淺析高中數學函數與回歸方程

段秀平

摘 要：高中數學當中，函數內容占據著一定的比例，例如反比例函數、復合函數、三角函數、導數等。而函數本身可以認為是一種不同變量之間的對應關系。對函數的學習和研究是高中數學中非常重要的部分。與函數具有相同之處的回歸方程，實際上也反應的是不同變量之間的關系。關于函數與回歸方程，重點分析函數內容與回歸方程之間的區別，為此將通過結合例題的方式具體分析回歸方程的實際應用。

關鍵詞：高中數學；函數；回歸方程

簡單而言，函數是一種對應關系，是從非空數集a到實數集b的對應。而回歸方程則是指能夠用直線方程y=bx+a近似表示的一種相關關系，回歸方程的具體表現形式實則也表現為函數形式，其方程也叫線性回歸方程。從函數與回歸方程的性質來看，二者之間存在相同之處，也存在區別[1]。針對函數與回歸方程之間的關系，以及回歸方程涉及回歸分析和實際應用，以下將展開具體的分析。

一、函數

在數學當中，函數表示的是對應關系。更加精準來說，當x是一個非空集合，y是非空數集，f是一個對應的法則，如果對x中的每個x，按照對應法則f，使得y中存在唯一的一個元素y與之對應，就稱對應法則f是x上的一個函數，記作y=f（x），稱x為函數f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈R}為其值域（值域是y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，也可稱為y是x的函數。因此，在函數當中，函數具備三個要素，即對應法則、定義域和值域。在解決不同變量之間的關系當中，函數能夠以一種確定和理想的形式體現。

二、回歸方程

回歸方程是在一定的樣本資料下，根據回歸分析后，取得一個變量（因變量）對另一變量（自變量）的一種回歸關系的數學表達式，即y=bx+a。其與函數關系不同，y=bx+a表示的是一種不確定性關系[2]。更具體而言，給出一組數據（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），線性回歸方程中的系數a，b滿足：

b=，a=y-bx。

在回歸方程當中，受到變量的作用和影響，其中的相關關系可以為線性相關，也可以為非線性相關，而回歸方程也能夠在很大程度上反映各不同變量之間是否存在相關性。

三、回歸方程中的相關關系與函數關系的異同分析

根據上述對函數以及回歸方程的定義，兩者存在的異同點十分明顯。

首先，在相同點方面，二者均是指兩個變量之間的關系。

其次，在不同點方面，函數關系指的是兩個變量之間的關系，是一種確定性的關系，是一種因果關系，是一種理想的關系模型[3]。而相關關系，則是指一種非確定性關系。相關關系當中，可以其中一個為變量，另一個為隨機變量，或者兩個都可以為隨機變量，其關系是一種更加一般的關系。

四、回歸分析與回歸方程

得到回歸方程，實際需要以回歸分析作為主要方法，該方法的基本步驟主要分為四步：（1）根據所給的數據畫出散點圖；（2）依據散點圖求出b，a的值；（3）求回歸直線方程；（4）用回歸直線方程解決應用問題。在回歸分析當中，由于兩個變量并不對等，因此分析時需要區分出自變量與因變量。當然，在進行回歸分析的過程當中，主要是依據回歸方程進行。因此，針對某個實際問題，或者針對給出的某組數據，首先是在畫出散點圖的過程中，以及在區分自變量和因變量的基礎上，判斷出兩個變量是否存在相關性。具體可看如下例題：

例：一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗測得數據如下：

根據以上題目，如若要預測加工200個零件需要花費多少時間，以回歸分析方法進行分析，則可以通過給出的數據，畫出散點圖并進一步判斷y與x是否存在線性相關，如果y與x存在線性相關關系，則可求出線性回歸方程，最后依據方程則可預測出加工200個零件需要花費的時間。具體可制出如下圖表：

依據以上表格計算出xi一行的總和，yi一行的總和，xiyi、xi2等各相應的數值。最后，根據y=bx+a求出b和a。

由以上例題可知，當給出一組數據后，畫出數據散點圖能夠從中找出相關關系，再依據方程則可解決實際的問題。由此，回歸方程具有非常重要的作用，其通過自變量的變化逐步可以推算出因變量變動的估計值，并且得出的這個估計值與實際值具有一致性，但也有可能不存在一致性，這主要是由于估計值與實際值存在的離差，有正有負，有大有小。在這種情況下，回歸方程則需要有一個計算指標，該指標最好能夠充分反映其中誤差的大小。

綜上所述，函數關系與回歸方程之間存在相同點和不同點，其中回歸方程涉及的回歸分析，以及其中包含的最小二乘法，從數學的角度而言，對往后數據的統計分析也都有非常重要的意義。

參考文獻：

[1]李嘉益.淺談高中數學函數與回歸方程[J].農家參謀，2017（13）：150.

[2]王鵬.淺談高中數學函數與回歸方程[J].讀與寫（教育教學刊），2011，8（8）：91.

[3]王忠民，李楊，張榮.一種基于自相關函數特征的行為識別方法[J].計算機應用研究，2018（6）：1-2.

編輯 趙飛飛