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淺析“向量法”在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用

2016-11-12 15:07:22吳宗燁
文理導(dǎo)航 2016年30期
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)應(yīng)用

吳宗燁

【摘 要】“向量法”是高中數(shù)學(xué)中解決立體幾何的一種常用的方法,它可以解決其中許多復(fù)雜的題目。因?yàn)榱Ⅲw幾何和解析幾何不同,光有理解能力是不夠的,它要求學(xué)生具有良好的空間想象和邏輯推理能力,因此對我們很多同學(xué)來說,立體幾何是比較復(fù)雜的。“向量法”的引入為學(xué)生解決立體幾何中的題目提供了一種新的方法,利用“向量法”中數(shù)形結(jié)合的思維模式可以將空間或平面的線線、線面、面面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題,從而解決同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中空間想象和邏輯推理能力不足的缺點(diǎn),為更好的學(xué)習(xí)提供新的方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);立體幾何;向量法;應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中的立體幾何是一種多種知識(shí)點(diǎn)結(jié)合,考察同學(xué)們空間想象和邏輯推理能力的典型性題目,這就要求同學(xué)們具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和較強(qiáng)的解決數(shù)學(xué)問題的能力。近幾年來,老師在對高考試卷的分析中發(fā)現(xiàn),立體幾何的題目在數(shù)學(xué)考試中出現(xiàn)頻率越來越高,難度也越來越大。“向量法”的引入,為眾多空間想象和邏輯推理能力不足的同學(xué)解決了這一難點(diǎn),因?yàn)椤跋蛄糠ā奔嬗袔缀魏痛鷶?shù)的雙重身份,它的數(shù)形結(jié)合的思想把空間或平面的線與線、線與面、面與面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為計(jì)算問題。“向量法”通常用來解決空間位置關(guān)系、空間距離、空間角這些問題。本文就此方法在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行具體的分析。

1.高中數(shù)學(xué)立體幾何引入空間向量的必要性

在高中數(shù)學(xué)里專門設(shè)置了立體幾何這一部分,但是在這一部分中空間角和空間距離這些問題利用一些傳統(tǒng)的方法較難解決。將“向量法”引入后其中數(shù)形結(jié)合的思想就可以把空間或平面中線線、線面、面面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為可計(jì)算問題,避免了添加各種輔助線的難處,使得解題步驟和解題方法較傳統(tǒng)方法都有了很大的簡化,使我們從復(fù)雜的圖形分析中解脫出來。在立體幾何學(xué)習(xí)過程中像“三垂線定理”、“線面垂直的判定定理”都是采用空間向量推導(dǎo)來的,向量不僅可以幫助我們解決立體幾何的問題,它在解析幾何、不等式、代數(shù)式、復(fù)數(shù)及三角函數(shù)等方面也有著廣泛的應(yīng)用,對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有著重要的指導(dǎo)意義。因此,向量成為我們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)一個(gè)強(qiáng)有力的解題工具。

2.“向量法”解決立體幾何題目的一般步驟

第一,用向量將立體幾何題目中涉及的點(diǎn)、線、面表示出來,建立起立體圖形,與空間向量的聯(lián)系;

第二,通過向量的運(yùn)算,研究立體幾何中的點(diǎn)、線、面,將立體幾何中的“形”轉(zhuǎn)換成“數(shù)”;

第三,將第二步中向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,將幾何關(guān)系中的“數(shù)”轉(zhuǎn)換成“形”。

3.“向量法”在立體幾何中的具體應(yīng)用

3.1用“向量法”證明立體幾何中有關(guān)平行的問題

(1)證明兩直線平行的方法思路:在兩直線上分別取不同的兩點(diǎn),得到兩個(gè)向量,轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行;(2)證明線面平行的方法思路:求面的法向量,在直線上找到兩個(gè)不同的點(diǎn)得一向量,證明這個(gè)向量與法向量垂直(證明數(shù)量積為0),則證明線面平行;(3)證明面面平行的方法思路:求出兩平面各自的法向量,轉(zhuǎn)化為證明兩法向量平行,則兩平面平行。

3.2用“向量法”證明立體幾何中有關(guān)垂直的問題

(1)證明兩直線垂直的方法思路:以不共面的三向量為基底,然后用基底表示欲證的兩直線的方向向量,驗(yàn)證這兩個(gè)方向向量的數(shù)量積為0;(2)證明線面垂直的方法思路:求面的法向量,在直線上找出不同兩點(diǎn)得一向量,證明該向量與法向量平行,則可得線面垂直;(3)證明面面垂直的方法思路:分別求出兩面的法向量,證明兩面的法向量垂直,則可得面面垂直。

3.3用“向量法”解立體幾何中的空間距離問題

3.4用“向量法”解立體幾何中的空間角問題

(1)求兩線間夾角的方法思路:以不共面的三向量為基底,然后用基底表示欲求的兩直線的方向向量,求出兩直線方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角;(2)求線面夾角的方法思路:先求出線的方向向量與面的法向量的夾角,如果是銳角即可,如果是鈍角,就取他的補(bǔ)角;?再求他的余角,則可得線面的夾角;(3)求面面夾角(二面角)的方法思路:①法向量法:若兩面的法向量一進(jìn)一出,則二面角等于兩法向量的夾角;法向量同進(jìn)同出,則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角;②方向向量法:將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量(在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱)的夾角。

4.結(jié)語

綜上所述,向量在高中數(shù)學(xué)里占有極其重要的地位,它內(nèi)容簡潔、精練,是抽象思維與形象思維的巧妙結(jié)合。在立體幾何中對平行問題、垂直問題、空間距離問題、空間角問題的解決具有很大的優(yōu)勢,彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足,它的高效性,模式化和可操作性大大地提高了我們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,增強(qiáng)了同學(xué)們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【參考文獻(xiàn)】

[1]董志茹.向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué),2013

[2]吳光峰.法向量在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016-03-05

[3]趙瑩婷.空間向量對高中立體幾何教學(xué)中能力培養(yǎng)影響的研究[D].華東師范大學(xué),2009

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