一道典型考題對初中數學課堂教學的啟示

陸惠剛

[摘 要] 典型考題的示范性和導向性是一線教師關注的焦點，典型案例的剖析是解題教學的重要組成部分，本文借助初三數學校際聯考中的一道典型考題進行探究，根據學生解答中暴露出來的問題進行思考，提出對初中數學課堂教學的幾點啟示，以期達到教學相長的目的.

[關鍵詞] 典型考題；初中數學；啟示

在現行的評價體制下，考試是衡量教師教學效果和學生學習效率的一種方式. 在初中數學課程教學中，解題教學是數學教學的重要組成部分，教師和學生對典型試題的探究話題一直沒有停止過，典型考題的示范性和導向性對課堂教學效率的提升有著十分重要的意義和價值. 筆者在從事初中數學教育教學的過程中，不斷關注初中數學課堂教學的實效性. 本文借助初三年級校際聯考中的一道典型考題，針對學生解答得分較低的現實進行思考分析，重點闡述考題背后隱藏的實用價值，以及給一線數學課堂教學帶來的啟示，以饗讀者.

典型考題的回顧與分析

試題 （2015年初三校際聯考）某水產養殖場計劃用總長度為80 m的鋼絲網在水庫的岸堤一邊圍成一定的矩形區域，如圖1，其中矩形區域甲、矩形區域乙和矩形區域丙的面積相等，令BC=x（m），矩形區域ABCD的面積為y（m2）.

（1）求矩形區域ABCD的面積y與線段BC的長x之間的函數關系式（注明自變量x的取值范圍）；

（2）當x取何值時，y取得最大值？并求出最大值.

剖析 從表面看，本題主要考查學生根據實際問題列出二次函數解析式且求出最大值，體現了二次函數在實際問題中的應用，這也是初中數學課程教學中的重點內容之一. 本題的情境創設一般，但內涵豐富多彩，題中涉及數學建模思想（生活實際問題抽象為函數模型和方程模型）、轉化與化歸思想（“未知”向“已知”的轉化）、數形結合思想（抽象的數式與直觀的幾何有機結合，運用于實際問題之中），本題作為函數應用題，具有較高的考查價值！命題者以圍成面積為探究載體，針對課本習題進行變化與引申. 該題由蘇科版九年級（下冊）第六章“二次函數”第8頁習題第5題強化、拓展、引申而來：“如圖2所示，用50 m長的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，試寫出矩形花園的面積y與一邊長x之間的函數關系式.”顯然，考題是在課本習題構建模型基礎之上拓展而來的，雖然考查的難度有所加強，但學生總是感覺“似曾相識、就在身邊”，可謂是“源于課本，高于課本”，這也是命題專家一直倡導的命題理念，同時也符合新課改“立足基礎、注重能力、滲透思想、力求創新”的具體要求，考題“示范性、指導性”的教學功能盡顯無遺.

學生解題錯因分析與思考

命題者習慣于設計現實情境融入數學問題中，體現數學實際應用意識；學生傾向于從現實生活的角度去思考問題的情境，對題目情境的領悟是學生正確分析問題的關鍵；題目中設置的面積相等的三個區域結構不同也給學生構建二次函數應用模型帶來了一定的困難，學生解題中出現的主要錯誤現歸類如下：

（1）思維定式的負遷移影響，缺乏設置輔助元的意識，缺乏將生活實際問題向數學問題的轉換能力，思維混亂現象嚴重. 題目中利用一定長度的鋼絲網圍成面積相等的三個區域是構建二次函數模型的重要信息，部分學生膽怯于同時設置AE和EB為未知字母參與數學運用和推理，從而導致試卷出現空白的現象大有人在. 當然，有部分學生能夠大膽假設出AE和EB的長度，但在數學表達式表示問題條件和結論上比較混亂，不明確輔助元向“x”化歸，出現思維受阻的現象，解題思維混亂，導致錯誤！

對數學課堂教學的啟示

從教師的角度來看，該題屬于中檔題，但是學生解答的得分率讓人“瞠目結舌、十分遺憾”，體現出學生的數學思維存在一定的缺陷，這說明我們一線數學教師教學中存在嚴重的失誤與不足. 在實際教學中，如何解決這種頑疾呢？下面提出自己的幾點拙見.

1. 在數學課堂教學中，注重學生認真、仔細閱讀題目習慣的培養

在處理數學問題時，學生理解與分析問題的能力、數學建模能力的提升離不開閱讀理解能力的培養，文中考題的第一問錯誤率較高，主要是由于題中AE，AB，x之間的等量關系相對比較隱蔽，若不能認真、仔細地閱讀題目，就不能有效挖掘已知量與未知量之間的數量關系，正確解題難以實現. 這就要求數學教師在課堂教學中，應給予學生充足的時間仔細、認真地閱讀題目，指導學生挖掘題目中的關鍵詞，搞清問題的實質；要求學生利用自己的語言描述已知量與未知量之間的數量關系；引導學生根據實際問題構建相應的數學模型，通過對問題的提煉，幫助學生理解數學問題中字母表示數解決問題的情境與本質，讓數學思考和數學理解有效融入實際問題之中.

2. 在數學課堂教學中，讓學生體驗數學建模和知識應用的全過程

從實際情境中抽象數學問題，實現數學思維過程的表達，在此過程中利用數學符號構建函數方程和不等式，體現數量關系和變化規律，有助于數學模型的有效構建和學生數學思維能力的提升. 當前，很多數學教師在課堂教學中，難以尋覓學生思維活動過程的痕跡，取而代之的是各種解題類型和方法的介紹與訓練，忽視解題過程的分析和解題思維的培養，學生獲取的是“思維結果”，缺少“思維過程”的體驗，從而導致學生思維方法、開拓創新意識與能力的缺失. 在新課改背景下，初中數學課堂倡導的教學程序為：“創設問題情境→構建數學模型→分析模型→解決問題→歸納總結、提升拓展”，在具體的數學教學過程中，以學生為中心，以問題為主線，以培養學生能力為目標組織有效教學，讓學生經歷數學建模和知識應用的全過程，進而掌握數學基礎知識，熟悉基本技能，理解基本規律，積累處理問題的經驗，最終實現分析問題和解決問題能力的提升.

3. 在數學課堂教學中，重視建模思想的滲透，助推思考能力的發展

一次考試是短暫的，但是考后暴露的問題留給教師和學生的思考卻有深遠的意義. 從學生對考題的解答中，不難發現部分學生不會利用聯立方程求解矩形的邊長關系，這充分說明學生缺乏建模思想意識，不能數學地思考實際問題. 新課改明確指出：“思考是數學學習的本質，培養學生的思考能力是數學教學的重要目標. ”作為一線數學教師，在課堂教學中引導學生處理實際問題時，要善于滲透建模思想，注重方程、不等式、函數等模型在實際問題中的應用方法介紹，真正讓學生做到數學知識與規律的理解有“源”、運用有“根”、拓展有“魂”.

總而言之，課本案例和典型考題都是一線教師進行有效教學的價值資源和素材，初中數學教師在平時的教學中應注重對這些資源進行思考與分析，挖掘其中蘊藏的本質規律和價值信息，靈活應用于實際問題的處理中，進而促進初中數學課堂教學效益的最大化，推動素質教育的進一步發展.