小學數學課程和教學跨領域整合的探索

張宏偉

[摘 要]對數學課程和教學跨領域整合的意義進行界定，并從“數學跨學科方面（如科學、戲劇、文學、藝術等）整合”“數學內部各領域的整合”“數學與日常生活現實的整合”“數學與環境、社區、場館、技術、媒體等方面的整合”四個維度，通過大量、典型的實踐案例及其整合的現實意義，探索一些跨領域進行課程建設和教學的操作范式。

[關鍵詞]跨領域 整合 小學數學 課程建設 數學教學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）11-010

一、論題的意義界定——為什么是跨領域，而不是跨學科？

百度百科上對“領域”這個概念的解釋有三種：第一，指領土、領海、領空、駐外使館等國家主權管轄下的所有區域；第二，指意識形態或社會活動的范圍，如思想領域、學術領域、生活領域、科學領域、人文領域等；第三，指某一學科分類劃分后，對應的各部分就叫做某某領域。第一種解釋說明“領域”包括了所有的地方和空間；第二種解釋則說明“領域”包括人文和科學、思想、學術、生活等人的思想與認識的所有領域，它的外延大于并包括了學科；第三種解釋的外延又小于學科，指的是學科內的各部分。

因此，小學數學課程和教學的跨領域整合應界定為跨越和整合人文與科學領域，跨越和整合不同的空間、不同的生活、不同的思想與認識，以及數學學科內部的各部分來進行數學課程建設和教學。它是小學數學課程建設和教學的一種理念、一種策略、一種方式，外延應包括數學內部領域的整合、跨學科的整合，以及數學與環境、生活、技術、媒體、社區等各種社會資源的整合，比跨學科整合的范圍更廣，涵蓋更完整、更全面。

二、跨領域整合數學課程和教學的實踐

（一）跨學科的整合

我是一位全課程包班教師，兼任數學、體育、科學和戲劇四門學科的教學。我成為包班教師之后，最大的改變是開始全面地關注各學科和看待每一個學生，開始真正基于全面育人的理念，對各學科進行整合。

1.數學與科學的整合

眾所周知，數學是科學技術的基礎和工具，這兩個學科的聯系最為密切。于是我首先嘗試開發合適的項目，讓科學成為數學學習的情境和載體，實現兩個學科的整合。如二年上學期，我開發“杠桿的秘密”這個項目課程，課程的建設情況和實施過程如下。

（1）校園。

活動①：午飯后帶學生到操場上進行掀石板比賽。

活動②：讓學生用磚頭做支點，用木棍撬石頭，并不斷變換支點的位置，多次進行撬動的體驗。

上述兩個活動可以讓學生體驗到杠桿省力，發現支點位置和用力大小的關系。

活動③：體育課變換花樣玩蹺蹺板，即兩邊的學生變換位置體驗、兩邊坐不同體重的學生體驗、兩邊坐不同人數的學生體驗……在玩的過程中，我讓學生思考和比較：“和撬石板比，什么相當于石板？什么相當于支點？什么相當于撬棍？什么相當于撬的人？”通過問題，讓學生再次感受和思考兩邊重量與力臂之間的關系。

（2）課堂。

活動①：小組合作組裝杠桿并調平衡。

活動②：試著掛砝碼，并且使杠桿兩邊平衡。

活動③：觀察并記錄每次杠桿平衡時兩邊的刻度讀數和砝碼個數，研究其中的奧秘。

活動結果：

學生的創意和研究結果讓我震驚！在我的記憶里，杠桿原理是阻力×阻力臂=動力×動力臂，所以腦海里一直浮現一個力乘一個距離=另一個力乘另一個距離。但是，學生的發現完全顛覆了我幾十年來對杠桿原理的認識，給我打開了一扇新的窗戶！學生不僅發現在杠桿左右兩邊各放一組砝碼的內在規律，即左邊砝碼數量×左邊距離=右邊砝碼數量×右邊距離，還創造性地發現了杠桿兩邊放多組砝碼的規律。例如，在杠桿左邊刻度5和刻度10兩處各掛兩個砝碼，右邊刻度4處掛五個砝碼，刻度10處掛一個砝碼，則杠桿左右平衡，因為5×2+10×2=30、4×5+10×1=30。從乘法等式拓展到乘加等式，這是我從來都沒有想到過的。

活動④：寫自己創造的掛法，并與親人、伙伴分享。讓學生從具體操作上升到圖上的想象、創造和表達，避免出現完全依靠思考和計算完成平衡的問題，并在交流中進一步理解和加深對杠桿原理、乘法的認識。

活動⑤：溝通和分析。

讓學生集體討論、分析和分享：A.左右兩邊都是12，各放一個砝碼如何思考；B.觀察等式兩邊表示砝碼數量和刻度的因數的變化規律；C.左邊放好砝碼后，右邊應放幾組砝碼，放在哪里？

通過問題的研究，既溝通杠桿中砝碼、距離的變化、平衡與乘法算式中因數、因數、積之間的聯系，又溝通乘法、乘加、乘減和除法之間的關系。

（3）家庭和社區。

活動①：觀察和發現家里、社區中，哪些地方、做哪些事用到了杠桿原理。

活動②：兩項選修（研究成果自愿在午間的“數學講堂”中和同學們分享）。

選修A：利用杠桿原理試做桿秤，研究桿秤的使用原理。

選修B：上網、參觀科技館、閱讀課外書，對杠桿原理進一步研究。

現在我們回過頭來反思和追問：這個課程費了這么大的“周折”，對學生而言是不是促進了知識的學習、技能的掌握、思維的訓練及對數學本質的理解呢？是不是增強了學生的數學眼光和意識？對科學而言，是不是了解了科學的現象，初步感悟到科學的規律及其背后的本質，增強了科學的意識呢？答案是肯定的！

我認為本課程的設計至少達到以下幾個方面的目標：第一，實現數學學科的學習（訓練）目標，即鞏固練習乘法，引出乘加、乘減、和除法，并進行學習和探究；第二，引入左右兩邊相等的算式，這其實是在進行相等關系建立的訓練，有效地為學生后續學習方程的本質積累實際經驗；第三，為積不變的規律提供一個現實的模型，使學生積累相應的活動經驗；第四，使學生感受到數學、科學之間的聯系，有利于他們數學的科學意識、科學的數學意識的建立，進一步增強學生學習數學的內驅力；第五，引導學生經歷“實驗——發現問題——猜想——驗證——形成結論——創造性應用”這個發現杠桿奧秘的全過程，不僅超標準實現學習目標，而且積累了科學發現的一般經驗；第六，開闊學生的視野，使他們多方面的素養得到提高。

現在很多學校都還沒有實行包班制，數學教師往往只擔任數學教學，怎么辦呢？我認為可從以下兩個層面著手：一是學校層面，要基于“全人”和“全課程”的教育理念進行課程的系統規劃與重構；二是教師層面，做法是和配班的其他學科教師協同教學，一起規劃和研究，突破學科界限，對“我中有你，你中有我”的內容進行整合，避免重復。如果還是不行，退而求其次，憑一己之力也可把生活中常見的、常用的、適合學生的科學現象作為數學的現實情境進行教學，在樹立數學的理性精神的同時，培養學生的科學精神，教師何樂而不為呢？

2.數學與戲劇的整合

所謂數學課程和教學的戲劇化，是指借鑒戲劇藝術的原理和表現手法，運用戲劇與劇場的一些技巧，在教師有計劃的引導與設計之下，師生一起對數學的課程和教學進行戲劇化的藝術加工，使數學的課程內容、學習活動等，具有戲劇性的動作、沖突、情境、意象、場面等元素，產生像戲劇一樣的夸張效果，并以創造性戲劇、即興演出、角色扮演、模仿、故事、偶戲、啞劇和游戲等方式，進行演繹的課程建設方式和數學學習方式。簡言之，就是戲劇化地編設數學課程，戲劇化地進行數學學習。

（1）創編微型數學戲劇課程，進行數學的戲劇化教學。

微型數學戲劇以數學小品劇居多，類似于微視頻、微課程。教學中的重、難點都可以用微型戲劇的方式，即以演繹微型戲的方式進行學習。它能收到角色認同和身臨其境的效果，讓學生在浪漫而理性、真切而濃烈的氛圍中，深度投入、深度參與、深度理解，牢固掌握所學知識。這樣的戲劇一般安排在學生獨立思考和研究及同伴交流之后為宜，以免影響學生的自主探究、獨立思考和創新。目前，我們師生已經編排、演出了10個微型戲劇。這里，詳細介紹一下“五‘長論親疏”的微型戲劇。這是一出“手指上的戲劇”，主要為了解決長度單位間的進率及其換算的難點問題。學生人人積極參與，先自己編出長度單位的戲劇情節，然后在實物投影儀上“演出”，并自己配音解說。通過戲劇的創作、表演和欣賞，全體學生都生動形象地理解、記住了這五種長度單位間的所有進率關系。

下面的作品是其中一位表演者的父親，根據孩子在課堂上表演的視頻整理的。

劇情：

拇指（老大千米）：“我跟大家介紹一下自己，我叫千米，英文名叫km，是一個較大的長度單位，主要用來測量路程的。另外，我還有一個名字叫公里。（看了一下其他四個小弟）他們四個小毛孩又在嘰嘰喳喳，竟敢在背地里議論我！”

拇指（老大千米）：“嗨，你們幾個在干嗎？安靜點，再聽到你們吵吵鬧鬧，我就會教訓你們，現在是我的天下，我說了算！”（老大千米說完就彎下腰，睡覺了）

小指（老五毫米）仗著自己的個子最小，偷偷試著扎了老大千米一下。“啊，誰敢動我，不想活了？”老大千米把其他四個小弟挨個兒敲了一遍，又彎下腰，睡著了。

老五毫米聽到老大千米、老二米、老三分米和老四厘米都打起了呼嚕，就大膽地嘮叨起來：“他們都在睡覺，平時我最小，現在該我當家了，我來算算自己什么時候能變成老四。有了，我湊十個就能變成老四厘米，湊一百個就能變成老三分米，湊一千個就能變成老二米，湊100萬個就能變成老大千米哈哈，現在我當家了……”

“嗨，你這個小毛孩在這得瑟什么呀！還想十個湊成我，去、去、去，一邊去。我來給大家介紹一下，我的中文名字叫厘米，英文名叫cm。哈哈，老大千米、老二米和老三分米都睡著了，就剩毫米這個小毛孩，現在是我當家了。”無名指（老四厘米）說道。這時老五毫米也不甘示弱，嚷道：“我當家！”

這時，老三分米被吵醒了。老三分米說：“你們兩個不好好睡覺，吵什么呀！有我在，你們當什么家？臺下的觀眾，自我介紹下，我叫分米，英文叫dm，是老四厘米的十倍、老五毫米的一百倍，他們兩個小毛孩講的都不要當真。現在，我才是當家的！”

“嗨喲，你說誰是小毛孩呀？你再這么說我們，小心我告訴二哥米、大哥千米去……”老四厘米和老五毫米一起說道。

“誰這么吵呀？”老二米打了個哈欠站起來問道。老三分米、老四厘米、老五毫米一起說道：“米二哥醒了，失敬失敬，我們得罪了。”

“你們幾個真能鬧，走開！大家好，我介紹下，我的名字叫米，英文名叫m，是長度單位中最簡單的名字。我是老三分米的十倍，老四厘米的百倍，老五毫米的千倍。你們就不要告訴大哥千米，讓他好好睡覺，永遠都別起來。我最有資格做老大，你們全部都要聽我的！”

“米！你竟敢在這里充老大，不想混了！”老大千米狠狠教訓了米兩下。“觀眾朋友們，我才是這里的老大。你看，我的身材跟他們比差多少！我讓大家猜一下，我能抵多少個老二米、多少個老三分米、多少個老四厘米、多少個老五毫米呢？”

……

（2）創編大型數學戲劇課程，進行戲劇化數學教學。

創編大型數學戲劇主要是為了展示一個系列知識（一般為一個單元或幾個連續單元）的邏輯結構關系，或者展示一個核心知識模塊的形成、衍化和發展過程，或者展示數學循環上升期中發生質的轉變的關鍵點。針對這些內容，教師可預先設計連續、豐富的情境和沖突，運用道具、場景、動作、意向等，精心編排大型的創造性數學戲劇。

如“10～20的認識”是學生認識數的一個質變點，編排大型數學戲劇“數和十進制的產生”，可以很好地實現學生親身經歷創造位值制和十進制的過程，完善學生對數的認識。

序幕：

我的疑問：數是誰創造的？什么時候創造的？世界各地的數都是一樣的嗎？為什么滿十進一……

第一幕第三場：原始人狩獵和采摘中的以物計物（石子計數）→結繩計數→刻痕計數。

第二幕第六場：古代埃及|古代巴比倫|古代中國|古代羅馬|古代阿拉伯|古印度，介紹一符對一數的計數情況。

第三幕第三場：核心內容為十進制的產生，分為手指計數（體驗十進制和以一當十）、用更少的石子計更多和更大的數（體驗位值制產生的必要性）及求簡的思想、現代的自然數。

尾聲：媒體快速展示數的變遷過程、數的應用和未來。

……

從上述案例可以看出，大型數學戲劇的核心目標是讓學生通過持續的角色扮演、與其他角色的對戲，親身“演出”數學的思維過程和數學知識的創造與形成過程，系統、充分地建立各個知識點間的聯系，形成完整的數學認知結構，從而有效地促進學生對數學整體的認識、理解和掌握，更好地培養學生的數學素養。

（3）創編非正式戲劇課程，進行非正式戲劇化數學教學。

所謂非正式戲劇化，是指在日常教學中，把數學中一些常規、常態的教學內容和活動片段，用夸張、擬人或比喻的方式進行加工，使其具有像戲劇一樣的夸張效果，就是通常所說的戲劇化。這種非正式數學戲劇化案例，很多是課堂教學過程中自然生成的。非正式戲劇化是數學課程和教學戲劇化最常用、最便捷的方式。

案例A：極度夸張

學生在解決有關圓錐體積的問題時，總容易忘記乘。我在學生自己總結出求圓錐體積不要忘記乘的基礎上，戲劇化地板書圓錐的體積計算公式（如右圖），夸張地占滿整個黑板，觸目驚心的沖擊力，給學生留下了非常深刻的印象。

案例B：童話般擬人

學習商中間有0的除法后，在比較804÷4和704÷4時，我用童話的策略、擬人的手法，扮演704中的0，憤憤不平地向學生提意見、抱怨：“804÷4，除到0就直接商0，我也在中間，怎么就不能直接商0呢？太不公平了，我不服！”學生馬上自覺地進行角色認同，把自己當成804中的0進行反擊和理論。

如此長期進行戲劇化熏陶，不僅使學生戲劇化的意識和能力越來越強，開始自覺地對數學現象進行戲劇化的解釋和演繹，而且增強了學生和數學、生生之間及師生之間的聯系。

3.數學與文學、藝術等領域的整合

2015年9月15日，國務院辦公廳公布了《國務院辦公廳關于全面加強和改進學校美育工作的意見國辦發〔2015〕71號》，再一次強調“將美育貫穿在學校教育的全過程和各方面，滲透在各個學科之中”。因此，我在課程的編制和教學中，非常重視數學與文學、藝術的整合，旨讓學生在感悟數學本身的形式、簡潔和神奇之美的同時，體會到數學在其他學科中的應用和價值。

例如，教學“對稱”這部分內容時，我創編了一個集數學、文學、音樂和美術于一體的“對稱長時段”課程（當時二十多位來自國培班的校長觀摩了這節課），其中的兩個課時分別安排為欣賞課和創作課。欣賞課中，我先讓學生分享和欣賞自己搜集的素材——大自然和生活中各種美麗的對稱事物與現象（含音律的對稱），然后引領學生欣賞了回文詩、回文句、回文聯、回文數。如下：

清水清 蜜蜂釀蜂蜜 鳥醉花香

1 2 1 1 2 3 2 1 冬伴春來春伴冬

=11×11 =111×111 風隨雨灑雨隨風

鳥醉花香花醉鳥

松戀雪潔雪戀松

……

這個項目課程成功溝通了文學、藝術與數和計算之間的聯系，使學生“看”到藝術美背后的共性規律和支撐——數學，初步感悟到“科學的、美的事物，它一定是數學的”。

又如，“音樂盒的秘密”項目課程，把數學中的“按比例分配”內容和音樂、科學整合在一起。我先讓學生找來橡皮筋和鐵盒，把橡皮筋套在鐵盒上后，任選一點，把橡皮筋分成左右兩段，然后彈撥這兩段橡皮筋，聽兩邊發出的聲音是否和諧、好聽。活動中發現學生對聲音的感覺是非常敏銳的，都體驗到了找和諧分配點的成功和美好。然后我讓學生測量別人盒子上橡皮筋的長度，并按照標準比例進行分配、試聽。這樣教學，既激發了學生的學習興趣，又把按比例分配的學習寓于操作活動之中，使學生體會到“美的、科學的，一定是數學的”。

（二）數學內部各領域的整合

基于項目的學習，不僅需要調動不同學科的知識，而且需要調動數學內部不同領域的知識來共同解決問題。這樣利于在研究中溝通數學自身數、形、統計等多個領域之間的聯系，實現數學內部領域的整合。

1.新授時數學內部領域的整合

對于傳統的、常規性的新授內容，我們要再次審視和尋找它們之間的內在聯系，思考、尋覓和開發合適的項目，努力嘗試把原來不好溝通的知識點進行聯系，把原來還沒有注意到的關系發掘出來，建立新的連接。同時，依據發掘到的新聯系，把各領域、各知識點進行創造性的調整、整合和系統化，發揮系統化的高效能，減輕學生的負擔，提升學生學習數學的能力。

例如，“兩位數乘兩位數的筆算”（以32×12為例）的內容，傳統的教材編排往往局限在數與代數的領域之中，算理和算法的闡釋與演繹只單純地在數和數的關系上進行編制與運作。我在教學中發現乘法筆算的新的連接方式，開發了另辟蹊徑的“形算”課程，引入指算、巧算、畫線算（鋪地錦）、方格算、十字相乘法等，把“形”充分地整合了進來。如下圖：

在這個過程中，學生不斷結合方格解釋兩個因數和積的現實意義，對長、寬和包含方格的個數積累了豐富的感性認識，為后續學習的知識——面積，做好了充分的準備。

這個項目課程的編制和教學，實現了數學內部“數與代數”與“圖形與幾何”兩個領域的整合，為學生打開了計算之門，培養了學生的思維能力，讓學生感受到計算的過程和表達也可以很形象、很奇妙、很好玩……

2.復習和綜合應用中的整合

“實踐與應用”是新課標安排的綜合應用數學各領域知識的重要路徑和內容。因此，教師一定要自覺加大這部分內容的分量和實施力度，并參照其他素材，創造性地開發新的整合數學內部各個領域的綜合實踐活動課程，以提升學生的綜合應用能力、實踐能力、創新能力，增強學生對數學整體的理解和認識。例如，教學“不一樣的測算”時，我讓學生自己突破傳統的思維定式，學會利用一些工具和外部的事物去找到新的方法，并感悟到問題解決了，思考不能停止。這樣教學，使學生既鞏固了知識，增強了智力，又拓展了視野，生長了慧根。

（三）數學與日常生活現實的整合

根據懷德海的教育理論，精致的學習一定是建立在整體與大量的浪漫、感性和模糊的基礎之上的。很多知識在精致學習時遇到的困難，大都因為浪漫階段的積累和體驗不充分。與生活現實整合的目的，就是讓學生的數學學習更全面、更充分，更徹底地回歸學生的日常生活，使學生在生活中解決自然發生的真實問題。

案例：“認識人民幣”的教學

去年，我去一個《當代教育家》的實驗校進行指導，該校的數學學科主任問我：“張老師，一年級‘認識人民幣的內容教材上安排了5個課時，我們教了8天，效果還是很不好，這節課到底該怎么教呢？”我說：“這個內容不是靠幾天的集中教學學生就能學好的，其實絕大多數內容都是這樣。”然后，我給他們介紹了自己教學“認識人民幣”一課的過程。

當時，“認識人民幣”的內容安排在教材的第五單元，但是在開學的第一周，我就在班級里開設了“星星超市”，讓學生做起了真買賣。錢盒子里放了各種不同版本、不同面額的人民幣，學生可以隨時、任意把玩，同時買賣任何物品都要自己登記數量、單價、總價及使用了哪些面額的硬幣和紙幣。一開始是我和學生一起當營業員，然后是學生自己輪流當營業員。到學習第五單元的“認識人民幣”時，學生的學習效果自然很好。

除此之外，每個周末，我還安排學生和家長一起出去購物一次。周末購物的要求和在班級里買東西的要求不同，班級里的買東西沒有任何認識人民幣的任務，只是常態熏染，但是和家長一起出去購物，我要求學生在家長的協助下，每周有重點地認識一種人民幣。如第一周獎勵1元的紙幣和硬幣讓學生自主支配，但學生要完成研究它的任務，包括認清它的長相、知道它能買哪些東西、了解它和角的換算關系等；第二個周末認識2元；第三個周末認識10元……這樣在生活中不斷地未學先用、邊用邊學，半個多學期下來，再來學習“認識人民幣”時，學生就非常輕松和容易了。學生在這種長期的體驗中，不僅認識了人民幣，學會了人民幣的簡單兌換，而且親身經歷了購物的過程，積累了真切的體驗，感受到了學習人民幣的價值。除此之外，每個學生都能認識到1元錢的價值到底是多少，即1元錢能購買到哪些物品，這是課堂上教師教不出來的，只有在實際生活中才能真切體驗到。

像這樣的內容有很多，如測量、長度單位、質量單位、24時計時法、方向與位置、圖形的初步認識、折扣等，都可以這樣的方式來進行教學。如果我們教師把這些內容堅持在生活中進行長期滲透的話，就會發現很多知識像孩子學習母語一樣，根本不需要我們去教孩子就會，需要的只是時間。

（四）數學與環境、社區、場館、技術、媒體等的整合

隨著科學技術的日益發展，數學學習與環境、社區、媒體、技術等的關系越來越密切。很多學生每天放學后上托管班，周末上培訓學校，云學校、APPT、可汗學院等在線學習資源鋪天蓋地襲來……這些都讓學校數學教育的圍墻不斷坍塌，使數學學習和數學教育越來越自由、越來越豐富、越來越開放。如何整合好這些資源，是學校，同時也是每位數學教師必須面對和研究的課題。

我在教學中嘗試整合四方（學生、家長、托管教師和我）的力量，來協同完成教學。為此，我專門召開四方會議，建立“托管生四次元群”，以便四方及時與孩子溝通、協作。

除此之外，我還經常在網上尋找相關資源（如可汗學院、APP課程、閱讀書目、數學繪本和數學電影等）推薦給學生，讓學生提前自學、復習或欣賞；帶領學生進入本區的牛奶廠紙箱生產車間去參觀和學習，研究長、正方體的表面積；把學生帶到路上進行繩測、步測和目測；把學生帶到田地里計算土地的面積和收成；聯系銀行工作人員到學校現場給學生開存單，讓他們計算利息……這樣做的最終目的是盡己所能，整合所有的教育力量，促進學生的學習和成長。

三、幾點強調和說明

一是在實際的課程建設和教學過程中，以上幾種跨領域常常是難以分割、綜合在一起的。

例如，在上述教學“認識時間”中，既讓學生了解了小時的由來、古今中外各種不同的計時方法及其簡要的發展過程，觀測日月星辰，考察研究日晷（北京20余處，可以任選一處或者幾處），并動手進行“燃香計時”和“自制滴漏”“日晷”等數學實驗，又在某種程度上和天文、地理、歷史等學科進行了整合。

又如，上述的項目課程“杠桿里的秘密”，其實已經覆蓋了數學、科學、體育等學科知識，初步實現了各種現實的整合。

二是不論何種整合，教師都要對學習的目標、課程、課時等全面統籌、細致分析和系統規劃，科學、合理地進行設計，切記“眉毛胡子一把抓”，削弱了各學科的核心知識和本質。

三是目前的探索和嘗試還是局部的、點狀的，需要深入思考和架構完整的跨領域整合體系。

（責編 杜 華）