淺析“向量法”在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用

吳宗燁

【摘 要】“向量法”是高中數(shù)學(xué)中解決立體幾何的一種常用的方法，它可以解決其中許多復(fù)雜的題目。因?yàn)榱Ⅲw幾何和解析幾何不同，光有理解能力是不夠的，它要求學(xué)生具有良好的空間想象和邏輯推理能力，因此對我們很多同學(xué)來說，立體幾何是比較復(fù)雜的。“向量法”的引入為學(xué)生解決立體幾何中的題目提供了一種新的方法，利用“向量法”中數(shù)形結(jié)合的思維模式可以將空間或平面的線線、線面、面面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題，從而解決同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中空間想象和邏輯推理能力不足的缺點(diǎn)，為更好的學(xué)習(xí)提供新的方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；立體幾何；向量法；應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中的立體幾何是一種多種知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，考察同學(xué)們空間想象和邏輯推理能力的典型性題目，這就要求同學(xué)們具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和較強(qiáng)的解決數(shù)學(xué)問題的能力。近幾年來，老師在對高考試卷的分析中發(fā)現(xiàn)，立體幾何的題目在數(shù)學(xué)考試中出現(xiàn)頻率越來越高，難度也越來越大。“向量法”的引入，為眾多空間想象和邏輯推理能力不足的同學(xué)解決了這一難點(diǎn)，因?yàn)椤跋蛄糠ā奔嬗袔缀魏痛鷶?shù)的雙重身份，它的數(shù)形結(jié)合的思想把空間或平面的線與線、線與面、面與面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為計(jì)算問題。“向量法”通常用來解決空間位置關(guān)系、空間距離、空間角這些問題。本文就此方法在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行具體的分析。

1.高中數(shù)學(xué)立體幾何引入空間向量的必要性

在高中數(shù)學(xué)里專門設(shè)置了立體幾何這一部分，但是在這一部分中空間角和空間距離這些問題利用一些傳統(tǒng)的方法較難解決。將“向量法”引入后其中數(shù)形結(jié)合的思想就可以把空間或平面中線線、線面、面面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為可計(jì)算問題，避免了添加各種輔助線的難處，使得解題步驟和解題方法較傳統(tǒng)方法都有了很大的簡化，使我們從復(fù)雜的圖形分析中解脫出來。在立體幾何學(xué)習(xí)過程中像“三垂線定理”、“線面垂直的判定定理”都是采用空間向量推導(dǎo)來的，向量不僅可以幫助我們解決立體幾何的問題，它在解析幾何、不等式、代數(shù)式、復(fù)數(shù)及三角函數(shù)等方面也有著廣泛的應(yīng)用，對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有著重要的指導(dǎo)意義。因此，向量成為我們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)一個(gè)強(qiáng)有力的解題工具。

2.“向量法”解決立體幾何題目的一般步驟

第一，用向量將立體幾何題目中涉及的點(diǎn)、線、面表示出來，建立起立體圖形，與空間向量的聯(lián)系；

第二，通過向量的運(yùn)算，研究立體幾何中的點(diǎn)、線、面，將立體幾何中的“形”轉(zhuǎn)換成“數(shù)”；

第三，將第二步中向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，將幾何關(guān)系中的“數(shù)”轉(zhuǎn)換成“形”。

3.“向量法”在立體幾何中的具體應(yīng)用

3.1用“向量法”證明立體幾何中有關(guān)平行的問題

（1）證明兩直線平行的方法思路：在兩直線上分別取不同的兩點(diǎn)，得到兩個(gè)向量，轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行；（2）證明線面平行的方法思路：求面的法向量，在直線上找到兩個(gè)不同的點(diǎn)得一向量，證明這個(gè)向量與法向量垂直（證明數(shù)量積為0），則證明線面平行；（3）證明面面平行的方法思路：求出兩平面各自的法向量，轉(zhuǎn)化為證明兩法向量平行，則兩平面平行。

3.2用“向量法”證明立體幾何中有關(guān)垂直的問題

（1）證明兩直線垂直的方法思路：以不共面的三向量為基底，然后用基底表示欲證的兩直線的方向向量，驗(yàn)證這兩個(gè)方向向量的數(shù)量積為0；（2）證明線面垂直的方法思路：求面的法向量，在直線上找出不同兩點(diǎn)得一向量，證明該向量與法向量平行，則可得線面垂直；（3）證明面面垂直的方法思路：分別求出兩面的法向量，證明兩面的法向量垂直，則可得面面垂直。

3.3用“向量法”解立體幾何中的空間距離問題

3.4用“向量法”解立體幾何中的空間角問題

（1）求兩線間夾角的方法思路：以不共面的三向量為基底，然后用基底表示欲求的兩直線的方向向量，求出兩直線方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角；（2）求線面夾角的方法思路：先求出線的方向向量與面的法向量的夾角，如果是銳角即可，如果是鈍角，就取他的補(bǔ)角；？再求他的余角，則可得線面的夾角；（3）求面面夾角（二面角）的方法思路：①法向量法：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角；②方向向量法：將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。

4.結(jié)語

綜上所述，向量在高中數(shù)學(xué)里占有極其重要的地位，它內(nèi)容簡潔、精練，是抽象思維與形象思維的巧妙結(jié)合。在立體幾何中對平行問題、垂直問題、空間距離問題、空間角問題的解決具有很大的優(yōu)勢，彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足，它的高效性，模式化和可操作性大大地提高了我們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)了同學(xué)們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

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