搭建數學本質教學平臺促進課堂教學思維優化

蘇華春

（福建省寧德市民族中學）

搭建數學本質教學平臺促進課堂教學思維優化

蘇華春

（福建省寧德市民族中學）

結合教學實際，對新課程課堂教學中如何搭建數學本質教學平臺，發展學生思維，提高數學的素養談一些體會。關鍵詞：高中數學；發展思維；實踐體會

新課標版考試大綱在考查要求中指出：“數學學科的系統性和嚴密性決定了數學知識之間深刻的內在聯系，包括各部分知識的縱向聯系和橫向聯系，要善于從本質上抓住這些聯系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數學試卷的框架結構。”近年在高考卷更是突出了各知識中數學本質的考查，課堂關注數學本質的教學，經歷過程、教少學多，成為有效教學的根本。

數學本質屬于數學哲學范疇，人們從不同的角度看數學，便對數學的本質有不同的認識。張奠宙教授在討論數學本質時指出其內涵是：數學知識的內在聯系；數學規律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神（依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識為理性認識，重視理性認識活動，以尋找事物的本質、規律及內部聯系，這種精神稱為理性精神）的體驗等方面。筆者認為數學教學應該通過數學活動讓學生領悟數學嚴謹、抽象、簡潔等的本質特點，感受數學理性的精神力量，發展學生的數學思維，因此張教授對數學本質內涵的概述對中學數學教學更具有指導意義。本文結合教學實踐對新課程課堂教學中如何搭建數學本質教學平臺，發展學生思維，提高數學的素養，談談自己的一些粗淺的體會。

一、搭建知識橫向聯系的平臺，完善學生知識組塊整合，培養學生思維的廣泛性和靈活性

學生形成數學認知結構，關鍵在于所呈現的數學知識和經驗的結構化程度。在日常教學實踐中我們發現，學生平時對三基的學習是零散的、孤立的，認知是“斷點”的，體現在問題的解決過程中聯系性、綜合性、靈活性都較弱，因此在教學中要加強數學知識間聯系的教學，促成學生知識與能力的轉化。新課程理念提供了對教材進行二次加工的機會，在教學中，不能只關注于研究“怎么教”的問題，“教什么”也不能局限于教材上的內容。為了提高對數學教材的理解水平，我們應注意開闊視野，結合學生原有的學習實際情況，在學生已有的知識組塊間尋找教學銜接點，聯系擴展到更寬的領域，促進學生知識組塊整合。在聯系觀點指導下進行數學教學，無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應用，尤其是知識的復習和整理，應多從知識間的聯系出發，幫助學生對所學過的知識有新的理解與認識，幫助學生形成有序的知識體系，階段性完成知識模塊的重新組合，并在對新知識的理解中使學生的認知水平、思維能力和分析解決問題的能力都得到提高。

案例1：數學學習中對數符號的認識對中等以下的學生是個難點，在對數概念教學中我們可以通過提供以下兩個問題來引入對數的概念。

問題1：已知國民生產總值每年平均增長率為7.2%，求20年后國民生產總值是原來的多少倍？（解析：設原來國民生產總值為1，則20年后國民生產總值y=（1+7.2%）20=1.07220，所以20年后國民生產總值是原來的1.07220倍.這是數學中知道底數和指數，求冪值的問題。）

問題2：已知國民生產總值每年平均增長率為7.2%，問經過多少年后國民生產總值是原來的4倍？（解析：設原來國民生產總值為1，需經x年后國民生產總值是原來的4倍。列方程得:1. 072x=4。這是知道底數和冪值，求指數的問題，是上述問題的逆問題，為求對數的問題。）

在此基礎上讓學生回顧初中為了解方程xn=N而引入開根號運算（記作）、并拓展在解三角方程引入反三角符號等，讓學生理解引入數學符號是數學運算常用的手法、是數學發展的必然、抽象性、簡潔性的體現。通過橫向的符號引入上的聯系讓學生理解對數是一種新的運算，一種知道底和冪值求指數的運算，記作logaN。

案例2:在高三函數的復習研究中，我們在對“對勾函數”（fx）= x+（a＞0）的圖象與值域進行研究時，通過引導學生用均值不等

式求其最值找拐點，從極限的觀點理解函數圖象有漸近線，用函數的圖象來理解它的單調性與最值，用導數的方法研究其單調性與最值，并給出不同的定義域幫助學生理解它的適用范圍等，在知識的橫向聯系中建立知識網絡，溝通內在聯系，讓學生感受到認識單一知識在數學知識體系中的“坐標”作用，只有全面把握知識間的內在聯系，才能完善對知識的認知結構。

案例3：在用“化曲（折）為直”思想研究某動點到兩定點距離之和最小值時，我們讓學生研究：

2.已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時P點的坐標。

在研究第1小題的解法時，學生還很難展開解題思路，這時我們讓學生回憶若雙曲線改成直線，問題則為欲在直線上求一點到兩定點的距離之和最小，學生在學習點關于直線對稱的應用問題時有對這類問題的解題經驗，從而引導學生將問題轉化為P點在雙曲線的兩支之間，如何“化曲（折）為直”求|PA|+|PF|的最小值？通過一番思維的自我調控，學生會注意到P是雙曲線上的動點，從而由雙曲線的定義及兩點間線段最短可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|+ 2a≥|AF′|=5+4=9（F′為雙曲線的右焦點）；在解決第2小題時注意拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線的距離d，求|PA|+|PF|的問題可轉化為|PA|+d的問題，運用三點共線可使問題得到解決。通過解題方法、解題時所應考慮到的解題背景等在思路上的聯系，學生對“化曲（折）為直”研究折線段和最小值有了深刻的認識，促進知識與方法的遷移，思維的廣泛性與靈活性也得到培養。

進而給出2009年四川理科高考選擇題：已知直線l1：4x-3y+ 6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）

二、搭建知識縱向聯系的平臺，加深學生對知識本質的理解，培養學生思維的深刻性和嚴謹性

數學知識有嚴密的邏輯性與嚴謹性，在數學教學中，我們經常為了重視雙基的教學，在課堂教學與課后練習中都大篇幅地安排時間與精力促進學生基礎知識和基本方法的掌握、理解與鞏固。這樣培養的學生在知識與方法的淺層次應用與理解上都較熟練，但遇到情景的變化和適當的抽象與綜合后，學生的解題能力往往無所適從。在日常的教學特別是復習教學中搭建知識的縱向、縱深聯系的平臺，對學生加深對數學知識的本質理解與數學素養的提升都大有裨益。

案例4：數列的本質是離散型的函數，在數列的通項的教學中學生可得一定的認知，但對其從思想上的、方法上的本質的認識還有一定的距離。在教學中我們通過搭建從特殊到一般、從具體到抽象，從數到形的研究問題的情境平臺，讓學生向縱深、縱向的理解把握數列知識的本質。

如等差數列教學中給出問題：“等差數列中，α3=9，α9=3，求α12”讓學生求解，在此基礎上引導學生探究：“等差數列中：若αm= n，αn=m則αm+n=0”成立嗎？在研究中讓學生運用函數思想和數形結合的思想來思考，在研究中讓學生理解該問題實質上是研究：過點P（m，n），Q（n，m）兩點的直線是否過點（m+n，0）？作出圖象實質上就是看點與x軸交點A的橫坐標是否為m+n，而我們易知，直線PQ的斜率為-1，在△AQF中，易知：FA=FQ=m，∴xA=m+n。問題得以肯定，從中也讓學生發現：該結論的本質就是三點（m，n）、（n，m）、（m+n，0）共線的問題，在實踐中讓學生深刻理解等差數列的本質就是一次函數，其圖象是一條直線。

再如，等差數列的前n項和Sn=na1+）d=n2+（a1-）n。可知：Sn是關于n的二次式，且無常數項。由此在解決問題“若Sm= S（nm≠n），求Sm+n”時引導學生從二次函數或轉化為一次函數后由相應的函數性質研究解決。解法一：令（fx）=x2+（a1-）x，由Sm=Sn得（fm）=（fn），則x=為此二次函數圖象的對稱軸，因

此，（fm+n）=（f0）=0，即Sm+n=0。解法二：由Sn=d2n2+（a1-）n得=n+a1-，可知：Sn是關于n的一次式，則三點（m，），（n，n），（m+n，）共線，易求得Sm+n=0。

案例5：在空間幾何體中證明線面平行問題是考查證明空間平行問題的知識、方法的一個綜合問題，其本質是證明線線平行問題，但由于學生的空間想象能力不足，在解題中常見學生“橫拿竹竿進城門”，不得其要。在教學中應幫助學生理解線線平行的基礎是線線共面，關鍵在于理解在解題中應在已知的平面中尋找與已知直線能確定一個平面的要素為突破口。

如在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是AB的中點。求證：AC1//平面CDB1。（如圖），解析：由直線AC1與點D確定一平面，考慮過點D找直線AC1的平行線，由點D是AB的中點，聯想到連接BC1與B1C相交于點E，得點E是BC1的中點，從而DE//AC1。

三、搭建思想方法應用提煉的平臺，促進學生數學思想內化，培養學生理性的思維方法

數學思想和方法是數學知識的本質體現，是對數學知識在更高層次的抽象和概括，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數學觀點和文化、數學的精神和態度。運用數學思想解題，可為分析、處理和解決數學問題提供指導方針和解題策略，使得學生將許多零散的知識點建成一個有序的思維網絡，推動學生的思維能力、運算能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力以及數學探究與創新能力的發展。但學習者對數學思想的形成需要經歷一個從模糊到了解到清楚，從有意識應用到自然應用的較長發展過程，需要在反復的體驗和實踐中才能逐漸認識、理解、內化為其內在的數學素養。因而數學教學必須通過對數學知識的教學和適當的解題活動搭建數學思想方法的應用提煉平臺來對學生產生潛移默化的影響。

案例6：函數思想貫穿中學數學教學中，學生應用函數思想解決數學問題的能力不會因為學完函數的知識就能形成，需要在教學過程中抓住知識與思想方法的關聯處，不斷創設完整的函數思想使用、體驗、學習的機會，由淺入深，有啟發、有層次地展示函數思想方法解題的全過程，產生“潤物細無聲”的效果。

例：不等式x2-ax-2≤0對x∈［-1，1］恒成立時求實數a的取值范圍。這是一個含參數的不等式恒成立的問題，如何讓學生理解函數思想的應用，從而培養函數思想的應用意識呢？筆者在教學中先讓學生回顧不等式與函數的關系，然后引導學生想到解此題要把代數式x2-ax-2看作函數，記φ（x）=x2-ax-2，指出這是函數思想起作用。這樣使φ（x）≤0對x∈［-1，1］恒成立，只要φmax（x）≤0就可以了。所以問題轉化為二次函數φ（x）在區間x∈［-1，1］上求最大值問題。而后用一元二次函數圖象與性質來求得最大值則屬于函數知識與方法的應用，屬于技能范疇，不是函數思想的體現。解決本題的關鍵在函數思想的應用不在函數知識的應用，讓學生體驗應用函數思想解題的事實就是有沒有用函數和變量去思考，是一個想得到與想不到的問題，提高學生用函數思想解決問題的意識。

著名數學家克萊因說：“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考”。一個學生僅僅學習了函數的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數思想，才能主動去思考一些問題。

《普通高中數學課程標準》指出，數學教學不能僅限于形式化的表達，要強調對數學本質的理解。這就要求我們在日常教學工作中將教學側重點轉移，“把握數學本質，引發學生數學思考，為學生思維發展而教”是為師之本，教學之道。在教學中我們應努力幫助學生在知識的體系中認識新的事物、新的知識，從發展思維的高度開展數學問題的解題教學，培養學生懂得想、敢于想、善于想，使我們的課堂教學真正起到發展學生思維，提高數學的素養。

許志儒.新課標下的高中數學教學［N］.學知報，2010

·編輯李建軍