從美育的角度看南開大學的數(shù)學文化課

顧沛

摘要：數(shù)學之美可以歸納為簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美、和諧美、奇異美等。但是，這些數(shù)學之美不是人人天生都能感知的。南開大學的數(shù)學文化課引導(dǎo)學生領(lǐng)悟數(shù)學的魅力，提高數(shù)學素養(yǎng)，幫助學生逐步學會感悟數(shù)學之美。

關(guān)鍵詞：數(shù)學之美；數(shù)學文化；課程；美育

我們的教育，要使受教育者在德、智、體、美幾方面都得到發(fā)展。高校教育的主渠道，是課程的教學。美學家朱光潛說過：“美有兩條標準，一、美都顯示出奇異的均衡關(guān)系，二、美是各部分之間及部分與整體之間固有的和諧。”本文從美育的角度來看看南開大學的“數(shù)學文化”課。該課程是校公共選修課，被列為南開大學通識課程中的首批“核心課程”，自2001年2月以來，至今已經(jīng)連續(xù)開設(shè)27輪。數(shù)學文化課在課外的延伸，主要包括編輯校內(nèi)刊物《數(shù)學之美》（陳省身先生題寫刊名）以及舉辦全校“數(shù)學之美論壇”。15年來，數(shù)學文化課在課堂內(nèi)外，不但成為南開大學校園文化的一道亮麗風景，也顯示出它的美育功效，受到學生的廣泛歡迎。不久前南開大學召開了全校美育工作會議，特邀筆者做大會發(fā)言，題目就是“數(shù)學文化課程的美育功效”。

數(shù)學文化課不同于一般的數(shù)學課程，它以深淺適當?shù)闹R為載體，改善學生的思維品質(zhì)，傳授數(shù)學的思想、精神和方法，既提高學生的數(shù)學素質(zhì)，也提高學生的文化素質(zhì)和思想素質(zhì)，在素質(zhì)教育（包括美育）中發(fā)揮了較好的作用。

一、數(shù)學的簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美、和諧美、奇異美

“讓學生受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會數(shù)學的美學價值，提高對數(shù)學的興趣”，很早就被我們設(shè)立為數(shù)學文化課的課程目標之一。

正如英國數(shù)學家兼哲學家羅素所說：“數(shù)學，不但擁有真理，而且具有至高的美，是一種冷而嚴格的美。”筆者在教學中把數(shù)學之美歸納為簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美、和諧美、奇異美等。例如，世界是紛繁復(fù)雜的，人類對世界的認識也是曲折繁復(fù)的，可是用數(shù)學公式表達其規(guī)律，又是那樣簡潔，如牛頓力學中的第二定律F=ma、愛因斯坦的質(zhì)能轉(zhuǎn)換公式E=mc2，都體現(xiàn)了簡潔美。又如任何一幅地圖的染色，為了使所有相鄰的區(qū)域顏色不同，只要四種顏色就夠了。該“四色定理”從1852年提出猜想，經(jīng)過世代數(shù)學家的努力，至1977年才發(fā)表證明。并非因為只用四種顏色可以節(jié)約印刷成本，這些探索完全是出于數(shù)學家對簡潔和完美的追求，這也反映了數(shù)學的簡潔美。再如我們身邊有多種多樣的對稱，如雪花、剪紙、商標、服裝、人體、建筑物，如文學中的對聯(lián)、對仗，如計算三角形面積的海倫公式。數(shù)學能夠把各個領(lǐng)域各不相同的對稱中共同的本質(zhì)抽象出來，表述出來，并且加以應(yīng)用，這反映了數(shù)學的對稱美。再如用不同的繩索織不同的網(wǎng)，這些網(wǎng)似乎可以千差萬別，但是數(shù)學上卻可證明，任何網(wǎng)的結(jié)點數(shù)（V），網(wǎng)眼數(shù)（P），邊數(shù)（E）都必定滿足同樣的公式：V+F-E=I。數(shù)學就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來混亂的事物總結(jié)出統(tǒng)一的規(guī)律，這反映了數(shù)學的統(tǒng)一美。每年春夏秋冬的輪回，每月月亮的陰晴圓缺，每天白晝黑夜的交替，大海潮水的漲落，心臟有規(guī)律的跳動，數(shù)學上都可以用“周期”一詞來概括、去研究，這也反映了數(shù)學的統(tǒng)一美。1777年“蒲豐投針”用隨機性試驗，去求確定性的圓周率，把概率論與幾何學這兩個看來互不相干的數(shù)學分支聯(lián)系起來，這也反映了數(shù)學的統(tǒng)一美。再如歐拉公式e12+1=0，把數(shù)學中五個重要的常數(shù)π、i、e、l、o聯(lián)系在同一個等式中，這反映了數(shù)學的和諧美。數(shù)學中的黃金比0.618，體現(xiàn)了一種恰到好處的和諧，會給人們帶來愉悅，這也反映了數(shù)學的和諧美。再如斐波那契數(shù)列在大自然中有廣泛的體現(xiàn)，例如向日葵的種子排列得十分緊密，其中的規(guī)律就涉及斐波那契數(shù)列。

二、數(shù)學之美還體現(xiàn)于數(shù)學有用

數(shù)學之美還體現(xiàn)于數(shù)學之有用。例如，數(shù)學揭示和抓住事物的本質(zhì)后，能夠以簡馭繁（簡潔美），解決大量的實際問題。非常有用的微積分，基本思想就是“局部以直代曲”，“直”就是“曲”的簡化，其中的泰勒公式是用簡單的多項式函數(shù)去逼近各種復(fù)雜的函數(shù)（簡潔美）。國際上約定的求救符號SOS利用了其對稱性，使它從正反兩個方向上看都是SOS，便于發(fā)現(xiàn)遇險求救的人員（對稱美）。笛卡兒發(fā)明的坐標系，把數(shù)與形統(tǒng)一起來產(chǎn)生了解析幾何學，非常有用（統(tǒng)一美）。太陽系多個行星的運動軌道雖然各不相同，但都是以太陽為焦點的橢圓，并且都滿足開普勒總結(jié)的三個定律（統(tǒng)一美）。納皮爾發(fā)明的“對數(shù)”，可以把乘除運算轉(zhuǎn)化為加減運算，帶有奇異性，卻能夠大大加快運算的速度（奇異美）。七巧板可以拼出豐富多彩的圖形，也帶有奇異性，而這些奇妙的拼搭不但能夠鍛煉智力，而且會使人產(chǎn)生難以言表的成就感和美的享受（奇異美）。人們用寬與長之比接近黃金比0.618的矩形做國旗，會比較美觀（和諧美）。華羅庚先生創(chuàng)造的“優(yōu)選法”，在區(qū)間的0.618處取試驗點，能用較少的試驗次數(shù)達到較好的效果（和諧美）。所以，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。

三、數(shù)學之美的教學實例

但是，這些數(shù)學之美并不是人人都能感知的，更不是天生都能感知的。南開大學的數(shù)學文化課設(shè)計了豐富的話題，有趣的情境，通過探究式的教學，啟發(fā)學生領(lǐng)悟數(shù)學的魅力，體會知識中蘊涵著“數(shù)學方式的理性思維”，提高數(shù)學素養(yǎng)，就能幫助學生逐步學會感悟數(shù)學之美，也能促進科學素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育的有機融合。這就是數(shù)學文化課程的美育功能。也如王義道先生在不久前的一篇文章中所說：“這兩者的結(jié)合就體現(xiàn)在科學與人文的融合上，德與才和真善美的統(tǒng)一上。”

在教學中如何引領(lǐng)學生去感悟數(shù)學之美？本文前面兩個大標題下舉出的大量例子，都是南開大學數(shù)學文化課教學實例的簡練表述。下面，再略微詳細地與讀者分享幾個教學實例，同時總結(jié)、分析數(shù)學文化課進行美育教學的一些規(guī)律。

1.設(shè)計適當?shù)那榫常欣诿烙虒W

“一一對應(yīng)”中的數(shù)學美，學生不易理解，我們就設(shè)計了“大足石刻千手觀音”的情境，從感性到理性地講解。千手觀音的手又多又亂，很難數(shù)清。明朝的一位工匠找來2000張金箔，一張一張地往觀音的手上貼，既不會漏掉一只手，也不會重復(fù)地貼一只手；然后再數(shù)剩下的金箔，算出貼上的金箔數(shù)，這就是千手觀音手的數(shù)目。學生從金箔與手的一一對應(yīng)，感悟出其中的數(shù)學美。這樣的例子還很多，如用“韓信點兵”的故事逐步講解中國剩余定理；用“有無限個房間的旅館”客滿后仍然能安排新來的客人，解釋無限與有限的根本區(qū)別，使學生感悟“無限”中的數(shù)學美。

2.講清知識的數(shù)學本質(zhì)，有利于美育教學

數(shù)學能夠揭示事物的本質(zhì)，使人體會到數(shù)學之美。傳授知識時如果能講清其中的數(shù)學本質(zhì)，也會使人感受到“數(shù)學方式的理性思維”，有利于美育教學。如“孿生素數(shù)”的概念雖然是“間隔2的素數(shù)”，但“孿生素數(shù)猜想”的本質(zhì)卻是“總有”間隔同一個正整數(shù)的素數(shù)。所以，張益唐先生證明了“總有”間隔7000萬的素數(shù)，就是解決“孿生素數(shù)猜想”問題的重大進展。這樣的例子還很多，如講解“井蓋為什么大多設(shè)計為圓的，而不是方的”，數(shù)學本質(zhì)是“圓的直徑均同長”，而正方形的邊長小于其對角線的長度，所以正方形的井蓋就可能沿對角線方向掉入井中。如講解黃金分割的美、優(yōu)選法中的“折紙法”時，講清其數(shù)學本質(zhì)是“黃金分割點的再生性”，學生就能領(lǐng)悟到其中的數(shù)學之美。

3.介紹數(shù)學家在困境中如何創(chuàng)新，有利于美育教學

許多數(shù)學家曾經(jīng)致力于歐氏幾何中“第五公設(shè)”的證明，都遇到困難。羅巴切夫斯基則另辟蹊徑，創(chuàng)造性地用另一公設(shè)替代“第五公設(shè)”，推演、創(chuàng)立了非歐幾何體系，開辟出新的天地，體現(xiàn)了數(shù)學之美。這樣的例子還很多，如人們在研究“哥尼斯堡七橋問題”時遇到困難，歐拉創(chuàng)造性地把地圖抽象為“點線圖”，把“不重復(fù)地走遍七座橋”抽象為“一筆畫”問題，不但解決了問題，而且開創(chuàng)了有用的“圖論”。

4.以游戲引課激發(fā)興趣，有利于美育教學

興趣是最好的老師，我們用“10秒鐘計數(shù)”的游戲逐步引出斐波那契數(shù)列與黃金分割；還以“抓堆”游戲引出“解決關(guān)于自然數(shù)的問題”的四點規(guī)律，使學生感悟其中的數(shù)學之美。

5.組織學生的探究活動，有利于美育教學

在探究活動中學生可以進行創(chuàng)造數(shù)學美的實踐。在“5個平面最多把空間分為多少個部分”的教學中，我們組織學生探究，生生互動，使學生經(jīng)歷猜測規(guī)律、證明結(jié)論的全過程，自己創(chuàng)造美的結(jié)果。

這種自主、有趣的教學氛圍，不僅使學生感悟到那些具體的數(shù)學之美，而且普遍地調(diào)動了學生的想象力和創(chuàng)造力，為學生一般地進行數(shù)學美的體驗和數(shù)學美的創(chuàng)造提供了較大的空間。

6.《數(shù)學之美》校內(nèi)刊物及全校“數(shù)學之美論壇”

數(shù)學文化課在課外還延伸創(chuàng)辦了本科生的校內(nèi)刊物《數(shù)學之美》及全校“數(shù)學之美論壇”。刊物每年一期，至今己編發(fā)11期，已刊登本科生的文章421篇，共評選出一等獎37篇、二等獎69篇、三等獎93篇。全校性的大學生“數(shù)學之美論壇”已經(jīng)辦了9屆，在論壇上作大會演講的有35人，作分組會演講的有73人。發(fā)文或演講的學生都有較大的收獲和成就感。

《數(shù)學之美》編委會由我校數(shù)學文化課程組和高等數(shù)學教學部的7位教師組成。每一期刊物在個人審稿的基礎(chǔ)上還有兩次集體審稿，對于初步錄用的稿件都給作者發(fā)去“編輯部修改意見”的電子郵件。對于準備在論壇上做演講的學生，我們會組織一次集體的試講，對學生進行“材料如何選取、PPT如何制作及演講技巧”的輔導(dǎo)。我們投入這么多時間、精力，完全是出于“全面育人、素質(zhì)教育”的責任心。

四、數(shù)學文化課的美育效果

一些學生在“評課意見”中寫道：“數(shù)學文化課立意非常好，又淺顯易懂，還透著哲學的光芒，授之知識亦授之理性。上這個課每分鐘都是過得有價值的。”“我從數(shù)學文化課中體會著原來沒體會到的那一份數(shù)學的美麗。這份美麗像一本古書，一杯老酒，常看常新，久品久醇。”“數(shù)學文化課使我們感到數(shù)學學習不是枯燥的，數(shù)學邏輯不是冷酷的，數(shù)學是令人賞心悅目的。”

南開大學的“數(shù)學文化”課程2007年以來先后被評為“國家精品課程”“精品視頻公開課”“精品資源共享課”，2014年獲國家級教學成果二等獎。“數(shù)學文化十講”慕課去年9月也在“愛課程”網(wǎng)“中國大學MOOC”平臺開課。

近年來，南開大學的數(shù)學文化課受到許多兄弟高校肯定。包括清華、北大在內(nèi)，筆者應(yīng)邀到150余所高校及20多個全國性教改會議數(shù)學文化課程方面的報告；多家主流媒體報道了南開大學的數(shù)學文化課程。現(xiàn)在，文理交融的數(shù)學文化類課程已經(jīng)推廣到全國300余所高校。美育與德育、智育相互滲透，融合于數(shù)學文化課程之中，在更加廣闊的天地開花結(jié)果。

[責任編輯：陳立民]