基于核心概念的初中數學思想方法的教學

盧玉書

[摘 要] 初中數學教學中，將學生自主探究就可以找到概念本質的概念作為核心概念，并在構建理解的過程中強化數學思想方法的教學，可以讓核心概念伴隨著數學思想方法共同形成. 需要強調的是，初中數學教學中的核心概念并不是指難教、難學的概念，而是指在學生的最近發展區內的概念，因為在這樣的概念教學中，學生的注意力有可能集中到數學思想方法的生成上. 在實際教學中，核心概念的構建與數學思想方法的形成不能脫離，它們可以比喻為骨肉關系.

[關鍵詞] 初中數學；核心概念；數學思想方法

在初中數學教學中，思想方法的教學往往容易脫離具體的概念教學，這從相關的文獻中可以看出來，搜索并研究當前數學思想方法的教學成果，發現其中不少是純粹地從思想方法本身實施教學的. 還有一種情形則是，數學思想方法更多的是從數學規律與數學問題解決的角度提出，這原本沒有什么問題，但如果忽視了數學概念教學中思想方法的滲透，筆者以為這是對數學學習基礎的忽視，從學生建構對數學思想方法認知的角度來看，這應當是不可取的. 但是初中數學教學的概念繁多，如果每個概念的建構都去考慮思想方法因素，一無必要，二無實現的可能. 因此，從諸多數學概念中尋找核心概念，并在此基礎上實現數學思想方法的教學，可能是一種比較好的途徑. 對此，筆者在教學中進行了一些嘗試，也取得了一些成果.

對初中數學核心概念中思想方

法的分析

需要說明的是，本文所說的核心概念，不是指純粹意義上的概念，而是指用以描述數學對象特征與規律的概念性描述.

數學概念中蘊含著哪些思想方法，這是借助于核心概念實施數學思想方法教學的重要前提. 通常情況下，數學概念的教學基本上都是文字敘述性的，最多是給出一些事例，然后稍加總結，并通過文字說明即可達到數學概念教學的目的. 其后，讓學生基于概念的定義去記憶并“理解”概念，則成為一種傳統的數學概念教學模式.

這種模式的教學效果自然不需要作太多的評價，可以不夸張地講，學生的思維基本上都用在機械記憶上，然后通過大量的重復訓練，形成一種對概念的直覺. 這樣的直覺可以應付日常試題中的提問，因而具有滿足應試的效果. 也因為這個原因，所以通常情況下進一步探究有效的概念教學的情形并不是很多. 反之，如果從思想方法的角度來反思概念并審視概念教學，可以發現傳統概念教學的思路的嚴重不足. 而在發現了這種不足的基礎上，又可以發現概念教學的新途徑. 現以平行四邊形的性質為例，談談如何從數學概念中尋找數學思想方法的存在，并為后面的教學實踐提供建議.

平行四邊形的性質是初中數學教學中一個基礎性的內容，通常情況下，對平行四邊形性質的認識，是基于其定義的. 盡管學生在此前已經學過平行四邊形，但那個時候的定義往往更多的基于感性認識而缺少理性描述，初中階段對于平行四邊形及其性質的研究，更多的是理性認識的結果，需要抽象思維的積極參與. 因此，把握好平行四邊形的概念的核心，就成為認識平行四邊形性質，并從中感受數學思想方法的基礎.

分析平行四邊形這一概念尤其是其與此前教學方式的區別可以發現，平行四邊形的定義方式實際上給其他多邊形的定義提供了一種新的定義模式，尤其需要認識的是平行四邊形中的“平行”是從四邊形兩邊的位置關系角度進行定義的，從數學專業的角度來講，這是一個運用了“邊平行”進行定義的結果，這一結果所導致的教學效果，就是在學生的思維中形成了平行四邊形的表象. 另外，平行四邊形定義中有著明顯的邏輯推理的特征，而這意味著學生在構建這個概念的時候，大腦中所需要建立的不僅僅是簡單的平行四邊形的表象，還需要在邏輯思考的作用下建立兩對邊平行的直覺性認識. 因此，平行四邊形在初中階段的定義，是一種從一般到特殊的方法運用的結果，是數學建模與數學推理共同作用的結果，這些結果將為平行四邊形的性質發現奠定堅實的基礎.

以數學思想方法為線索的核心

概念教學

數學思想方法與概念之間是相互依存的關系，在上述分析的基礎上，以數學思想方法為線索來實施核心概念的教學，應當可以對學生的數學概念建構起到積極的促進作用. 這里同樣以平行四邊形及其性質的教學為例來說明.

其一，基于從一般到特殊的思想方法建構平行四邊形的基本認知. 平行四邊形從哪里來？簡單的方法是直接畫出一個平行四邊形，然后用數學語言去描述其邊的特征，但這樣的方法已經被實踐證明過于草率. 而基于從一般到特殊的思路，讓學生從一般四邊形中去發現這種特殊的四邊形，則讓平行四邊形概念的建構具有探究意義. 實際教學中，筆者先讓學生隨手畫出一個四邊形，這個時候四邊形的形狀是各異的；然后讓學生去畫出一個“好看點”的四邊形，這個時候學生往往會畫出長方形或者是正方形；再下一步詢問“能否畫出非長方形或正方形但有規則的四邊形”？這個時候，平行四邊形就呼之欲出了. 這樣的問題遞進看似平常，但實際上卻在學生的思維中種下了從一般到特殊的種子，學生在潛意識當中會認識到平行四邊形是從普通的四邊形中而來的，只不過它比普通的四邊形多了一些“規則”而已，而在問題的強調中，“規則”二字可以為后面平行四邊形性質的引出奠定認知基礎.

其二，基于比較的思想方法，判斷平行四邊形與一般四邊形的異同. 這一步是在上一步的基礎上，明確了學習的過程與目標，即比較與判斷平行四邊形與一般四邊形的異同. 這個時候一定要注意，教師的語言不要過于數學化，一個“相同點與不同點”足以讓學生知道自己要做什么，如果此時的語言過于數學化，那學生理解起來就會有困難，反而會分散學生參與比較活動的注意力，不利于比較思想的充分滲透. 在實際教學過程中，學生一般都能從邊的關系去比較（這是最直觀的一面），這說明上面的分析是有道理的，是符合學生的實際的. 而學生分析的結果，自然也就集中在兩對邊平行這一特點上. 這意味著對平行四邊形的性質的探究已經入門.

其三，基于數學體驗的思想方法，讓學生在體驗中認識到平行四邊形的性質. 這一步是探究平行四邊形邊與角的關系，并用數學語言進行描述的過程. 這個過程基本上可以分為兩步：一是對邊的研究，這個比較簡單，就不重復了；另一個是對角的研究，學生一般會猜想對角相等，但在證明的時候需要花費一些時間，主要是作出對角線并用全等三角形去證明. 為了強化這個過程中學生的體驗，筆者沒有急著指導學生，而是讓學生自主探究，自己想辦法. 事實上，只要認識到自己的目標是證明角的關系，那證明三角形全等的意識就會出來，只是在作對角線并構建兩個三角形這一步略有困難罷了. 總的來說，還是能夠有效完成的.

其四，在學生學習過程反思的基礎上，梳理概念與思想方法的關系. 筆者在教學中比較喜歡做的一件事情，就是在一個重要的知識得出之后，引導學生反過來思考，去想這個結論是怎么出來的. 在平行四邊形及其性質這個核心概念得出的過程中，筆者同樣進行了這一工作. 而學生在反思之后也往往能夠發現以上三個重要步驟，而這樣的反思其實也就是在學生的思維中定下了一個核心概念生成的模式. 雖然我們強調學習不要過于模式化，但這種基本的模式（其實也可以理解為數學學習的一種模型）對于初中生的數學學習來說，還是有必要的，積極意義還是比較明顯的.

事實也證明，經過上面四個步驟的努力，一方面體現了數學思想方法的運用，另一方面也成功地構建了關于平行四邊形及其性質的認識，在筆者看來，這是一次成功的教學實施.

核心概念與數學思想方法是骨

與肉關系

在經過多次教學嘗試之后，筆者再反思核心概念與數學思想方法之間的關系. 發現借助骨肉聯系來形容兩者，還是比較恰當的. 自然，核心概念是骨而數學思想方法是肉. 兩者的關系進一步闡述如下：

核心概念作為在初中數學學習過程中起著支撐作用的概念，其不僅在知識內容上具有重要性，同時在數學思想方法上也具有重要性. 也就是說，這些數學概念的形成過程，可以讓學生更好地形成數學思想方法的認知. 這里需要強調的是，并不是難教、難學的概念才是核心概念，筆者的觀點剛好相反，過于困難的概念，往往需要教師講授的介入，學生才能聽懂，這些概念往往并不適宜作為數學思想方法教學的載體. 只有那些相對簡單，學生能夠通過自己的努力探究，可以有效建立理解，或者發現規律的數學概念，才是輔助數學思想方法形成的核心概念. 因為在這些概念的學習過程中，學生的注意力可以集中到數學思想方法上來.

總之，在初中數學教學中，借助核心概念與數學思想方法的緊密聯系，實施知識與能力的雙重目標的教學，是可以嘗試的途徑，有興趣的同行不妨共同研究.