“從梯子的傾斜程度談起（一）”課例分析與感悟

趙冬艷

摘 要 以層層深入的問題為載體，以學生的探究活動為主線，對正切的數學含義進行深入探究，啟發學生主動思考，深度參與學習活動，逐步滲透轉化的數學思想和構造直角三角形的意識。

關鍵詞 正切 自主探究 轉化思想 概念教學

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0016-03

“第四屆新世紀杯全國初中數學優質課評比活動”在濟南舉行，筆者有幸參加了這次評比活動，并且憑借《北師大版九年級下冊第一章《直角三角形的邊角關系》的第一節《從梯子的傾斜程度談起》的第一課時獲得了說課組一等獎的榮譽，特別是本節課的自創“旗桿”引例和“三個層次的探究問題”的設計，得到了專家們的一致好評。現呈現這節課的教學片斷與分析，并引發對概念探究課教學的幾點感悟。

一、教學片斷分析

1.創設情境，引入新課

（多媒體演示生活中的一個具體問題）

有一個旗桿AB，在地面上旗桿AB的左側找到一點C，測量出BC的長度為8米，同時測量出∠ACB等于55埃隳芮蟪銎旄薃B的高度么？

【設計意圖】創設生活中一個簡單具體的問題情境，拉近了研究的問題與學生間的距離，同時也使學生對所研究的問題有了豐富的感性認識，為深入研究奠定基礎。

2.探索新知，理解概念

探究一：（1）如圖，一把梯子斜靠在墻上。滑動前（圖中AB）與滑動后（圖中A′B′）的位置的梯子，哪一個更陡些？（2）你是根據什么判斷的？如何描述梯子在兩個不同位置的具體的傾斜程度呢？

探究發現一：傾斜角越大，梯子越陡。

探究二：①在圖1中，梯子AB和梯子EF哪個更陡，你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？

[生1]（如圖1-1）我們可以把AB向右平移，把兩個梯子放在同一個墻上，通過比較傾斜角的大小來比較兩個梯子哪個更陡。過點E作AB的平行線交于點G，所以∠ABC=∠EGD，那么我們要看這兩個梯子誰陡，就是要看∠EGD和∠EFD誰大。因為△ABC≌△EGD，所以GD=BC=2.5m>DF，即點G在DF的延長線上，那么∠EFD是△EGF的外角，外角大于任何一個與它不相鄰的內角，所以∠EFD>∠EGD，即EF更陡。

②在圖2中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

[生2]（如圖2-1）和剛才的方法類似，過點F作AB的平行線交于點G，所以∠ABC=∠GFD，而∠EFD>∠GFD，所以梯子EF更陡。

③那么在下圖3中，梯子AB和EF哪個更陡？你又是怎樣判斷的？

[師]我們觀察圖3發現兩個梯子的鉛直高度和水平寬度都不相同，而且兩個梯子的傾斜角度也很接近，要判斷哪個梯子更陡就比較困難了。下面，請同學們先獨立思考，再分小組討論，最后請每個小組派一名代表闡述你們組的解決方法。

[生3] （如圖3-1）在AC上截取CG=DE，過點G作GH平行于AB，則△CGH∽△CAB，由相似的性質可求出CH的長，將CH與DF的長度進行比較，就轉化到問題一，從而可求。

[師]這位同學巧用相似形，將問題轉化為比較水平寬度，非常好掌聲送給他！同學們再來觀察這些圖中所給的數據，這些數據中蘊含的規律對你有什么啟示？

[生4] 我發現在圖1中>，所以EF更陡；在圖2中>，所以EF更陡； 在圖3中>，同樣我們驗證了EF更陡。所以鉛直高度與水平寬度的比值越大，梯子越陡。

[師]太棒了，這位同學運用類比歸納的方法，發現了規律。所以我們可以通過計算鉛直高度與水平寬度的比值來比較梯子的傾斜程度。而這種方法也簡單易行。

④那么在圖4中，梯子AB和EF哪個更陡呢？[生5]因為==2，所以兩個梯子一樣陡。于是得到：鉛直高度與水平寬度的比越大，梯子越陡。

（多媒體演示，梯子上升變陡的動畫） 探究發現二：鉛直高度與水平寬度的比越大，梯子越陡。

[師]“傾斜角”以及“鉛直高度與水平寬度的比值”既然都能用來判斷梯子的傾斜程度，那么它們兩者之間是否存在著某種固定的關系呢？我們繼續探究。

探究三：如圖，若小明不能順利測量梯子頂端到墻腳的距離了B1C1，進而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么好辦法？

[生6]將梯子的長度測量出來，再將梯子下端到墻角的距離測量出來，用勾股定理求出鉛直高度，再用鉛直高度與水平寬度的比來刻畫。[師]這種方法可行，還有沒有其他的辦法？

[生7]找一適當的位置，使人的頭頂剛好處在梯子上，另一同學測出他的身高及腳到梯子下端的距離，用鉛垂高度與水平寬度的比來刻畫該梯子的傾斜程度。

[師]這位同學的做法可以么？下面我們把這一問題抽象成幾何問題。

提出問題：（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系？（2）和有什么關系？（3）若改變B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結論？

[生8]由圖可知，B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2//B1C1，所以Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。由相似三角形的性質可得出：=。[師]如果改變B2在梯子上的位置，上面的兩問還成立么？由此你能得出什么結論。（多媒體演示B2在梯子上的不同位置時的情況）

[師] B2在變化的過程中，∠A和始終沒變，在∠A所在的直角三角形中，B2C2叫∠A的對邊，AC2叫∠A的鄰邊，當∠A確定時，∠A的對邊與鄰邊的比值也隨之確定，也就是說，這一比值只與∠A有關，而與∠A所在的直角三角形的大小無關。

探究發現三：當傾斜角確定時，它的對邊與鄰邊的比值也唯一確定。

【設計意圖】理解正切的數學含義是本節的重點，因此我在引出正切概念這部分設計了三個探究活動，從三個層次逐步闡明了正切的數學含義。探究一：感受傾斜角能刻畫梯子的傾斜程度。探究二：感受鉛直高度與水平寬度之比能刻畫梯子傾斜程度，這是本節課的難點。為了突破難點，我設計了四個環環相扣的問題，然后通過多媒體動畫演示，加深學生對這一結論的理解。探究三：感受傾斜角和鉛直高度與水平寬度之比的關系，從而建立正切的概念。

在靈活運用，延伸拓展這一環節，只設計了一個例題和兩個練習，例題不但鞏固了正切的定義，而且自然地引入了坡度的概念，起到了承上啟下的作用。兩個練習幫助學生充分理解坡度的概念，同時培養了學生構造直角三角形的意識。

最后通過本節所學的知識解決了引例中提出的問題，做到前后呼應，從問題的提出到問題的解決，體現了數學來源于生活又服務于生活的思想。

二、關于概念探究課教學的幾點感悟

本節課經過多次打磨后，我體會到要上好一節概念課，需要注意以下幾點：

1.概念探究課的問題引入要貼近現實且能突出主題

《課標（2011年版）》指出，素材的選用應當充分考慮學生的認知水平和活動經驗。這些素材應當在反映教學本質的前提下，盡可能地貼近學生的現實以利于他們經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程。因此在引課環節，我設計了一個簡單有趣的生活中求旗桿高度的問題，不但讓學生體會到本章知識是在學習了直角三形邊之間的關系和角之間的關系的基礎之上的繼續，而且拉近學習內容與學生之間的距離，這樣的設計即體現了數學來源于生活又服務于生活的思想，又自然的體現了本章的主題，充分調動了學生的學習積極性。

2.概念探究課應注重概念的形成過程

概念形成是概念學習歷程中非常重要的一部分，也是思維過程中最復雜的部分，如何把握好這部分教學，讓學生真正理解概念，我認為要做到以下幾點：

（1）設計逐層遞進的探究活動

《課標（2011年版）》指出，教學中注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑。本節課設計的三個層層遞進的探究活動，讓學生逐步掌握重點內容，突破了難點。同時學生的積極性被充分的調動了起來，達到了預設的目標。

（2）課堂練習不宜過多過難

我在磨課的過程中體會到：只有把概念講清講透學生充分理解了，課堂上只講基礎題，學生照樣會做難題，這樣的課就成功了。最終我在靈活運用延伸拓展這個環節只設計了一個例題和兩個練習，主要考察學生對知識的直接應用，而把重點放在了經歷概念發生發展過程的三個探究活動上，從學生的作業情況看，效果非常好，學生真正理解了概念，靈活運用的題目也做得得心應手。在后續的習題課中，可以再有針對性的進行提高。

總之，數學概念教學是中學數學中至關重要的一項內容。學生數學素養差別的關鍵是在對數學概念理解，應用和轉化等方面的差異。因此抓好概念教學是提高初中數學質量的帶有根本性意義的一環。教學過程中應充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學的契機，以提高大多數學生的素養。

參考文獻：

[1] 義務教育數學課程標準修訂組.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 孫道斌.構筑數學概念教學的理想課堂[C].合肥：教育部北京師范大學基礎教育課堂研究中心，2014，（3）：48-52.