基于整體把握高中數學課程理念的教學設計探究

楊曉翔

摘 要：高中數學課程具有嚴格的邏輯體系.教學過程中任何只注重“課時主義”和“知識點情節”的行為，都將把數學知識碎片化、間斷化和片面化，從而違背數學發生、發展的客觀規律.只有在整體把握高中數學課程的理念下進行教學設計，才可能促進學生構建知識，達成三維目標，實現核心素養的形成.

關鍵詞：數學課程；教學設計；核心素養

高中數學課程自身具有嚴格的邏輯體系.它既不同于以基礎性、綜合性為特征的小學、初中數學課程，也不同于以專業性、應用性為特征的高等數學課程，它是兩者之間過渡的重要環節，兼具兩者部分特征，是整個數學教育體系的核心部分，是學生的數學知識、思想、方法和能力向深度和廣度大幅拓展、提升的關鍵部分.它們是一個整體，教學過程中任何只注重“課時主義”和“知識點情節”的行為，都將把數學知識碎片化、間斷化和片面化，從而違背數學發生、發展的客觀規律，教師在進行教學設計時需要統籌考慮，整體謀劃.正因如此，對于整體把握高中數學課程理念的教學設計實踐研究也備受重視.

一、對整體把握高中數學課程的認識

所謂整體把握高中數學課程，是指在感知過程中要把高中數學課程當作一個整體來對待和處理.具體指教師與學生在教與學的過程中，不僅要關注每個微觀的數學知識點和思想方法的掌握，更要從宏觀角度，把高中數學看成是由各個內在相互聯系的要素構成的有機統一體，科學合理地處理好局部與整體的關系，并注重學生數學能力和情感態度的培養，努力遵循學生終身數學教育、終身發展的理念來認識、建設和處理高中數學課程.

把握高中數學的整體結構，其縱向維度，需要在每一個局部數學知識模塊的教學中，努力體現其在整個高中階段的地位和作用，從歷史的角度，讓學生真實感知其發現或發生、論證或發展、應用等全部過程；其橫向維度，需要上升到課程的高度，把高中數學作為一個整體，讓學生站在整個高中數學課程的高度，理解和認識每一知識模塊，進而對高中數學獲得全方位的認知與感悟.

二、 基于整體把握高中數學課程理念的教學設計課例

以筆者2015年12月在江蘇省青年數學教師優秀課觀摩與評比活動中應邀開設的研討課“導數在研究函數中的應用”（蘇教版）為例，通過簡要介紹教學過程，談談筆者所在課題組在教學設計和實踐中對整體把握高中數學課程理念的探索和體會.

（一） 教材分析

函數的單調性是高中學生研究函數的第一個重要性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，在“必修一”學生已學會運用定義法和圖象法等初等方法研究函數的單調性.本章學生是在掌握基本初等函數的性質和學習導數的概念與運算的基礎上，特別是在了解導數的幾何意義的前提下，學習運用導數法去研究函數的單調性，為進一步研究較為復雜的復合函數的極值、最值，進而畫出函數的草圖，討論“恒成立問題”“存在性問題”“零點問題”等打下基礎，同時，也有利于幫助學生了解函數整體的平均變化率與某點處的瞬時變化率的關系，進一步加深對函數單調性的理解.

利用導數研究函數的單調性，學生的認知困難主要有兩個方面.（1）導數與函數單調性關系的探索發現.高等數學是用極限思想給予嚴格的證明，而高中階段只能利用導數的幾何意義，由特殊函數在同一單調區間內導數值的特征來觀察、分析、歸納和總結規律.如何聯想到運用導數來判斷單調性，以及如何發現這一規律對學生而言是非常困難的.（2）由于導數法是由特殊函數的圖象結合導數值觀察發現的，是否具有一般性，學生還存有疑問，如何進行理論分析、如何處理是一大難點.根據以上的分析和高中數學課程標準的教學要求，確定了本節課的重點和難點.

教學重點：導數在研究函數單調性中的應用；教學難點：導數與函數單調性關系的探究和發現以及理論分析.

（二） 教學過程簡錄

1.復習回顧 引入課題

引例：試確定函數f（x）=x2-4x+3的單調增區間和減區間.

問題：函數單調性是如何定義的？如何判斷函數的單調性？

教師小結：圖象法（依性作圖、以圖識性），定義法（取值、作差、變形、斷號、定論）.

【設計意圖】以實際數學問題為載體，通過解決問題引導學生復習回顧已掌握的證明函數單調性的初等方法.

問題：能利用這些初等方法討論研究所有函數的單調性嗎？大家能否找出一些反例？

學生：不能.例如，含有三次以上冪函數，或含有對數函數，或含有三角函數等的函數.

教師：根據同學們的意見，列舉其中三個函數：

（1）f（x）=2x3-6x2+7； （2）f（x）=x1nx；（3）f（x）=x+2cosx.

【設計意圖】引導學生針對在學習過程中遇到的困難，培養好奇心，探究新方法，導入新課.由學生隨意推薦函數，既可以激發學生學習的興趣，又可以初步感受新的方法研究函數單調性更具有一般性和有效性.

2. 探索歸納 發現結論

問題：運用現代多媒體技術，通過幾何畫板可以試著畫出上述函數的圖象，根據上述函數的圖象，能判斷函數的單調性嗎？

學生：從圖1可以發現，函數（1）可以，而從圖2、圖3不能確定函數（2）（3）的單調性，因為難以確定單調區間之間的“分點”.

【設計意圖】由于還未學習極值點的判斷，那么對于連續函數，學生的困難是難以確定單調區間之間的分界點——極值點的確切位置，這里激起學生的疑問，為后面進一步研究極值點埋下伏筆.通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，還需要尋找其他方法進行嚴密化、精確化的研究和嚴格的代數邏輯推理.

問題：除了初等方法，還有其他更為有效的方法研究這些復合函數的單調性嗎？函數單調性是對函數變化趨勢的一種刻畫，高中數學還有什么知識也可以刻畫函數變化的趨勢？又是如何刻畫的？

學生：導數.函數的導數主要刻畫了函數在每一點處的瞬時變化率，反映了函數上升或下降的陡峭程度.

問題：能利用導數去研究函數的單調性嗎？導數的幾何意義是什么？函數在不同的單調區間內，伴隨著函數圖象上每一點處切線的變化，其導數值具有什么相應特征？

學生活動：利用幾何畫板，對上述三個函數的圖象不斷變化切線的位置，師生共同探究，分組討論，猜想出導數法的一般結論，板書結論.

猜想：對于函數y=f（x）在某區間I上，

（1）如果f（x）>0，那么f（x）為區間I上的增函數.

（2）如果f（x）<0，那么f（x）為區間I上的減函數.

【設計意圖】通過實例，借助幾何圖形的直觀，觀察特殊函數圖象切線的變化，引導學生觀察、分析、猜想和提煉出導數與函數單調性的密切關系，從而發現研究函數單調性的又一種方法——導數法，培養學生由特殊到一般的歸納總結能力.

問題：雖然上述三個函數是由大家隨意找出的，但能代表所有連續可導函數嗎？也就是說上述結論具有一般性嗎？

教師指出：上述結論是由上述三個特殊的函數圖象得到的，只是一種猜想，是否具有一般性，還需要嚴格的數學證明.

問題：對任意連續可導函數y=f（x）在區間I上f（x）>0恒成立，幾何意義是什么？

學生：函數圖象在區間I上任意一點處切線的斜率都大于零.

問題：要證明函數y=f（x）在區間I上單調遞增，根據定義就是要證明什么？

學生1：任取x1，x2∈I，當x1x2時，都有f（x1）>f（x2）成立.

學生2：任取x1，x2∈I，都有f（x1）-f（x2）/x1-x2>0成立.

學生3：函數圖象在區間I上聯結任意兩點割線的斜率都大于零.

問題：如果圖象連續的函數y=f（x）在區間I上f（x）>0恒成立，則函數y=f（x）在區間I上單調遞增，你能簡單說明理由嗎？

學生活動：分組討論.從圖4發現，讓經過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的割線平行移動，當函數圖象平滑、連續不間斷時，則必然有一直線與函數圖象相切，設切點為（x0，f（x0）），因此得到f（x1）-f（x2）/x1-x2=f（x0）>0.

教師指出：雖然上述證明過程還不是十分的嚴密，但已非常接近于嚴格的數學證明了，大家發現了連續可導函數在區間上整體平均變化率與區間內某點處局部瞬時變化率的關系.等式f（x1）-f（x2）/x1-x2=f（x0）就是高等數學中的拉格朗日中值定理.法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數論》的第六章提出了該結論，并進行證明，感興趣的同學課后可以做進一步的研究.上述結論就是導數在研究函數中的重要應用.

【設計意圖】使學生明確猜想只是一種合情推理，判斷是否正確還必須經過嚴格的推理證明.對證明上述結論的高等數學中的拉格朗日中值定理，采用中學生能夠接受的方式，用直觀的方法來分析和說明，培養學生嚴密的邏輯思維能力和意識，激發學生進一步學習高等數學的興趣和欲望.

問題：該結論反之成立嗎？能舉反例嗎？

學生1： 成立；學生2：不成立.

對于學生錯誤的回答，引導學生舉反例說明.

例如，雖然函數f（x）=x3在（-∞，+∞）上單調遞增，但f（0）=0，所以逆命題不真.

【設計意圖】把對導數法的認識由感性上升到理性的高度，第二次強化了導數法研究函數單調性的一般性，培養學生嚴密的邏輯思維能力.

3.掌握方法 適當延展

例 討論確定下列函數的單調區間：

（1）f（x）=2x3-6x2+7； （2）f（x）=x+2cosx，x∈（0，π）；（3）f（x）=xlnx.

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.強調單調區間的區間形式、不能取并集等注意點.第（1）題教師板書規范解題過程；第（2）（3）題學生板書.

引導學生分組討論，歸納導數法討論函數單調性的基本步驟：確定定義域，求導數，解不等式，確定單調區間.

練習：1.利用導數法研究函數f（x）=x2-4x+3的單調性.

2.（1）討論函數y=x+1/x（x>0）的單調性；（2）討論函數y=x+1/x的單調性.

【設計意圖】掌握導數法研究函數單調性的方法和步驟，并與初等方法進行對比，研究對象從連續函數向不連續函數推廣，讓學生第三次感受導數法對研究函數單調性的易操作性、一般性和有效性.同時滲透極限的思想，為今后利用函數性質畫出函數圖象、研究函數的其他性質打下基礎.

4. 歸納小結 提高認識

問題：本節課你感受最深的是什么？

學生活動：交流本節課學習過程中的體會和收獲.

課外探究：利用函數單調性，畫出函數y=x+1/x的草圖.

三、幾點體會

在整體把握高中數學課程的理念下進行教學設計，最直接、最基本的作用是有利于學生構建知識，在此基礎上，進而可以促進學生達成三維目標，最終實現學生核心素養的培養和形成.

（一）有利于學生數學知識的建構

高中階段的導數在研究函數單調性方面起承上啟下的重要作用，考慮本節課在教學大綱中的地位和分量，結合教材特點以及學生認知水平，教師必須站在課程論的高度，運用整體把握的理念進行教學設計，以便于學生更容易自主地建構知識網絡.

本節課建構的基本環節見圖5.

皮亞杰認為，學習過程是學習者建構自己知識經驗的過程，而建構在于學習者通過新舊經驗的相互作用來發展自己的知識經驗.教師的作用就是要為學生的建構提供載體和支撐，必要時還需加以引導和幫助.因此，教師需要在整體把握高中數學課程的理念下，充分尊重學生的認知規律、心理和生理發展特點，遵循高中數學內在的知識結構和邏輯思想體系，進而體現高中數學課程的整體性、規律性、結構性和連續性，抓住數學的內涵和外延，讓學生增強對新舊知識的能動性思考，經歷有趣的數學同化與順應過程，使學生的數學知識和能力持續呈現螺旋式上升，從而讓學生的知識結構更加有效和穩固.

（二）有利于學生三維整體目標的達成

數學課程的“三維目標”往往需要跨學期、跨學年的長期滲透和培養，不可能只通過一節課全部實現，但“三維目標”的實現又離不開課堂教學，教師必須對高中三年數學課程進行整體規劃，并細化、分解、落實到每一學期、每一單元、每一節課，努力以每一節課為載體和主渠道，積極嘗試，逐步積累，最終整體實現“三維目標”.

本節課通過引導學生研究自己遇到的實際數學問題和學習困難，利用幾何畫板借助函數圖象直觀地探索并了解函數的單調性與導數的關系，初步掌握研究函數單調性的導數方法.讓學生逐步經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，感受和體驗數學發現和創造的一般歷程.通過對導數與函數單調性關系的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣.通過初等方法與導數方法在研究函數單調性過程中不斷的比較，先后完成對導數法研究函數單調性的三次層層遞進式的認識，使得學生不斷深入對函數和單調性概念的理解和認識，逐步體會到導數方法在研究函數單調性中的一般性和有效性，引起學生學習研究數學的興趣，助推學生真正走進高中數學，感受數學的應用和文化價值，培養學生嚴格的邏輯思維能力、科學的思想和精神.

整體把握學校課程，日本學者石井英真提出了如圖6所示的“認知系統三重圓模型” [2]，即（1）知識的習得與鞏固（知曉水準）；（2）知識的意義理解（理解水準）；（3）知識的有意義運用與創造（運用水準）.與此相一致，《江蘇省普通高等學校招生全國統一考試說明》對數學知識的考查所提的要求分為三個層次，依次為：（1）了解.對知識的含義有基本的認識，并能解決簡單問題；（2）理解.對知識有較深刻的認識，并能解決基本綜合性的問題；（3）掌握.系統地把握知識的內在聯系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.重點強調數學基本能力和綜合能力考查的重要性，突出數學基礎知識、基本技能、基本思想方法以及數學應用意識和創新意識的培養考查.由于學生是課堂教學的主體，學生的發展才是教育的最終目標.因此，教師需要在整體把握高中數學課程的理念下進行教學設計.除了考慮上述數學知識層面，更應關注學生的情感、態度和價值觀教育，努力發揮數學課堂的教育功能.

（三）有利于學生核心素養的培養

鐘啟泉教授認為，核心素養指的是同職業上的實力與人生的成功直接相關地涵蓋了社會技能與動機、人格特征在內的整合能力，其核心在于重視運用知識技能、解決現實課題所必需的思考力、判斷力與表達力及其人格品性[1]3 .羅增儒教授則對具體的中學數學核心素養進行了界定：是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現[3]5.基于核心素養的課程發展直面的第一個挑戰是把握學校課程的整體結構，對數學教學進行整體設計.

數理學科群，應該聚焦認知方略與問題解決能力，這需要教師在問題情境中借助問題解決的實踐培育起來[1]8 .本節課，筆者對問題情境進行了整體的設計，由簡單到復雜，層層遞進，首先提出研究二次函數的單調性，讓學生復習初等方法；其次引導學生尋找自己遇到的運用初等方法無法研究單調性的一些復合函數，啟發學生探尋、發現、驗證導數法；然后，再讓學生嘗試運用導數法研究連續函數的單調性；最后研究不連續函數的單調性.讓學生在真實的數學情境中，在自己切身遇到問題時，學會努力地觀察、歸納、發現、猜想和證明，使學生即使遇到的問題不是明顯的或直接的數學問題，也能夠從數學的角度去認識問題、以數學的態度去思考問題、用數學的方法去解決問題[3]5，落實培養即將頒布的《普通高中數學課程標準（修訂稿）》中明確提出的高中階段的六種核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析，從而有助于保障每一個學習者的知識建構與人格建構.

參考文獻：

[1]鐘啟泉.基于核心素養的課程與發展：挑戰與課題[J].全球教育展望，2016（1）.

[2]石井英真.何謂新時代的學力和學習[M].東京：日本標準股份公司，2015：22.

[3]羅增儒.從數學知識的傳授到數學素養的生成[J].中學數學教學參考，2016（7）.