關(guān)于“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”的教學(xué)探索*

●董　凱　豐慶林　　(大同市第一中學(xué)　山西大同　037008)

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關(guān)于“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”的教學(xué)探索*

●董凱豐慶林(大同市第一中學(xué)山西大同037008)

摘要：鑒于現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中，探索正弦型函數(shù)的圖像變換時缺乏實(shí)際背景，學(xué)生理解起來比較抽象.文章以水車模型為背景，使學(xué)生能自行推導(dǎo)出正弦型函數(shù)的解析式，并借助實(shí)際背景，深刻感悟各參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，不僅給出了教學(xué)設(shè)計，還提及了編寫教學(xué)設(shè)計的最初設(shè)想、遇到的困難，以及編寫后的反思.

關(guān)鍵詞：正弦型函數(shù);圖像變換;教學(xué)設(shè)計

“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”這一內(nèi)容有著豐富的實(shí)際背景，但是因?yàn)椴煌瑢W(xué)科知識內(nèi)容之間的銜接，卻限制了其教學(xué).能否借助具體的實(shí)際問題，結(jié)合其他學(xué)科的相關(guān)知識，讓這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容更加生動，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，服務(wù)于實(shí)踐，并更深切地感悟各參數(shù)對正弦型函數(shù)圖像的影響呢？為此我們進(jìn)行了反復(fù)研究，并形成了一個可行的方案.

1對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的現(xiàn)實(shí)模型探索與設(shè)想

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書的教材中，引入y=Asin(ωx+φ)函數(shù)模型時，往往只是一句話：“在物理和工程技術(shù)的許多問題中，都會遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)解析式”[1]．這樣的敘述指出了正弦型函數(shù)的重要性，但由于沒有給出具體實(shí)例，學(xué)生仍然會覺得此函數(shù)模型比較陌生．

設(shè)計意圖為例題講解作鋪墊，建立向量方法和幾何問題之間的聯(lián)系，解決如何選擇基底、如何用基底表示其他向量、線段相等與垂直如何用向量表示等問題.

5.2例題講解

例5求證：平行四邊形的2條對角線的平方和等于2條鄰邊平方和的2倍.

設(shè)計意圖初步嘗試用向量法解決平面幾何問題，有了復(fù)習(xí)引入的鋪墊，相信學(xué)生能夠解決此題.教師總結(jié)用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”.

圖4 圖5

例6如圖4，在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB,D為BC的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.

設(shè)計意圖體驗(yàn)用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”，發(fā)掘解決此題的多種途徑(本題可用向量的幾何法與向量的坐標(biāo)法解決，而用平面幾何法不易解決).培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的能力，開拓學(xué)生的視野.

變式題如圖5，已知正方形ABCD,P為對角線上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DP，EF，求證：1)DP⊥EF；2)DP=EF.

設(shè)計意圖合理選擇解題方法(本題用向量的坐標(biāo)法解決較容易)，優(yōu)化學(xué)生思維，拓展思維空間.

5.3課堂練習(xí)

練習(xí)1已知四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD,用向量方法證明：四邊形ABCD是矩形.

三角函數(shù)研究的對象是圓周運(yùn)動.能否選擇以勻速圓周運(yùn)動為背景的實(shí)際模型，再結(jié)合學(xué)生已有的物理知識，根據(jù)三角函數(shù)定義，讓學(xué)生自行推導(dǎo)出y=Asin(ωx+φ)的解析式呢？如果能這樣處理，那就更容易拉近學(xué)生與正弦型函數(shù)的距離．在物理學(xué)中，簡諧運(yùn)動中單擺對平衡位置的位移y與時間x的關(guān)系、交流電的電壓y與時間x的關(guān)系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù).因此可以選擇它們?yōu)楸尘皩瘮?shù)進(jìn)行研究.

一個簡易的交流發(fā)電裝置將一定長度的導(dǎo)線彎成導(dǎo)線圈，從水平狀態(tài)開始，按逆時針方向，在磁場中以ω=1 rad/s的角速度繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則產(chǎn)生的感應(yīng)電流y隨時間x的變化規(guī)律為y=sinx(其中x≥0).

變化其中導(dǎo)線圈的初始位置、旋轉(zhuǎn)速度、線圈匝數(shù)，并研究感應(yīng)電流y隨時間x的變化規(guī)律，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)φ，ω，A這3個參數(shù)變化對函數(shù)圖像的影響.

但是這個構(gòu)想剛一出爐就被否定了，原因是與物理知識的銜接不匹配，這樣的情境對學(xué)生來說要求較高，尤其是對文科學(xué)生而言，情境難度超過了所學(xué)知識的難度，因此只能忍痛割愛.之后又嘗試用摩天輪，雖然直觀，很有趣味性，但是文化性稍顯不足.

2根據(jù)設(shè)想，撰寫“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”教學(xué)設(shè)計

根據(jù)前面的設(shè)想，并經(jīng)過多次實(shí)踐、修正、完善，我們編寫成下面的教學(xué)設(shè)計.

圖1 圖2

引入教師簡要介紹“天工開物”并展示“筒車”圖片(如圖1)，簡述筒車的作用原理．

問題1以筒車轉(zhuǎn)軸為原點(diǎn)，水平方向、豎直方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2)．記筒車半徑為Am，旋轉(zhuǎn)的角速度為ωrad/s，某水筒M(視為質(zhì)點(diǎn))的初始位置M0對應(yīng)角φ的終邊，則水筒M相對轉(zhuǎn)軸O的高度y(單位：m)隨時間x(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式是什么？

預(yù)設(shè)的師生活動學(xué)生探究并給出答案：y=Asin(ωx+φ)．

教師對學(xué)生的分析及解答予以點(diǎn)評，并指出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是重要的數(shù)學(xué)模型，有諸多應(yīng)用，并與函數(shù)y=sinx密切相關(guān)．

設(shè)計意圖引入筒車，并引出y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)．

圖3

教師對學(xué)生的分析解答予以點(diǎn)評并演示課件；若學(xué)生答不出，則教師可展示幾組特殊點(diǎn)作為提示．

設(shè)計意圖希望學(xué)生通過這個探究結(jié)合實(shí)例體會函數(shù)圖像平移“左加右減”的本質(zhì)．

問題3若另選一個水筒并視為質(zhì)點(diǎn)R(例如選擇Q關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn))，則R的初始位置φ取何值？相對于轉(zhuǎn)軸O的高度y隨時間x變化規(guī)律是什么？其圖像與點(diǎn)P運(yùn)動規(guī)律的圖像有何關(guān)系？φ對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像有何影響？

教師幫助并引導(dǎo)學(xué)生思考，點(diǎn)評學(xué)生的回答．

設(shè)計意圖歸納φ對函數(shù)y=sin(x+φ)圖像的影響．

教師對學(xué)生的分析解答予以點(diǎn)評并演示課件；若學(xué)生答不出，教師可展示幾組特殊點(diǎn)作為提示．

教師幫助并引導(dǎo)學(xué)生思考，點(diǎn)評學(xué)生的回答．

設(shè)計意圖歸納ω對函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖像的影響．

教師對學(xué)生的分析解答予以點(diǎn)評并演示課件；若學(xué)生答不出，教師可展示幾組特殊點(diǎn)作為提示．

設(shè)計意圖希望學(xué)生通過這個探究結(jié)合實(shí)例，體會豎直伸縮變換的本質(zhì)．

問題7如果將水車每個葉片的長度增加為2 m,并在端點(diǎn)處增加新的水筒Q″，則Q″對應(yīng)的A取何值？水筒Q″相對于O的高度隨時間的變化規(guī)律如何？其圖像與點(diǎn)O運(yùn)動規(guī)律的圖像有何關(guān)系？A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像有何影響？

教師幫助并引導(dǎo)學(xué)生思考，點(diǎn)評學(xué)生的回答．

設(shè)計意圖歸納A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的影響．

該問題結(jié)束后，教師指出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是非常重要的數(shù)學(xué)模型，并有許多實(shí)際應(yīng)用．學(xué)生閱讀教材中關(guān)于A,ω,φ,T,f的物理意義的說明．通過閱讀，使學(xué)生了解正弦型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．

(后續(xù)環(huán)節(jié)略.)

3“函數(shù)的圖像”教學(xué)實(shí)踐與反思

基于以上研究、實(shí)踐、反思、再研究、再反思的過程，筆者總結(jié)出以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

3.1選擇實(shí)例時應(yīng)充分考慮學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)體系

為了給勻速圓周運(yùn)動中各個參量賦予鮮明的實(shí)際意義，起初我們選擇的是交流發(fā)電機(jī)發(fā)電原理的模型．這個模型涉及到電磁感應(yīng)、交變電流等物理知識和原理，學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)4》時還沒有接觸這些內(nèi)容，因此理解起來會很困難．

后期改用了水車模型，這樣，學(xué)生根據(jù)物理學(xué)中勻速圓周運(yùn)動的相關(guān)知識結(jié)合三角函數(shù)的定義即可建立對應(yīng)的函數(shù)解析式，而且模型中各參量的實(shí)際意義明確，便于學(xué)生理解各參量變換對圖像的影響．

3.2設(shè)計問題時，表述要明確，能使學(xué)生正確理解問題的內(nèi)涵

“問題2”最初是這樣敘述的：“水輪上與點(diǎn)P相隔4個葉輪的水筒Q(視為質(zhì)點(diǎn))相對于水車轉(zhuǎn)軸O的高度y隨時間x的變化規(guī)律如何？圖像如何？與點(diǎn)P的函數(shù)圖像有何關(guān)系？”這樣設(shè)計的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生尋找點(diǎn)P，Q的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動規(guī)律及圖像之間的關(guān)系．然而由于表述中沒有清楚地指出這一點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中，很多學(xué)生沒能理解這層意思，其中有學(xué)生回答第2個問題“圖像如何？”時顯得不知所措，最后的回答更是不知所云．

因此在之后的修改中，改變了這樣敘述的方式，將“圖像如何”改為“水筒Q在x時刻的位置與水筒P在哪一時刻的位置完全相同？”這樣直接提出具體可操作的問題，使學(xué)生能夠明確任務(wù)，也為后面的思考鋪平了道路．

3.3設(shè)計多個小問題組成的連環(huán)問題時，應(yīng)合理取舍，直奔主題，使問題簡潔明了

“問題2”原先設(shè)計了3個小問題：1)點(diǎn)Q的運(yùn)動規(guī)律；2)點(diǎn)P，Q的關(guān)系；3)點(diǎn)P，Q運(yùn)動規(guī)律及圖像的關(guān)系．3個問題環(huán)環(huán)相扣，從參量的變換到點(diǎn)的變換，從點(diǎn)的變換到圖像的變換，一步一步引導(dǎo)學(xué)生思考各個變換的特征，得到圖像變換前和變換后的關(guān)系．從課堂實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解起來確實(shí)更加容易，但是課后與學(xué)生交談時，有學(xué)生反映問題太過啰嗦，課堂進(jìn)度太慢，節(jié)奏不夠緊湊．

之后我們認(rèn)真斟酌一番，發(fā)現(xiàn)問題2)和3)是需要學(xué)生探究的主要內(nèi)容，問題1)相對次要，且只要套用引入時導(dǎo)出的解析式即可得到．于是最終表述探究的問題時，問題1)的答案直接給出，只探究問題2)和3)，這樣就能直奔主題，讓學(xué)生探究時直接指向核心內(nèi)容，課堂節(jié)奏也更加明快．

研究是快樂的，實(shí)踐是有趣的.經(jīng)過反復(fù)地思考、實(shí)踐、再思考、再實(shí)踐，特別是與學(xué)生的交流，筆者的想法與學(xué)生的心理變得更加融洽，實(shí)踐的結(jié)果與筆者的初衷也變得更加吻合了.

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.普通高中教材《數(shù)學(xué)》第2冊(下)[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]課程教材研究所.普通高中教材《物理(選修1-1)》[M].北京：人民教育出版社，2013.

中圖分類號：O124.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-03-04

作者簡介：董凱(1982-),男，山西太原人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

基金項(xiàng)目：人民教育出版社課程教材研究所“十二五”課題“高中數(shù)學(xué)教材中三角函數(shù)內(nèi)容的研究”(KC2014-016).

修訂日期：*收文日期：2016-01-05；2016-02-08.