2016年全國高考數學試卷中導數試題的研究與反思

房得陽　趙珊　李凱

【摘要】導數是解決函數問題的有力工具，也是新課標高考考查的熱點之一，因而研究高考試題中有關導數試題的特征及規律，對于有效開展教學與指導復習備考顯得尤為重要.本文從知識考點、導函數類型、思想方法、數學能力4個維度對2016年全國高考數學試卷中涉及導數試題的42道題進行梳理統計，并分析其考題特征以及分布特點，最后得到幾點反思.

【關鍵詞】高考數學；導數試題；教學反思

1引言

導數是高考試卷中重要的組成部分之一，是解決函數問題的有力工具，更是新課標高考命題的熱點.隨著新課程改革的不斷深入與實踐，高考制度日趨完善，導數內容作為高考考查的重點知識板塊，不斷地被時代賦予新的含義，在基礎知識的考查之上出現了很多經典題型.繼承以往高考試題命題的特點，嚴格遵循《普通高中數學課程標準（實驗版）》與《2016年高考考試說明》，在2016年的高考數學試卷中導數專題仍然占有相當大的比重.導數專題題型一般是一道選擇題或者填空題和一道解答題，并且解答題一般作為壓軸題出現，在整套試卷中的權重通常為17%左右，所占的分值一般為20分左右.從今年來看，全國共使用10套文理卷，其中全國卷3套，省（市）卷7套.2016年每套試卷各有特色，從深層次的視角分析，無論是知識點、思想方法及數學素養的考查上還是整體結構或試題類型的呈現上，均體現了以基礎知識為本，能力立意[1]為新的數學理念，滲透了邏輯性、探索性及綜合性的數學素養，并注重傳統考查熱點與新概念、新情景的有機整合.由此，對試題進行比較與分析，對教學、備考及研究都有很好的幫助.

本文在研究過程中，在中國知網中搜索“數學導數專題”，有55篇相關論文，其中教學研究及應用類有29篇，題型研究及應用類有16篇，考查方式及考試熱點類有6篇，試卷試題分析類有4篇，相對來說較少，因此，本文對2016年全國高考試題導數試題進行了研究與分析.2研究方法

本研究以2016年全國10套理科試卷和9套文科試卷（江蘇省文理卷相同）有關導數方面的42道題為研究對象，采用比較分析法和量化分析法做橫向研究，主要從知識考點、導函數類型[2]-[3]、思想方法、數學能力4個維度入手，以不同的視角對高考導數試題進行多維度要素分析，呈現試題的分布規律，總結其特點.

3研究結果及分析

3.1知識考點

知識考點即考試試題中所涉及到的知識點，依據考查內容來確定.知識考點是高考中考查內容的具體體現，知識考點是考試命題的依據和保障[4].數學知識考點一般包括定義、概念、性質、命題、公式、定理、公理、法則等.本研究中通過對“導數”知識考點梳理與統計，概括出以下6個知識考點，由此來分析知識考點在題型中的分布情況，如下表1和圖1所示.

由表1和圖1可知：2016年高考試題中導數方面知識考點文科卷累計考查了46次，其中選擇題中考查了14次，填空題中考查了10次，解答題中考查了22次；理科卷累計考查了40次，其中選擇題考查了6次，填空題考查了5次，解答題考查了29次.從考查的頻次來看，比較明顯的一個特征是解答題集中考查了導數的知識考點，而選擇題和填空題考查頻次較少.文科卷和理科卷相比較而言，基礎知識考點文科卷考查頻次多于理科卷，在綜合知識點考查方面理科卷多于文科卷.

綜合2016年高考全國文理卷導數試題知識考點，高考導數試題命制在基礎知識的考查上相對平穩，但結合近幾年全國新課標卷的導數試題命題特點，導數試題知識考點在深度和廣度上有增不減.導數知識考點的交匯性問題是一個重點，而且知識考點交匯性問題的命題思路也已日趨成熟.高考試題具有選拔優秀人才的功能，因此單個知識考點的試題已遠遠不能滿足試題命制及能力考查的需要，多數試卷將許多知識點相互滲透、交匯、有機地融合在一起進行考查，甚至有的考題是將整個知識單元串聯起來進行考查.另外，導數知識考點不是一個獨立的專題，經常與方程等知識聯系起來考查，部分題目還考查了利用導數來解決優化問題和實際問題.3.2導函數類型函數是導數知識考查的載體，導數是研究函數性質的重要工具.導數作為研究函數的利刃，常年來圍繞基本初等函數、分段函數、復合函數、新定義函數等類型命制高考試題.本研究通過對2016年全國高考試卷進行歸納梳理，總結出以下幾種類型，對出現的頻次做了整理以方便研究其分布特點，如下表2和圖2所示.

由表2和圖2可知：2016年高考導數試題中文科卷對以上函數類型累計考查了40次，其中三角函數考查了4次，指數函數考查了7次，對數函數考查了6次，冪函數考查了3次，分段函數考查了2次，復合函數考查了14次，新定義函數考查了4次；理科卷對以上函數類型累計考查了40次，其中三角函數考查了3次，指數函數考查了7次，對數函數考查了5次，冪函數考查了2次，分段函數考查了3次，復合函數考查了15次，新定義函數考查了5次.比較顯著的一個特征是文科卷和理科卷對復合函數類型的考查頻次普遍多于任何一種單一的函數類型.理科卷在復合函數類型和新定義函數類型上的考查略多于文科卷.

綜合以上圖表，2016年高考導數試題仍然考查了多種導函數類型，且分布相對穩定，文理卷差異不顯著.比較突出的一個特點是文理卷都集中考查復合函數類型的頻次相對較高，復合函數沒有具體的解析式為載體，理解起來較為困難，但由于此類型函數既能考查函數的概念和性質又能考查學生的思維水平和推理能力，因此在難度設置上比較好分層次，設問方式也是常規中有創新.

3.3思想方法

數學思想是人們對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想.數學方法是在數學思想的指導下，為數學思維活動提供具體的實施手段，是數學地提出問題、解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等.通常混稱為“數學思想方法”.常見的數學思想方法為：分類討論思想方法、函數與方程思想方法、數形結合思想方法、轉化與化歸思想方法.以下是高考試卷中有關導數試題所考查到的思想方法的分布特點，如下表3和圖3所示.

由表3和圖3可知：2016年高考導數試題中文科卷有23道題考查了數學思想方法，其中選擇題和填空題主要考查了分類討論思想方法和數形結合思想方法，解答題對4種思想方法均有涉及；理科卷有26道題考查了數學思想方法，其中選擇題和填空題未涉及到函數與方程思想方法和轉化與化歸思想方法，解答題均有涉及.由圖可知，分類討論思想方法和數形結合思想方法是考查的重點，在各類題型中均有考查，整體上，理科卷相對文科卷對導數試題中思想方法的考查力度大一點.

數學思想方法是數學知識的高度總結和概括，滲透在數學問題發現、分析和解決的過程中，體現在數學知識發生、提煉和應用的過程中.高考試卷命制注重對數學思想方法的考查，更注重對學生數學素養的考查.高考試題中導數試題所蘊含的數學思想方法比較豐富，這不僅對學生在導數知識的理解和掌握上提出了高的要求，而且對教師的課堂教學和教學研究有了更高的要求，啟示學生和老師在平時的教和學中，應有意識地挖掘蘊含在題目中的數學思想方法.

3.4數學能力

數學能力是由數學基礎能力、核心能力和綜合性能力三個不同層面的多種能力成分組成的.現代數學教育理論認為，數學能力是指順利完成數學活動所必備的基本能力，包括空間想象能力、運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力、數據處理能力等基本能力.經分析，高考試卷中導數試題主要考查的數學能力有：抽象概括能力、運算求解能力和推理論證能力.這三種能力在不同類型試題中的分布情況如下表4和圖4所示.

由表4和圖4可知：2016年高考導數試題中文科卷對數學能力累計考查了24道題，理科卷累計考查了28道題.一個很明顯的特點是運算求解能力是文理卷考查的重點，其涉及到的題目文理卷累計達到32道題.由圖可以看出，文科卷對抽象概括能力的考查題占所考查題目的15%，而理科卷對抽象概括能力的考查題占所考查題目的25%；對運算求解能力的考查，文理科卷考查題量相同，存在的差異在于文科卷在選擇題和填空題類型的考查題目多于理科卷，而理科卷對解答題類型的考查題量多于文科卷.

隨著數學教育改革的發展，數學能力不斷的被賦予新的內涵，特別是高考試題命制以能力立意為指針，更加凸顯出數學能力的培養與考查在數學教學中的重要意義.導數專題與很多知識考點聯系緊密，這就要求學生學習時注重全面鍛煉數學能力.

4研究結論及反思

由以上研究結果與分析，可以總結出高考試卷中導數試題有如下特點：

（1）2016年全國高考導數試題的6個知識考點文科卷和理科卷均有涉及，各題型分布相對穩定.文科卷和理科卷都秉持以基礎知識為考試考查的主要對象，重點和難點偏重于解答題，高頻考點突出，考題問題設置穩中有新.文科卷相對理科卷偏重單個知識考點的考查，理科卷相對文科卷對于綜合知識交匯考查的特點更加明顯.

（2）綜合全國文理科試卷，對7個導函數類型考查總體分布穩定，局部分布略有差異.在三角函數、指數函數、對數函數、冪函數4個類型的考查上文科卷相對考查特點突出，理科卷更偏重于分段函數、復合函數與新定義函數的考查.復合函數是導數試題考查的重點和難點，新定義函數是導數試題考查的亮點，預計在以后的考試中仍然會注重對復合函數和新定義函數的考查.

（3）全國高考導數試題對數學思想方法的考查均有涉及，其中分類與整合思想方法和數形結合思想方法是三種題型考查的重點，轉化與化歸思想方法是文理科試卷解答題考查的重點和難點.部分試題凸顯出數學思想方法綜合化考查的特點，以新背景，新思維、新問題來全面考查學生的數學素養.

（4）從文理科試卷整體視角來看，導數試題對三個能力的考查均有涉及，且以考查運算求解能力為重點.每套試卷中的導數試題從符號、圖像、表達式、問題敘述等方面，客觀上要求學生具備一定的獲取知識能力、分析理解能力及準確表達能力.研究發現，全國各套試卷更加注重數學能力的綜合考查.

通過對2016年全國高考數學試卷中導數試題的研究與分析，可知高考命題不僅僅考查以知識考點和函數背景為載體的基礎知識，更注重對考生數學素養和數學能力的考查.考查命題以教材和課程標準為依據，文理科卷各有特色，即追求命題創新，又不回避經典傳承.研究所提供的框架及結論有助于教師在教學中把握重難點，學生在備考復習的過程中做到有的放矢，全面提升導數知識的學習水平.

參考文獻

[1]任子朝.能力立意命題的理論與實踐[J].數學通報，2008（1）：24-32.

[2]謝印智，張海軍.以導函數類型為切入點的導數題型分類[J].考試，2011（2）：101-103.

[3]羅永紅.討論函數單調性的導函數類型[J].理科考試研究，2014（5）：3-4.

[4]任子朝，周遠方等.高考數學科考核目標研究[J].數學通報，2013（7）：1-8.

[5]鄭一平，蘇華春.高考數學壓軸題的風向標——導數在函數綜合性問題中的應用例析[J].中學數學，2016（9）：68-74.

作者簡介

房得陽，女，甘肅蘭州人，西北師范大學教育學院碩士生，研究方向為數學教學論；趙珊，李凱為西北師范大學教育學院碩士生.