基于MPCK的數學概念教學策略

【摘要】概念是數學教學的核心.為了預防某些特定數學概念及應用概念過程中可能出現的偏差乃至錯誤，不妨“特意預設”并“故意生成”錯誤，在辨析中糾正錯誤，在糾正中完善，在完善中精致概念. “有意差錯”不僅是一種早期介入及防范的教學策略，更是一門藝術.

【關鍵詞】概念教學；有意差錯；MPCK

長期以來，人們普遍認為只要擁有豐富的CK（學科內容知識）就是好教師.70年代以前的美國教師資格認證制度的“范式缺失”充分說明僅有CK遠不算優秀教師，教師還必須熟練掌握PK（一般教學法知識）.只有當PK與CK高度融合，教師才能將自己所掌握的學科知識轉化成學生理解的形式的知識，這正是美國學者舒爾曼于1986年提出PCK（學科教學內容知識）理論的原因及最初的界定. PCK是教師獨一無二的知識 ，MPCK（數學教學內容知識）是從PCK泛學科研究中演繹出來且專門論述數學學科教學內容知識，是MK（數學學科知識）與PCK的完美結合，是數學教師從事專業教學所應具備的核心知識，是專家型教師區別普通教師的顯著標志，是魅力課堂與低效課堂的分界線.

1“有意差錯”含義

顧名思義，“有意差錯”就是教師依據自身對概念的理解、把握及教學實踐經驗，預判學生學習某一特定數學概念及應用概念過程中可能出現的偏差乃至錯誤而“特意預設”并“故意生成”錯誤，在辨析中糾正錯誤，在糾正中完善，在完善中精致概念.“有意差錯”是一種早期介入、干預、預防、防范的教學策略，有利于深刻剖析概念本質與特征，有利于厘清概念內涵與外延，有利于優化學生數學思維品質，有利于培養并激發學生創造能力.

概念是數學的細胞，是思維的載體，是創新的起點，是智力的源泉，因而概念教學是數學教學核心.學者童莉指出MPCK理論就是要研究學生在特定數學概念學習中會遇到什么困惑？有哪些誤解？教師采取何種教學策略？怎樣處理這些困惑和誤解？ 本文擬通過幾個具體案例來闡述“有意差錯”策略在數學概念教學中的運用.

2“有意差錯”策略

在概念教學中實施“有意差錯”，不僅是一種策略、一種智慧，更是一種勇氣.陳桂生教授在“教育是什么？”一文（《教師月刊》2009年第3期）中指出：“關于有意識地給出一個帶有錯誤的命題，讓學生把老師駁倒.徐特立在許多年前就提出過類似的設想，只是從來未聞有誰做過這種嘗試.”事實上，著名特級教師任勇先生早在1992年就積極倡導并勇于踐行“有意差錯”概念教學策略，收到很好的效果（詳見文[1]）.由此推斷，任勇先生應該是實施第一人.新課改強調教師在數學概念教學時創設恰當的引入情境，展示完整的形成進程，凸顯嚴謹的提煉經歷，彰顯隱含的數學思想，體現涉及的數學方法，強化概念的應用意識，演繹精彩的應用案例，全面實現知識與技能、過程與方法及情感態度、價值觀三維目標.

2.1有意差錯——創設情境、引入概念

2013年3月18日，筆者為福建省中學數學學科帶頭人（培養對象）所開設的一堂示范課“數系的擴充及復數的引入（第一課時）”，頗受專家及學員們好評.以下是這節課的開始片段.請同學們思考并回答：

案例1已知x+1x=1，求x2+1x2的值.

生1：對已知條件兩邊平方，由初中完全平方公式得到：

x+1x=1x+1x2=12x2+1x2=-1.

師：生1運算熟練，很快得到結果，這個答案正確嗎？我們知道大前提、小前提以及推理形式正確，那么演繹推理得到結果就一定正確.此處大前提：任何正數之和必為正數；小前提：x2與1x2均為正數；結論：x2+1x2的值為正數.哪為何生1的結果是一個負數呢？

生2：x+1x=1x2-x+1=0Δ<0.

生3：x2-x+1=x-122+34≥34.

師：既然生2與生3從不同視角得出方程無解，哪生1怎么得到結果呢？這是為什么？

筆者在備課時，原本預計此時正式引出本節課的研究課題“數系的擴充”再順勢“復數的引入”.可正在此時，一位平時較內向的學生很激動地站起來說道：“老師，我發現這是一個錯題！”此時所有的眼光全部投向這位同學，筆者趕緊示意上臺演板：

生4：由剛剛所學的均值不等式可得：

x+1x=x+1x≥2x+1x≥2，或x+1x≤-2.

也就是說無論如何得不到已知條件，這就說明已知條件是錯誤的，即前提有問題，當然題目是“錯誤”的.學生頓時由疑惑到驚喜，對生4報以熱烈的掌聲，學生們臉上露出興奮的笑容，似乎在說：“哦，原來老師提供的題目本身就是錯誤的.”

評注“特意”預設案例1就是為了與學生認知基礎產生沖突，在一次又一次激烈碰撞中，學生由疑問變成好奇、好奇變為驚喜、驚喜再變成困惑，一步一步激發學生求知欲.時機成熟，水到渠成，巧妙地引入新課.通過四位學生的回答順其自然地解釋了：為何需要再一次擴充數系？為何要引入復數？引入復數的目的何在？由于是省級示范課，因此這節課預先進行多次集體研討.盡管歷經多次打磨，可被生4這么“折騰”“攪和”，感覺與原來預設的教學進程有較大偏離，更擔心時間不夠而完成不了教學任務.但事已至此，管不了那么多，趁熱打鐵，乘勝追擊.正如葉瀾教授感嘆：“課堂應是向未知方向推進的旅程，隨時都有可能發生意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定程序而沒有激情的行程.”

2.2有意差錯——嚴密論證、厘清概念

盡管講授二項分布與超幾何分布概念時，教師千叮萬囑它們之間的區別，但涉及到具體問題時，學生往往混為一談.教師心急如焚，學生憂心忡忡，依然重復“昨天的故事”.

由于教科書只是直接給出二項分布期望公式，沒有任何推理過程；而超幾何分布，教科書更是連期望公式都沒有，因此筆者特意設置兩個相似的具體問題（限于篇幅，略去），結果絕大部分學生依然拿不準到底是按照二項分布還是超幾何分布去計算期望.奇怪的是所有學生結果都是相同的，這是為什么呢？筆者抓住這一普遍性錯誤，好好利用這一難得的機會，嚴密證明了為何它們的期望結果都是相同的.

案例2論證二項分布與超幾何分布的數學期望相同

（1）在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生次數，設每次試驗A發生概率為p，則P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），則稱隨機變量X服從二項分布，列表：

評注黑格爾有言：“錯誤本身乃是達到真理的一個必然環節.”錯誤是正確的先導，錯誤是通向成功的階梯.教師應該把學生的錯誤視作珍貴資源，這與文[2]提出概念教學基本策略：“通過正反案例辨析概念”一脈相承.事實證明：通過列出上述表格，借助不同組合公式計算且經過嚴密論證，涉及二項分布與超幾何分布期望方面的錯誤大面積減少.案例2有力地說明了“有意差錯”能夠充分暴露學生的思維過程，同時錯誤也是概念教學中重要的教學資源，預設并在課堂教學中及時發現、暴露學生出現的典型錯誤，引發學生思考，引導學生反思，讓學生的思維在錯誤中“撥亂反正”，厘清概念，走出誤區，生成新思維.

2.3有意差錯——深度剖析、鞏固概念

中學數學中有這樣一類概念：表面看似簡單，但在應用中會出現各種錯誤.對有些錯誤，不要說學生，就是教師及專家一時也很難發現其中“秘密”.其中立體幾何中的“多面體”概念就是如此，為鞏固這一概念，筆者特意設置一道看似簡單且給出三種解法的試題：

上述解法看似都是正確的，可結果截然不同，這是為什么呢？原因何在呢？俗話說得好：“擒賊先擒王.”既然是求空間幾何體體積，那么我們必須從空間多面體概念：“一般地，我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.”入手方能解開謎團. 這一概念就這么短短的一句話，看似極其簡單，但要真正理解，卻是十分不易.

我們順著解法1思路，即按棱臺處理.要利用棱臺來計算體積，首先EFC1—DBC必須是多面體，那這個幾何體是多面體嗎？顯然，由圖1可知△EFC1、△DBC、四邊形DCC1E、四邊形BCC1F都是平面圖形，但BDEF根本就不是平面四邊形，為什么？我們從反證法視角來看：若BDEF是平面四邊形，由于平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，依據面面平行性質定理可得EF與BD平行，又BD與B1D1平行，則EF與B1D1平行，這是不可能的.因為C1E=4，C1F=3，因此四邊形BDEF不是平面四邊形，當然EFC1—DBC不可能是多面體.既然不是多面體，那更不可能是棱臺，故解法1按棱臺處理是錯誤的.

事實上，棱臺可以視為用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間部分叫做棱臺.既然棱臺“祖宗”是棱錐，那么棱臺就可以還原為棱錐，即棱臺的各條側棱延長后必然相交于一點.我們從逆否命題視角來看：若側棱延長不是相交于一點，那么就不是棱臺.為此我們假設DE與BF延長線相交點P，則P點必然在直線CC1上，利用相似性質可得

PC1PC=FC1BC=36，PC1PC=EC1DC=4636=46.

出現矛盾！故幾何體EFC1-DBC不可能是棱臺，再一次說明解法1是錯誤的.

初看似乎解法2與解法3本質是一致，其實不然！因為通過圖3可以發現所求幾何體EFC1—DBC是凹多面體，而解法2本質上默認了所求EFC1—DBC是凸多面體，因此解法2是錯誤的.這一凸一凹正好相差6，這就是為何解法2比解法3的答案多6的原因所在.

評注由于教科書上呈現多面體一般都是凸多面體，因此學生（甚至部分教師）誤以為多面體都是凸多面體，因此教師在教學中應該明確指出并非所有幾何體都是凸多面體，并適當舉一些凹多面體的案例讓學生辨析，預防這些錯誤發生.正如文[3]所言，深度剖析就是“照鏡子”，即教師深刻反思概念教學失誤之處，誠懇看作檢查自己教學效果的一面鏡子，提高自身業務水平；深度剖析也是“治病根”，即順著思路，追根溯源，深究錯誤起因、深挖錯誤根源，真正鞏固概念.

2.4有意差錯——凸顯思想、應用概念

文[4]在主編寄語中明確指出“數學是有用的”，特別強調數學源于生活，數學服務于生活，培養學生用數學的眼光和數學的頭腦來數學地觀察身邊的現象并用數學的思維、數學的知識來解決實際問題，這正是新一輪課改的精髓所在，這正是數學價值和育人功能的突出體現，更是數學教育的出發點和歸宿點.

案例4 最近流傳一條有趣的微信：鈍角統統等于直角！微信中是這樣證明的：在矩形ABCD（DC

由中垂線性質及已知條件易得：

HB=HEHA=HDAB=DE△HAB≌△HDE∠HAB=∠HDE∠BAD=∠EDA.

由于ABCD是矩形，因此∠BAD必為直角.因E在矩形ABCD外面，因此∠EDA必為鈍角，因點E的任意性，故得到結論：鈍角統統等于直角.

“鈍角統統等于直角”，這是小學生都覺得荒謬的結論！但上述推理看似嚴謹，這到底是怎么回事？問題出在哪兒呢？

上述論證過程的依據是按照圖4來實施的，那圖4是如何得到的呢？其實點E的軌跡就是以D為圓心，以DC長為半徑的圓周在矩形的外面的部分曲線上運動，如圖5所示.利用幾何畫板立即發現“秘密”：即不可能出現圖4，只能是圖5.數學是嚴謹的，因此必須加以嚴格證明.以AD所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，建立圖6所示直角坐標系，設DC=b，AD=2a（a>0，b>0），則圓D方程為：x2+y2=b2；B（-2a，b），C（0，b）；再設E（m，n）（m>0，n

這就足以說明：當E在圓D所在第一象限運動時，直線HE永遠在直線HD下方，故不可能出現上述圖4，也就是說我們從理論上推翻了上述微信中給出的看似“嚴謹”的論證.

評注有趣的是，當我們繼續用幾何畫板演示，有更多發現：當點E從圖5所示的位置開始按逆時針旋轉時，上述兩條中垂線交點H在下方而且越來越遠，如圖7所示；當點E無限接近點C時，此時交點H在下方的無窮遠處.繼續逆時針旋轉，當點E開始進入矩形內部時，此時交點H“突變”到上方無窮遠處，并且隨著旋轉，交點H的位置慢慢下降，如圖8所示. 繼續逆時針旋轉，當點E逐步靠近邊AD時，交點H進入矩形內部，并且呈逐步下降趨勢，如圖9所示.當繼續旋轉，且點E離開矩形內部時，交點H再一次“突變”到下方，開始新一輪的周期變化.充分印證量變到質變、偶然與必然、運動與靜止的辯證唯物主義哲學原理，有效滲透數形結合、或然與必然、轉化與化歸、方程與函數、分類與討論、有限與無限等七大數學思想，欣賞到數學的對稱美、奇異美、周期美與和諧美.其實這樣的案例在教科書上多次出現，比如文[4]第90頁“探究與發現”欄目中 “魔術師的地毯”問題與案例4異曲同工，都是為了強化直線斜率（傾斜角）這一概念的應用，這就是為何教科書主編將“魔術師的地毯”安排在文[4]的直線方程后面的原因所在，也再一次說明數學概念的學習與研究，不僅要關注其定義，還要關注教科書后面的例題、習題，更要關注教科書中的“探究與發現”、“閱讀與思考”等欄目中的問題，這正是培養學生數學概念應用意識的最佳素材.正如文[5]所指出，數學概念的學習不是一節課，也不是一天，對于有些核心概念（如函數、三角函數、定積分等）的研究將是一個長期跟蹤過程，需要全方位關注概念的形成過程.

3慎用“有意差錯”

哲學家波普爾說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素.”在對數學概念進行正面闡述時，還要注重“有意差錯”來深度剖析概念，適當、有意識地 “預設”經典錯誤案例，加深對概念的理解與把握，培養思維批判性、縝密性及深刻性.“有意差錯”是一門學問，更是一門藝術.事實證明準確、恰當、適時的“有意差錯”，有利于導入概念，有利于厘清概念，有利于鞏固概念，有利于應用概念.正如心理學家蓋耶感嘆：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”但必須指出：“有意差錯”只是概念教學的一種策略而已，是一種必要補充，畢竟弘揚“正能量”才是概念教學的主流，因此數量過多、頻率過濫的“有意差錯”反而沖淡概念本質，失去概念本來面目，甚至誤導學生.

參考文獻

[1]任勇.任勇的中學數學教學主張[M].北京：中國輕工業出版社，2012.

[2]邵光華，章建躍.數學概念分類、特征以及教學探究[J] .課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[3]王淼生.概念教學不妨嘗試“事后補救”[J].中小學數學（高中版），2015（12）：40-43.

[4]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書.數學（A版，必修2）[M].北京：人民教育出版社，2011（第1次印刷）.

[5]章建躍，陶維林.概念教學必須體現概念形成過程[J].數學通報，2010（1）：25-29；33.