基于微課的立體幾何性質定理探究

摘要傳統立體幾何推理證明思想的缺失引發我們思考如何培養學生的邏輯推理能力，使學生的思維更加嚴密.以“平面與平面平行的性質探究”為例，借助于“翻轉課堂”的模式，通過讓學生觀看微課視頻，帶著疑問和困惑進入課堂，進行“性質”的展示、交流、探索活動.通過微課讓學生擁有更多更廣的空間加強自身的邏輯推理能力以及思維的嚴密性.關鍵詞微課教學；傳統推理；性質定理；開放探究

1立體幾何的教育價值

立體幾何學作為世界文明史的一個科學體系和幾何學的一個重要分支，雖經歷各種曲折和磨難，卻顯得更加璀璨，其根本原因就在于立體幾何本身的價值決定了它具有無可替代的教育價值.立體幾何課程以幾條簡單且清楚的公理為起點，以嚴格的邏輯順序進行推理，得到一系列有用的、正確的定理和結論，讓人們真正看到了理性的力量、邏輯的魅力.立體幾何學作為一個嚴謹的邏輯體系，精密的推理過程呈現在學生面前，有利于他們形成科學的世界觀和理性精神；立體幾何材料具有深刻的邏輯結構，豐富的直觀背景和鮮明的認知層次，是一種有效的訓練手段，有助于培養學生良好的思維習慣；立體幾何學是對思維進行系統的﹑較為嚴格的訓練的一門學科，是演繹推理系統自然發展的一部分，有利于發展學生演繹推理和邏輯推理能力.

2目前傳統立體幾何教學的缺失

縱觀目前的傳統立體幾何教學，筆者覺得現在的學生較之筆者自己讀書那會兒邏輯推理能力存在一定的缺失.當然客觀的原因是新課程改革后，在某些程度上淡化了幾何的演繹推理，人教A版必修2傳統立體幾何中的很多定理的證明都刪去不作要求，有些內容也進行了精簡.引進了空間向量，空間向量確實是一個非常好的工具，很多學生在學習了空間向量之后，就把傳統立體幾何方法拋之腦后，認為空間向量是萬能方法，使用起來也非常便捷，不需要繁瑣的推理證明.主觀原因是教師自身也存在偏向空間向量法的傾向，很多時候（特別是當使用傳統方法比較繁瑣時）只講授空間向量方法就完事了，覺得只要問題解決了就可以了.在講授傳統立體幾何新課時，對于定理的證明教學（教材中要求的證明）也采用不講或者一筆帶過的態度.尤其對于“平行系統”的教學特別缺失，原因是高考中對“平行”的證明出現的較少，特別是涉及到“面面平行”的題目更少，大部分考題都落在“垂直系統”中，導致學生對“平行系統”相關定理印象淺薄，推理過程錯誤百出.再從傳統立體幾何整體證明書寫來看，學生的邏輯推理思維顯得混亂，漏洞百出，缺乏必要的嚴密性.

3基于微課的性質定理探究

基于以上傳統立體幾何教學中存在的缺失，筆者覺得有必要加強傳統立體幾何的定理探究教學，尤其是性質定理，因為所謂“性質定理”就是已知“線面平行”、“面面平行”、“線面垂直”、“面面垂直”能得到哪些性質？較之“判定定理”，“性質定理”有更大的供學生探究的空間，能更好地發揮學生的想象力與推理能力.下面筆者以“平面與平面平行的性質探究”為例，借助于“翻轉課堂”的模式，通過讓學生觀看微課視頻之后，帶著疑問和困惑進入課堂，進行“性質”的展示、交流、探索活動.3.1依托翻轉，微課引領

制作微課視頻，將學生進行同組異質、異組同質的分組，讓有條件的小組自己集中觀看探究微課視頻中的內容，沒有條件的小組筆者創造條件讓小組成員集中學習.

微課視頻內容概要：

（1）溫故知新

之前已經學習了空間點、線、面的各種位置關系，又系統地學習了直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理以及直線與平面平行的性質定理.微課視頻引領學生回顧這些知識，并啟發學生思考“判定定理”與“性質定理”的作用分別是什么，進一步對“平行系統”的定理和知識展開系統的梳理.

（2）引領探究

“平行系統”中還存在知識缺漏，需要學生將其補充完整.已知兩平面平行，我們可以得到哪些性質？一般需要添加一些條件，可以是“直線”、“平面”等等.如何從公理體系的角度證明這些性質？

（3）任務驅動

以小組為單位，集思廣益，收集“平面與平面平行的性質”，并思考在諸多性質中以哪些性質作為定理比較合適.并思考教材確定“平面與平面平行的性質定理”的緣由.同時將在探究過程中碰到的疑問與困惑記錄下來，待課堂上與教師、同學們交流探討.3.2成果展示，集中探究

讓學生帶著探究成果進入數學課堂，每個小組將各自探究出來的“平面與平面平行的性質”展示出來，當然這些成果中有些是重復的，所以筆者將其進行整理，按照一定的體系重新展示出來.

（1）已知兩平面平行，則一個平面內任意一條直線都平行于另一個平面；（2）已知兩平面平行，則分別包含在兩個平面內的兩條直線平行或異面，不可能相交；（3）已知兩平面平行，和其中一個平面平行的直線和另一個平面平行，或包含在另一個平面內；（4）已知兩平面平行，和其中一個平面相交的直線也和另一個平面相交；（5）已知兩平面平行，第三個平面和其中一個平面平行，則和另一個平面也平行；（6）已知兩平面平行，第三個平面和其中一個平面相交，則和另一個平面也相交；（7）已知兩平面平行，第三個平面與這兩個平面相交，則交線平行；（8）已知兩平面平行，夾在這兩個平行平面間的平行線段長相等；（9）已知兩平面平行，一個平面內任意一個點到另一個平面的距離相等；（10）已知兩平面平行，一條直線垂直于其中一個平面，則也垂直于另一個平面；（11）已知兩平面平行，一條直線與這兩個平面斜交，則斜線與這兩個平面所成的角相等；（12）已知兩平面平行，第三個平面垂直于其中一個平面，則也垂直于另一個平面；（13）已知兩平面平行，第三個平面與這兩個平面斜交，則第三個平面與這兩個平面所成的角相等.

其中（1）（2）（3）（4）涉及了直線與平面的位置關系，（5）（6）（7）涉及了平面與平面的位置關系，（8）涉及了距離，而（9）（10）（11）（12）（13）涉及了垂直關系，需留待學完“垂直關系”后再研究.所以課堂上主要針對（1）-（8）進行詳細探究.3.3證明當先，釋疑解惑

提出性質或許具有猜想的成分，體現了學生數學想象能力與猜想能力，證明這些性質就含有演繹數學的成分，估計學生可能會存在一定的困難.筆者在此環節充分挖掘學生的潛能，此小組提出的疑問讓彼小組回答.若是全班同學都存在疑問的知識點，筆者就引領大家一起探究.此環節充分體現了教師主導、學生主體的新課改精神.

學生1：我來說性質（1），由定義可知，兩平面平行，則兩平面無交點，則一個平面內的直線與另一個平面也無交點，由定義可知，直線與另一個平面平行.

學生2：我來說性質（2），由定義可知，兩平面平行，則兩平面無交點，則一個平面內的直線與另一個平面內的直線也無交點，所以兩直線的位置關系是平行或異面.

學生3：性質（3）（4）（5）（6）我認為肯定是成立的，但看似簡單卻很難用現有的定理或定義證明.

教師：那不如先讓我們來看性質（7），因為教材上以性質（7）作為性質定理.請大家用數學符號寫出“已知”與“求證”.

學生4：如圖1所示，已知平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b，求證：a∥b.

教師：誰來證明這個性質？

學生5：因為α∥β，所以α與β無公共點，

而aα，bβ，所以a與b也無公共點.

又aλ，bγ，所以a∥b.

教師：非常好！現在讓我們回過頭來看（4）.

師生共同：如圖2所示，已知平面α∥β，直線c∩α=A，求證：直線c與平面β也相交.

證明在平面α內過點A作直線a，再過相交直線a與c作平面γ，γ∩β=b.

因為α∥β，所以由性質（7）得到a∥b.而直線a，b，c均在平面γ內，且c∩a=A，所以c∩b=B.

又因為bβ，所以c∩β=B，即直線c與平面β也相交.

教師：在以上的證明過程中，大家有什么發現嗎？

學生6：性質（4）的證明用到了，性質（7）.

教師：對于（3），有哪位同學有想法？

學生7：如圖3所示，已知平面α∥β，直線c∥α，求證：直線c∥β或cβ.

證明過直線c作平面γ∩α=a，γ∩β=b，

因為α∥β，所以由性質（7）可知a∥b.

又因為c∥α，且過直線c作平面γ∩α=a.

所以由線面平行的性質定理可知c∥a且a∥b.

所以c∥b.又bβ，若cβ 則由線面平行的判定定理得c∥β；否則有cβ（若直線c與平面β相交，則有性質（4）可知直線c與平面α也相交，這與條件“直線c∥α”相矛盾.）

教師：很好！性質（3）的證明同樣用到了性質（7）.下面看性質（5），哪位同學有高見？

學生8：如圖4所示，已知平面α∥β，且γ∥α，求證：γ∥β.

證明作平面δ∩α=a，δ∩γ=b，δ∩β=c，再作平面∩α=a′，∩γ=b′，∩β=c′，其中a與a′，b與b′，c與c′均為相交直線.

因為α∥β，所以由性質（7）a∥c，a′∥c′.

又因為γ∥α，所以由性質（7）a∥b，a′∥b′.

所以由平行公理4得b∥c，b′∥c′.

所以由線面平行的判定定理可得b∥β，b′∥β且b與b′為相交直線，且bγ，b′γ.

所以由面面平行的判定定理可得γ∥β.

教師：性質（5）的證明用到了性質（7）、“平行公理4--平行的傳遞性”、“線面平行的判定定理”和“面面平行的判定定理”.讓我們繼續看性質（6）.

學生9：如圖5所示，已知平面α∥β，γ∩α=a，求證：γ與β也相交.

證明（反證法）假設γ∥β，則有性質（4）可知γ∥α.

這與條件γ∩α=a相矛盾，所以假設不成立，γ與β也相交.

教師：到此為止，我們證明了性質（3）（4）（5）（6）（7），通過上面的證明，大家應該能體會出教材為什么將性質（7）作為性質定理的緣由了吧.

學生10：因為性質（3）（4）（5）（6）均可以由已學的定理加上性質（7）共同證明.

教師：很好！在面面平行的眾多性質中選擇合適的性質作為定理很重要，我們可以看出，做出這樣的選擇不是隨意而盲目的，而是以一定的數學公理化思想為依據.下面讓我們繼續探究性質（8）.

學生11：我來證明性質（8）.

如圖6所示，已知平面α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證：|AB|=|CD|.

證明因為AB∥CD 所以AB與CD確定一個平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=BD.因為α∥β，所以由面面平行的性質定理可得AC∥BD.

所以四邊形ABDC是平行四邊形.所以|AB|=|CD|.

3.4梳理知識，構建網絡

“平面與平面平行的性質”是“平行系統”的結語，為了給“平行系統”畫上一個完美的句號，需要讓學生對所學與“平行”有關的知識進行梳理，形成一條線索.這樣做不僅有利于對“平行”知識的回顧反思，而且還為接下來“垂直”知識的系統學習做了很好的鋪墊.引導學生為下面“平行系統”中知識網絡進行填空，以完善知識系統.

學生12：第①個應該是“直線與平面平行的判定定理”.

學生13：第②個應該是“直線與平面平行的性質定理”.

學生14：第③個應該是“平面與平面平行的判定定理”.

學生15：第⑥個就是今天新學的“平面與平面平行的性質定理”.

學生16：第⑤個好像沒有現成的定理，那就應該連續使用“直線與平面平行的判定定理”和“平面與平面平行的判定定理”.

學生17：剩下的第④個好像也沒有現成的定理啊！

教師：請大家回顧我們今天探究的平面與平面平行的性質（1）——（8），其中哪一條可以放入④比較合適？

學生18：性質（1）.

教師：對！性質（1）的證明比較簡單，所以在平時的證題中我們一般可以直接拿來用.

3.5自主編題，開放交流

較之教師給出例題讓學生解答，由學生自主命題的活動更能調動學生的積極性與主動性，充分體現“生本”理念，讓學生體驗命題的滋味，揭開命題的神秘感，克服面對考試的恐懼心理.組織學生以小組為單位，運用本節課學習的“平面與平面平行的性質”，當然也可以結合之前學過的定理，自主編擬一些問題.

筆者給出編題載體：人教A版必修2第62頁A組題第8題：如圖8所示，直線AA′、BB′、CC′相交于點O，AO=A′O，BO=B′O，CO=C′O，求證：平面ABC∥平面A′B′C′.

引導學生適當改變、添加條件或結論得到一些新的問題，并能使此新問題在解答過程中運用今天新學的“平面與平面平行的性質定理”.然后對于學生編制的一些質量較好的題目，筆者將之展示出來請大家一起探討解答.

學生19：如圖9所示，平面ABC∥平面A′B′C′，直線AA′與直線BB′相交于點O.求證：AB∥A′B′.

教師：請哪個小組的成員來解答一下.

學生20：因為直線AA′與直線BB′相交于點O，所以直線AA′與直線BB′確定一個平面，

記作平面ABA′B′.

又因為平面ABC∥平面A′B′C′，且平面ABA′B′∩平面ABC=AB，

平面ABA′B′∩平面A′B′C′=A′B′，所以AB∥A′B′.

學生21：如圖8所示，平面ABC∥平面A′B′C′，△ABC與△A′B′C′是兩個全等的等邊三角形，直線AA′、BB′、CC′相交于點O.求證：AB′∥A′B，BC′∥B′C，AC′∥A′C.

學生22：因為直線AA′與直線BB′相交于點O，所以直線AA′與直線BB′確定一個平面，記作平面ABA′B′.

又因為平面ABC∥平面A′B′C′，且平面ABA′B′∩平面ABC=AB.

平面ABA′B′∩平面A′B′C′=A′B′，所以AB∥A′B′.

又因為△ABC與△A′B′C′是兩個全等的等邊三角形，所以|AB|=|A′B′|，所以四邊形ABA′B′是平行四邊形.

所以AB′∥A′B. 同理可證BC′∥B′C，AC′∥A′C.

學生23：我也來編一題.如圖8所示，平面ABC∥平面A′B′C′，△ABC與△A′B′C′是兩個全等的邊長為2的等邊三角形，直線AA′、BB′、CC′相交于點O，|B′C|=4 ，|A′B|=23.求證：異面直線A′C′與AB′所成角為直角.

學生24：首先由前面那位同學的證明可知：四邊形ABA′B′是平行四邊形.

所以AB′∥A′B且|AB′|=|A′B|=23，

又|B′C|=4，△ABC與△A′B′C′是兩個全等的邊長為2的等邊三角形，

所以由勾股定理得AB′⊥AC.

又由“平面與平面平行的性質定理”可知：AC∥A′C′，

所以相交直線AC與AB′所成直角或銳角就是異面直線A′C′與AB′所成角.

所以異面直線A′C′與AB′所成角為π2.

作者簡介俞昕，女；中教高級；主要研究方向：數學文化、數學校本課程等.