角和都是179°，教師再強行地規定是180°，就會顯得強硬而沒有說服力。

隨著計算機技術的普及，必要時教師也可以借助軟件來引導學生進行驗證，以三角形內角和的驗證，教師只要運用幾何畫板畫出一個任意三角形，然后把三個角的度數通過度量選項表示出來，然后用公式選項把三個角相加就可以了。軟件的一大優點是可以拖動改變圖形，這時無論你怎么拉動三角形的邊使之不斷調整內角的大小，其三內角和始終是180°。（圖3）

四、歸納———收獲思想方法的果實

知識爆炸時代，每個人面對著紛繁的信息，如果不加以整理，那就會雜亂無章而難以在頭腦中存儲。歸納是把新驗證的知識用完整、簡單的語言概括出來的過程，是從特殊到一般、從具體到抽象的過程。

人教版六年級下冊“數學思考”中有這樣一題： “6個點可以連成多少條線段？8個點呢？”學生一動手就覺得很亂，無法數出結果。通過教師引導，學生從最簡單的情況開始研究，即2個點能連成幾條線段？再多些，3個點能連成幾條線段？教師根據學生畫圖、計算列出下表（圖4）：3個點連成線段的條數：1+2=3（條）；4個點連成線段的條數：1+2+3=6（條）；5點連成線段的條數：1+2+3+4=10（條）……這樣學生就能很快得到答案，如果這道題只是這樣解完了之，那是十分可惜的，如果有100個點呢？又怎么表示與計算呢？顯然需要讓學生歸納出一種方法來實現“解一題，會一片”的結果，這里關鍵在于搞清算理：每增加1個點，這個點可以和前面已有的每個點都連一條線段，所以前面有幾個點，就會增加幾條線段。教師還可以讓學生把本題的規律用字母表示，并歸納結論：如果平面上有n個點，可連線段的總條數就等于從1開始至前（n-1）個連續自然數的和，也就是連續自然數的個數比題目提供的點數少1。這一思考題的歸納讓學生不但知其然，更能知其所以然，提升了思維品質，教學起到了舉一反三的作用，而且通過畫圖滲透了數形結合的數學思想，這就把知識學習提高到了能力培養的高度。

歸納時，教師要引導學生進一步分析結論存在的普遍性與適用性。比如在歸納“比的基本性質“時，要讓學生想一想：性質中的“相同的數”是不是什么數都可以呢？這又是為什么？這樣學生就明白了，相同的數的要求一是需要相同，二是不能為零。此外，教師要讓學生理解結論中的每一層含義，避免詞不達意，對于難以全部文字表述的可以用字母與式子來替代。

布魯納認為：“學習者在一定的問題情境中， 對學習材料的親身體驗和發現的過程， 才是學習者最有價值的東西。”如果說，感知階段重在問題情境的全面了解，假設則在于對問題進行了嘗試性的研究，研究的結果正確與否可以通過實例驗證來判斷，而歸納則使研究形成了規律性，有助于深化理解并靈活運用，學生在此過程中，獲得的不僅是知識，更是獲取知識的能力、探究知識的自信心與積極性，從而實現新課程倡導的三維目標。讓學生在數學學習中的過程中享受探究的樂趣，真理會一步步向我們走來，數學課堂也能因此而美麗！

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