初中數學概念有效教學初探

盧燕

[摘 要] 數學概念是人們對數學事物本質的認識，是數學邏輯思維的最基本形式，是構建數學知識綜合體系最基本的單元，是理解和掌握數學的基礎. 初中數學是中學乃至大學數學知識的基礎，學好初中數學對以后的數學學習道路起著奠基石的作用. 作為初中數學體系的基本單元，數學概念無疑是初中生最先需要掌握的知識，而這些概念的有效教學自然成了初中數學教學的重要組成部分.

[關鍵詞] 數學概念；有效教學；教學模式

《義務教育數學課程標準》明確指出：讓學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學本質. 概念是人們從對象的許多屬性中，抽出本質屬性概括出來的. 在概念形成階段，人的認識已從感性認識上升到理性認識；而數學概念是人們對數學事物本質的認識，是數學邏輯思維的最基本形式，是構建數學知識綜合體系最基本的單元，是理解和掌握數學的基礎. 數學概念主要包括數學定理、定律、公式、法則等. 初中數學是中學乃至大學數學知識的基礎，學好初中數學對以后的數學學習道路起著奠基石的作用. 作為初中數學體系的基本單元，數學概念無疑是初中生最先需要掌握的知識，而這些概念的有效教學自然成了初中數學教學的重要組成部分.

新課程實施以來，數學新教材對部分概念的教學內容的編排作了較大的改動. 如新教材提供了更為豐富的學習材料，增加了觀察、實驗、猜測、操作等數學活動，突出了數學概念的形成過程. 因此，新教材在數學概念的呈現方式上，比原教材更符合學生的認知特點和年齡特點.

然而，在當前的概念教學中存在僵化教條地講授概念的現象，概念的本質揭示不透徹，忽視概念間的相互聯系及概念的綜合應用發展等問題，綜合來講，有如下幾種常見問題.

初中數學課堂概念有效教學的問題所在

1. 概念教學走過場？搖

不少教師片面重視應用教學，而不重視概念教學，在講概念時一帶而過，常常采用“一個定義，三項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學生提供充分的概括本質特征的機會，不注意講懂、講透，讓學生真正理解概念，把注意力和精力過多地投入到了應用教學上，認為讓學生多做幾道題目更實惠.

2. 概念教學不得法？搖

有的教師在教學概念時往往把一些新概念和盤托出，強輸硬灌，要求學生去記一些現成的結論，學生囫圇吞棗，導致學生要非常透徹地理解、掌握幾何概念存在一定的困難，往往只會死記硬背、照搬照抄，不會靈活應用. 因此，提高初中數學課堂幾何概念教學的有效性顯得尤為重要.

3. 教師的認識和教授方法的程度不同？搖

教師是課堂教學的組織者，由于個人的素質不同，其自身對數學概念的認識、理解及所采用的教學方法也不同，因此概念教學對學生會造成不同程度的影響. 例如，在學習“二次根式運算”時有些教師認為要補充“同類二次根式”“最簡二次根式”的概念，學習“一元二次方程”時要補充“十字相乘法”. 有些教師又認為不需補充，以減輕學生的負擔.

4. 學生的認知水平有限？搖

瑞士心理學家皮亞杰曾指出：“任何教學水平上，概念的形成乃是孩子活動和個體經驗的結果. 從小學進入初中，是學生學習過程的一個重要的轉折點. 學生正處在身心發生變化的時期，他們的認知能力也在逐步提高，理解是一個要由易到難、由簡到繁的循序漸進的過程，然而每個學生的能力有差別. 例如，“把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫作把這個多項式分解因式”，這句話的正確理解是：左邊是一個多項式（不是單項式）；右邊是幾個整式（不是分式）的積（不是加、減、除）的形式.有少部分學生在應用時還是沒掌握，例如，下列從左到右的變形，是分解因式的是（ B ）

A. m（a-b）=am-bm

B. 4a2+4a+1=（2a+1）2

C. x2+1=xx+

D. a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

選A，C，D的學生大有人在. 事實說明，部分學生在數學學科的學習上不能順利地完成這個轉折，是因為他們首先在學習、掌握數學概念時遇到了困難，影響了后續的數學學習. 因此，研究概念教學的方法是初中數學教師的重要任務.

初中數學課堂概念有效教學的操作環節

根據初中數學課堂教學的內容，數學概念課教學模式為：探究數學概念產生的實際背景→提出數學新概念→揭示新概念的內涵與外延，以及與舊概念的聯系→運用新概念解決問題→小結反思新概念形成的過程.本文將通過一則“教學案例”的簡要分析談談筆者的一些具體做法.

教學內容：一元二次方程.

教學目標：在具體情境中理解一元二次方程的概念及一般形式；能通過代數式變形和等式變形辨別一元二次方程和二次項系數、一次項系數和常數項；讓學生通過觀察、分析、自主探索、小組合作，列出具體情境中的方程，經歷一元二次方程概念的發生過程，培養學生概括、類比的能力；通過經歷代數式變形和等式變形，培養學生化歸的數學思想. 通過貼近生活的情境，體驗數學來源于實踐，反過來作用實踐的辯證唯物主義觀點；激發學生的學習興趣，感受解決問題中合作學習與廣泛交流的重要性，感受方程模型的特征；培養學生良好的數學思維品質，滲透類比思想和數學的應用價值.

教學過程：

1. 探究數學概念產生的實際背景

（1）教師活動. 課前準備：①在生產、生活實際中，一切事物間的數量關系都能用方程解決嗎？②有關新概念“一元二次方程”的相關知識.

課前：①布置探究問題；②提供查詢方向，將學生探索的結果進行引導、加工、組合.

（2）學生活動：①學生課前根據教師的問題通過多渠道查詢（如網絡、圖書館、個人資料、小組討論、請教他人等），準備答案及素材；②親身體驗有趣而豐富的調查研究結果的過程，并形成一定的觀點、看法；③學生之間交流、討論并與教師交流所獲得的信息，加工信息，寫出結論.

簡析：使學生通過收集和思考問題，盡快地投入到對新概念的探究中去，從而激發學生好奇、探究和創造欲望. 將獲得的材料、信息在自己的大腦中進行比較分類，分析概括，從而提高學生的心理品質與思維能力，使學生養成一種喜歡探究問題的良好習慣.

（3）教學活動：學生收集問題舉例（選擇部分內容）.

根據下列問題列方程：

①一個兩位數，十位數比個位數大3，十位數與個位數的和是7，求這個兩位數.設個位上的數字為x，根據題意得______.

②一個正方形的面積的2倍等于15，求這個正方形的邊長.設正方形的邊長為a， 根據題意得______.

③甲、乙兩人做某種零件，已知甲每小時比乙多做3個，甲做45個零件的時間與乙做30個零件的時間相同，問：乙每小時做多少個？設乙每小時做x個，根據題意得甲每小時做？搖______個.

④如圖1，矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19 m，如果花圃的面積是24 m2，求花圃的長和寬. 設與墻垂直的一邊為x m，則與墻平行的一邊為______m，根據題意得______.

簡析：通過列方程解決問題，引導學生與一元一次方程的概念作對比，為引出一元二次方程的有關內容做好鋪墊. 讓學生充分感受所列方程的特點，再通過類比的方法得到定義，從而達到真正理解定義的目的.從實際問題出發，經過數學化，與學生共同從中提煉出上述問題的共性特征：只含有一個未知數，并且未知數的最高指數冪是2的整式方程（叫作一元二次方程）.

2. 提出數學新概念

教師活動：介紹一元二次方程的概念：只含有一個未知數，并且未知數的最高指數冪是2的整式方程叫做一元二次方程.

3. 揭示新概念的內涵與外延，以及與舊概念的聯系

學生練習：判斷下列方程是否為一元二次方程.

①1-x2=0；

②2（x2-1）=3y；

③2x2-3x-1=0；

④x2+1=0；

⑤（x+3）2=（x-2）2；

⑥ax2=5-4x（a為常數，a≠0）；

⑦ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）.

學生判斷結束后還可觀察①和③兩個方程在形式上有何特點，進而介紹一元二次方程的一般形式.

教師活動：介紹一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常數）的形式. 這種形式叫一元二次方程的一般形式. 一次項系數b和常數項c可取任意實數，而二次項系數a必須是不等于0的實數.

簡析：通過揭示新概念內涵、外延及其與舊概念（一元一次方程）的聯系，使學生關注“一元二次方程”獲得的途徑；這番閱歷使學生所學知識變得生動、形象、感人.

4. 運用新概念解決問題

略.

教師活動：

練習：把下列關于x的方程化成一般形式，并寫出二次項和一次項系數.

①2x2-x=2；②2（x-1）（x+1）=3x；③3x2+mx-2x=3m.

變式訓練：已知關于x的一個一元二次方程的二次項的系數為3，一次項系數為-1，常數項為-5，則這個方程為______.

能力提升：

1. 若方程mx2-x=2-3x2是關于x的一元二次方程，則m的取值為______；若方程mx2-x=2-3x2是關于x的一元一次方程，則m的值為______.

2. 若關于x的方程（m-2）|m|+2x-1=0是一元二次方程，則m的值為______.

3. 若關于x的方程（m-2）xm2-2+mx=7是一元二次方程，則m的值為______；若關于x的方程（m-2）xm2-2+mx=7是一元一次方程，則m的取值為______.

拓展延伸：

1. 已知關于x的一元二次方程x2+3x-5m=0有一個解是2，求m的值.

2. 若a是一元二次方程x2-3x-4=0的一個根，求2a2-6a+1的值.

在教師活動中，教師先給出例題，隨后選代表回答，考查學生對一元二次方程一般形式的掌握程度. 化成一般式是本課的重點，因此再配2道題進行練習，加上前面預習題中的4道題能夠較好地突破重點.

能力提升部分的問題為一元二次方程概念中的常見題型，通過此題讓學生加深對定義和一般形式的理解，為其他字母系數問題做好準備. 其中第3題的第2問需進行分類討論，開拓學生思維，體現數學的嚴謹性，使學生對所學知識有更深的理解并得到升華.

拓展延伸部分讓學生進行充分思考、討論，小組將討論結果在小黑板上進行展示，體會數學思想方法.

簡析：引進“變式訓練”教學：①不但將學生的練習鞏固化整為零，同時進行了整理分化以達到對“一元二次方程”概念的明確、清晰的描述.②“變式”帶來的“對比式”教學：通過對比教學，讓學生認識到一元二次方程與一元一次方程的區別與聯系，在學生認知的最近發展區內，實施知識的遷移，領會蘊含其中的方法要點，讓學生通過自主探索、小組合作，培養學生概括、類比的能力；通過經歷代數式變形和等式變形，培養學生化歸的數學思想.

學生掌握概念是一個主動的、復雜的心理過程，并不是教師把現成的概念簡單地、原封不動地交給學生，而是結合他們自己已有的知識，運用較多的感性材料，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等一系列思維活動，得出事物的本質屬性. 教師要善于抓住新舊知識的本質聯系進行引導、啟迪，讓學生真正理解和掌握概念.總之，在新課程標準下的初中數學概念教學，應遵循從感性認識到理性認識，從特殊到一般的認識規律. 在不斷的思考和探索中，選擇恰當有效的教法，必然能夠取得較好的教學成績.