合理分解適當鋪墊各個擊破——用分解法破解壓軸題

☉江南大學附屬實驗中學龐彥福

☉江蘇蘇州工業園區星灣學校李景芝

☉寧夏靈武市第五中學陳紅霞

合理分解適當鋪墊各個擊破——用分解法破解壓軸題

☉江南大學附屬實驗中學龐彥福

☉江蘇蘇州工業園區星灣學校李景芝

☉寧夏靈武市第五中學陳紅霞

一次聽初三復習課，教學內容是如何解決綜合類問題.課堂上授課教師呈現了學校中考模擬試卷中的壓軸題.題目如下所示.

圖1

（1）求b、c的值.

（2）平行于y軸的直線x=2交直線AB于點D，交拋物線于點E.

①點P從原點O出發，沿x軸的正方向以1個單位/秒的速度運動，設運動時間為t，過點P作x軸的垂線與直線AB交于點F，與拋物線交于點G，當t為何值時，FG∶DE=1∶2？

②將拋物線向上平移m（m＞0）個單位后與y軸相交于點B′，與直線x=2相交于點E′，當E′O平分∠B′E′D時，求m的值.

作為初中數學綜合題目，本題具有一定代表性.但是，本節課針對該題體現出來的解題教學是不成功的.主要體現在：其一，除較為簡單的第（1）問學生能夠自主解決外，對第（2）問的兩個問題“求t”及“求m的值”學生基本上無法自主完成；其二，當學生在第（2）問的第一個問題求滿足條件的“t的值”受阻時，執教教師出現急躁情緒，往下的分析思路與解題過程基本上是老師替代了學生，已經沒有了學生思維上的真正參與；其三，課后學生做當天匹配作業時，除較為簡單的第（1）問外，第（2）問、第（3）問基本上沒有寫.

經了解學生得知，題目第（2）問的第一個問題中不會求FG，教師講的也沒有聽明白，自己班又不是好班（在學生心目中，“好班”是指同一個年級中經過篩選，成績好的學生所在班級），看到難的題目就不想寫了.筆者任課的班級也是年級中基礎相對薄弱的班級，針對成績不夠好的學生，該怎樣進行綜合類題目的教學呢？筆者在教學中采取的方法是將綜合題進行分解，并根據學生的實際情況作適當的鋪墊，以達到各個擊破的策略.

一、在思維跨越處作鋪墊

中考復習階段，快初中畢業的學生回答問題的積極性與主動性較以前有明顯的“弱化”，但是復習的對象是學生，復習的目的是促進學生的進一步理解，如果缺少了學生思維的參與，復習課的效果會大打折扣.基于此，筆者將上述問題分解后在自己的班級里嘗試，學生絕大多數能參與其中，效果是顯然的.

當問題呈現出來之后，教師先讓學生思考怎樣解答，當絕大多數學生表示沒問題時，教師讓一位平時表達還算清晰的學生A說出自己的解題思路.接著呈現問題2.

問題2：如圖3，平行于y軸的直線x=2交直線AB于點D，交拋物線于點E.求DE的長.

圖2

圖3

教師觀察到平時肯思考的學生在問題1的基礎上寫出拋物線的解析式y=-x2+x+2，再根據直線y=-x+2和直線x=2很快得出了點D、E的縱坐標yD=1，yE=5，于是有了DE=4.同時，教師還注意到幾個后知后覺者盡管寫出了拋物線和直線的解析式y=-x2+x+2和y=-x+2，但沒有求出DE長的結果.教師又讓一位表達較為清楚的學生B說出自己的解題思路.

學生B：就像求y軸上兩點的距離一樣，用上邊點的縱坐標減下邊點的縱坐標，因此要先根據D、E的橫坐標都是2，分別代入拋物線y=-x2+x+2和直線y=-x+2中求出D、E的縱坐標，然后相減即得出DE的長.

評注：基礎較為薄弱的學生解決綜合類題目，除了知識儲備與提取運用方面的因素，還有心理方面的障礙，譬如：怕不會、怕做錯、不肯思考等.因此，教學中教師要研究學生，當學生夠不到時該鋪墊的要善于鋪墊，當學生往上走時需要臺階的要巧設臺階.對于問題1，之所以在絕大多數學生都會的情況下仍讓表達還算清晰的學生A說解題思路，目的是把應知應會的知識落實到位，使極個別會做但思路不夠清晰的學生能夠徹底明白.問題2對基礎薄弱的學生來說是思維的一個跨越，他們往往只能解決基本的、簡單的問題，也會求同一條坐標軸上兩點的距離或利用勾股定理求不在同一條坐標軸上的兩點的距離，但對于平行于坐標軸的直線上的兩點構成的線段長往往不知道怎么下手或基本就想不到.有了學生B的提醒，這部分學生則會如醍醐灌頂、恍然大悟.這樣設計，對后知后覺者來說既是思維跨越的鋪墊，更為問題的進一步展開作足了準備.教學中，先知先覺者引領后知后覺者共同促進與成長是教學的一種策略.

二、在困惑處展開對話

從問題1到問題2，既有思維的跨越，也是知識運用的自然成長.有了數的坐標運算求線段長度的鋪墊，再進一步拓展就有了基礎和支撐，問題3的出現就不會使學生感到特別意外和茫然.

問題3：點P從原點O出發，沿x軸的正方向以1個單位/秒的速度運動，設運動時間為t，過點P作x軸的垂線與直線AB交于點F，與拋物線交于點G，如圖4.

①求FG的長（用t表示）.

②當t為何值時，FG∶DE=1∶2？

問題3的①求FG的長，不少學生會將問題2的方法進行遷移，用問題2的解法來思考求FG的長.下面是教師引導學生思考的一段對話.

師：根據問題2的方法，要求FG的長需要知道什么？

眾生：點F、G的縱坐標.

師：能求點F、G的縱坐標嗎？

生1：從題目條件知道FG⊥x軸，P從原點O出發，速度是1個單位/秒，運動時間為t，可知點F、G的橫坐標都是t，分別代入拋物線y=-x2+x+2和直線y=-x+2求出F、G的縱坐標，然后相減即可得FG的長.

圖4

師：F、G的縱坐標是具體的數嗎？

生2：不是，所以題目要求用t表示.

教師看到同學們點頭表示認同，就趁熱打鐵追問②.

生3：列個算式就能求出t的值了.

師：請同學們抓緊時間求出來吧！

不一會兒，絕大部分學生舉手示意已經做好了.（教師同時觀察學生的解答）

生5：還有一個答案.

師：還有一個答案（表示驚訝）？請上來結合著圖說說你的想法.

師：兩個一元二次方程應該得出四個值呀（追問中仍有驚訝）？

生5：t2-4t-2=0有一個解t=2-是負數，應舍去.

三、巧作鋪墊靜待花開

教師感覺到同學們聽得很專注，表現得很認真，既想往下進行，又擔心學的質量，就換著法子激將他們.老師還準備了一個往上走的問題，本想舍去，但看到同學們的出色表現，老師猶豫了，是舍掉還是繼續往前走呢？教師在得到大多數學生想往前走的愿望時呈現出如下問題，并告訴同學們是選做.

問題4：將拋物線向上平移m（m＞0）個單位后與y軸相交于點B′，與直線x=2相交于點E′，當E′O平分∠B′E′D時，求m的值.

不一會兒，有好幾位學生舉手.

生6：問題4也不算難，畫出草圖，解直角三角形就可以了，m是不是-2？

師：選做的都有那么多的同學做好了.

生7（比較聰明但不夠踏實）：我還以為多難呢！畫出平移的拋物線后，如圖5，過E′作E′H⊥y軸于H，則E′H=2，根據E′O平分∠B′E′D和E′D∥y軸，易得到OB′=B′E′，由題意知B′（0，2+m），點E′（2，5+m），所以B′E′=OB′=2+ m，B′H=5+m-（2+m）=3，在Rt△B′HE′中，即可求出m=-2.

圖5

圖6

師：同學們能明白嗎？

大部分學生表示明白了.

師：同學們回顧一下，反思一下，這四個問題哪些是比較難的？哪些是容易出錯的呢？

生8：問題3“用t表示FG的長”用的不熟.

生9：問題4中∠B′E′O=∠OE′D沒有想到，如果想到了，就沒啥難的了.

生10：問題3的②用字母表示FG有兩種情況容易漏掉一種.

師：從幾位同學的反思中，我們看到了幾種共性的問題值得注意.一是字母表示數.字母運算是初一時學的，同學們不能忽略，應對的策略是首先要有用字母表示數的意識，其次運算時要細心.二是幾種情況容易忽略.平時說的分類討論要不重不漏.三是有的同學說某問題“沒想到”或“想不到”，原因在哪兒？學數學就要學思維，學會思考的方法，要牢固掌握所學的知識，學會靈活運用知識解決問題的基本方法.

評注：建構主義的學習理論認為：學生的學習是從自己已有的知識和經驗出發的一種自主建構的過程.教學中無論是新課還是復習，必須要研究學生，當學生思維受阻或解決問題遇到障礙時，作為數學學習的組織者、引導者與合作者的教師要多想一想原因在哪兒，教學要遵循學生學習數學的心理規律，從學生已有的知識和實際情況出發，該鋪墊的要鋪墊，該將問題分解的要合理分解.比如問題4的圖形也可簡化或分解為圖6，進而使學生獲得對數學本質理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步與發展.無論是復習課還是新授課，都不能靠讓學生大量做題來替代理解數學，不能理解的死練往往會導致思維定勢.

以學定教，因材施教.精心設計適合學生學習的教學，針對基礎不夠好的學生要有愛心，有耐心，用真心，做小事.譬如“低起點，小坡度”不失為一種有效的舉措.“低起點”可以是知識起點低，方法起點低，易于讓學生理解和操作，這樣學生容易獲得成功感，提高學習的興趣.“小坡度”就是設計問題短小，提問坡度小，題型變化幅度小，可以通過變式訓練，步步設問，層層遞進，讓學生先“想到”再進而“做到”，以達到拾級而上.“低起點，小坡度”的過程中，要注意課堂反饋要快，錯題糾錯要快，測試評價要快，以滿足學生學習的心理需求；在要求上依然要高，做到規范要求高，思維效率高，不抑制學生的思維，讓學生學會思考，學會學習.

本節課之所以這樣分解與設計，主要是考慮到學生的實際情況，找準學生已有知識的起點，使問題由易到難，呈現出明顯的梯度，讓學生容易上手，這樣新方法的生長就有了基礎，學生的探究與思考就顯得合情合理，水到渠成.再解決組合后的綜合題時才不會產生心理畏懼.解題教學的核心是教學生學解題，關鍵是思路的尋找.中考中的綜合類題目，對于大部分學生來說盡管不一定做完整，但還是能夠嘗試做一做的，不能因為學生暫時還比較薄弱，就忽略對他們的培養.教師要甘為人梯，當他們前行困難時作以鋪墊，當他們想往新的目標時要搭建平臺.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.卜以樓.生長型構架下實數復習課的教學實踐與思考［J］.中學數學（下），2016（3）.

3.龐彥福．我曾這樣對待留守兒童［J］．人民教育，2016（16）．Z