壽險產品保費對利率的敏感性分析

【摘要】當今人們的生活水平得到提高，對壽險產品的需求也相應的上升，壽險產品的價格變化情況成為居民生活關注的焦點。壽險產品價格受利率因素影響很大，本文主要使用彈性系數刻畫利率敏感性，基于線性回歸方程，分析了彈性系數隨利率變化的數量關系，利用Matlab軟件，得出相應的結果。

【關鍵詞】利率 敏感性 彈性系數 線性回歸方程

一、引言

在精算實務中，個人壽險的保費一般包括凈保費和附加保費兩部分。附加保費反映公司的經營成本和利潤水平，通常與被保險的生命風險無關，在短期內較穩定。凈保費是保險公司用于未來賠付的成本，與被保險人的生命風險完全對應。影響凈保費的因素包括被保險人未來的生存分布特征，利率，保險期限，保費給付方式等。被保險人的生存分布主要根據保險公司制定的生命表與分數年齡上的數學假設來確定。在短期內不會發生明顯變化。保險期限和保費給付方式因個人實際需要而不同。保險公司一般將具有相同需求的被保險人歸為同一個群體來確定他們的保費。利率是資金的價格，是中央銀行調整金融市場的主要工具之一。其未來的波動具有隨機性，根本無法進行準確預測。在這些因素中，利率是保險公司罪不可控的因素，對保險公司的經營決策會產生重要影響，例如保險公司對責任準備金的提取。所以分析利率對壽險產品價格或保費的影響具有重要意義。本文主要討論保費對利率的敏感性。一般而言，敏感性越弱，保費受未來利率波動的影響就越小，進而由利率波動產生的風險也就越小。

二、保費對利率的敏感性

刻畫敏感性的問題我們一般使用彈性系數來研究，彈性系數是一定時期內相互聯系的兩個指標增長速度的比率，它是衡量一個變量的增長幅度對另一個經濟變量增長幅度的依存關系。本文也主要使用彈性系數來研究他的敏感性，為了分析彈性系數隨利率變動的數量關系，本文主要通過建立一元線性回歸模型和一元非線性回歸模型來描述這種關系。

（一）一元線性回歸模型基礎理論

1.模型概述。假設變量y和變量x服從如線性關系

（x，y）y=α+βx+ε

現存在（x，y）的n個值（xi，y？藿），i=1，2，…，n，滿足

yi=α+βxi+εi

假設εi相互獨立且滿足

εi～N（0，σ2）i=1，2，…，n。

則稱變量y和變量x服從一元線性回顧模型。

2.模型參數估計。參數估計的方法主要包括矩估計，最大似然估計，最小二乘估計。本文采用最小二乘估計。最小二乘法是尋找未知參數（α，β）的估計量

3.回歸方程顯著性檢驗。

記。則根據數理統計相關知識可知：

（1）。

（2）在β=0條件下，

（3）Sε與SR相互獨立。

4.構造F統計量。

對給定的置信度α，當F>Fα（1，n-2）時，拒絕原假設H0，即β≠0，此時方程是顯著的。

為了描述回歸方程對原始數據的擬合程度，一般用可決系數R2進行討論。R2的定義為

當R2接近于1時，表明擬合程度較好。

此外，方差的估計量為

（二）利率敏感性的回歸模型

1.線性模型。由以前學者研究可知，彈性系數隨利率的變化呈現線性趨勢，利用從中國保險網站上獲得的數據，對延期20年的終身生存年金做一元線性回歸。

模型計算結果如由MATLAB程序得：

α=0.0487，β=34.1066，α的置信區間為（0.0233，0.0741），β的置信區間為（33.7515，34.4516）。可決系數R2=1，這表明擬合較好。

F=48506>F0.05（1，10）=4.96，ρ=0<0.05。所以拒絕原假設，β顯著不為0。2=0。

故回歸方程為

EP=0.0487+34.1066i

回歸結果如圖1所示。

殘差結果如圖2所示。

從圖2可以看出，每個數據的殘差離零點都較近，且殘差的置信區間幾乎都包含零點。這也說明回歸方程EP=0.0487+34.1066i可以較好地擬合數據。

2.非線性模型。40年期生存彈性系數的變化并沒有表現出很好的線性趨勢。但是比較接近對數函數的圖形變化趨勢。對查詢到的數據進行對數變換后結果如下圖所示。

Ln（EP）的變化趨勢如圖3所示。

變化后的數據呈現出比較明顯的線性變化趨勢。故可以對變換后的數據進行線性回歸。回歸方程為

ln（EP）=α+βln（i）

模型計算結果由matlab程序得：

α=1.9630，β=0.7903，α的置信區間為（1.7052，2.2207），β的置信區間為（0.7145，0.8729）。可決系數R2=0.9877，這表明擬合較好。

F=561.4609>F0.05（1，10）=4.96，ρ=0<0.05。所以拒絕原假設，β顯著不為0。2=0.0046。

故回歸方程為

ln（EP）=1.9630+0.7937ln（i）

回歸效果圖如圖4所示。

殘差結果如圖15所示。

從圖5可以看出，每個數據的殘差離零點都較近，除第一個數據外，殘差的置信區間幾乎都包含零點。這也說明回歸方程EP= 0.0487+34.1066i可以較好地擬合數據。

但是從圖4中可以返現，原始數據中的EP增長的速度越來越小，最后幾乎沒有明顯變化。所以回歸方程只能用于利率在0.01～0.08之間的EP近似預測。

三、結論

本文主要研究了壽險產品的保費對利率的敏感性問題。本文是在已知壽險精算的概率知識，壽險和生存年金的精算現值，保費計算理論，利率敏感性（彈性系數）的基礎上，定量分析了敏感性問題。通過研究主要發現以下結論：

對凈保費來說，隨著利率的升高，保費都是下降的。但是不同的險種保費的下降速度不同。保險期限越長，下降速度越快。短期壽險的保費和利率之間有較明顯的線性關系。長期壽險和利率之間有較明顯的指數關系。

保費對利率的敏感性隨著利率的升高而不斷變大。從不同的壽險產品來看，變化的速度也隨著保險期的變長而減小。延期終身生存年金的敏感性與利率有特別明顯的線性關系。短期和中期壽險的敏感性當利率達到一定大小后變化較小。終身壽險的敏感性當利率大于10%后幾乎呈現下降趨勢。短期和中期壽險的彈性系數在討論的利率范圍內均小于1，說明利率敏感性較弱，終身壽險和延期終身生存年金的彈性系數開始小于1，之后大于1，說明敏感性由不顯著變得顯著。

作者簡介：苑嶺（1991-），女，漢族，山東省德州人，畢業于山東科技大學，研究方向：保險精算。