尋找生活知識背景，走向數學思想方法

胡智

[摘 要] 當下的高中數學教學對思想方法的強調是充分的，而數學思想方法的形成是依賴于數學知識的構建過程的. 高中數學知識之所以看起來抽象，實際上是與生活距離太遠的緣故. 建立以生活知識為背景的教學思路，可以將數學教學立足于學生的形象思維與生活經驗的基礎之上，可以有效地形成對數學思想方法的認識，從而提高學生的核心素養.

[關鍵詞] 高中數學；生活知識；思想方法

高中數學教學中，對于知識的構建有兩個基本思路：一是遵循數學知識之間的邏輯結構，從已經學過的知識去推導新的知識. 這是傳統數學教學中常用的方法，其也能夠有效地幫學生認識到新舊知識之間的聯系，從而讓學生體會到數學知識之間的邏輯關系. 其不足之處在于，如果學生對此前的知識掌握不夠扎實，那么新知識的生成就如同無源之水、無本之木. 當然，這個不足可以通過新知構建之前的舊知復習來完成，尤其是有經驗的教師總能夠根據新知識構建所需要的舊知分析，去有意識地引導學生復習、掌握舊知識. 二是在遵循數學知識邏輯體系的基礎上，更多地通過學生熟悉的生活知識來為新知學習提供基礎. 相比較而言，這一思路更具生活性，學生理解、接受起來更為容易. 其不足之處在于，生活素材的尋找比較麻煩，與傳統教學思路也有不一致的地方，因此通常不是教師的第一選擇. 但筆者通過研究發現，這一思路能夠很好地彌補第一種思路的不足，也能夠讓學生更好地認識到數學與生活的聯系. 筆者以為，在高中數學教學中堅持這一思路，對于學生的數學理解以及數學學科的核心素養提升來說是很有好處的，對于面對當前高考趨勢也是有幫助的. 基于這樣的思路，筆者建立了“尋找知識生活背景，走向數學思想方法”的教學思路，并進行了積極地實踐. 現以“直線的傾斜角與斜率”的教學為例，談談筆者的一些思考.

■生活知識如何成為數學學習的背景

數學知識本來源于生活，最初對數與形的研究，基本上都是從生活對象開始的. 隨著數學知識的高速發展，尤其是隨著數學研究中抽象思維運用得越來越充分，數學知識便超越了現實層面，成為真正的思維的學科. 但同時數學又一直沒有脫離生活，即使是當前最為前沿的數學知識，也為經濟社會發展中的各種模型的建立提供了理論基礎. 在高中數學教學中，進一步強調數學與生活的聯系，是可以在學生的思維中建立數學來源于生活且服務于生活的認識的，這從面向全體學生進行數學教學的角度來看，顯然可以讓更多的學生認識到數學學習的價值與魅力. 教學中的挑戰在于，如何讓生活知識真正有效地服務于數學學習，而不只是成為數學課堂上的點綴. 對此，筆者的探究心得有二：

第一，尋找數學知識的生活原型. 很多高中數學知識都可以在生活中尋找到生活原型，“直線的傾斜角與斜率”是高中解析幾何的基礎知識，作為入門階段的學習，將之建立在學生的生活經驗的基礎之上，有其必然性與合理性. 從數學意義的角度來看，傾斜角就是直角坐標系中直線與x軸相交之后，x軸的正方向與直線向上方向所形成的夾角. 從純粹的數學意義的角度來理解倒也不是很難，只是這種抽象的理解缺少形象性，對于入門階段的學習而言，不具有面向全體學生的意義. 而如果到生活中尋找原型，則可以化解這一不足. 筆者的做法是讓學生去比較生活中的一些物體的傾斜程度，并讓學生去尋找描述這種傾斜程度的方法. 顯然，學生在數學課堂上遇到這個問題的時候，自然會想到用數學知識去描述，于是學生所思考到的生活素材與數學知識之間就形成了聯系. 學生普遍地可以舉出生活中的斜坡、引橋等例子，并且可以不約而同地以坡面、橋面與水平面的夾角來作為描述傾斜程度的量. 在此基礎上，筆者將坡面、橋面以及水平面抽象成線，并將線移植到坐標系中，于是形象的生活對象就成為抽象的“形”，學習對象也就清晰、簡潔起來，傾斜角的建立也就順利很多了.

第二，從數學知識之間的聯系點切入，尋找生活為數學學習提供支撐的著力點. 筆者注意到，學生在數學學習中很少有意識地去主動尋求不同知識之間的聯系，甚至對于一些基本的數學觀念（比如數形結合），都缺乏必要的認識. 這可能與學生過多的習題訓練有關，也可能與教師教學中的滲透不足有關. 比如說在“直線的傾斜角與斜率”這一課的教學中，有一個基本的思想，就是代數與幾何的聯系的建立，其實是依靠坐標系來完成的，但很少有學生能認識到這一點. 而代數與幾何的聯系，實際上又是“數”與“形”的聯系，某種程度上可以理解為用“數”去描述“形”，用“形”去體現“數”. 于是筆者在上面所舉的例子的基礎上，特別強調生活中對坡面或橋面的研究，實際上是將具體的事物抽象為簡潔的圖形. 而要描述這個圖形，就必須借助于“數”這個語言，于是“數”與“形”之間就天然存在著密不可分的聯系. 這種聯系在高中數學學習中必須深刻體會，而一旦有所體會之后，就會認識到這其中有一個數學對象發揮著重要的作用，那就是坐標系. 有了這樣的引導，學生對數形結合這樣的重要思想往往就會有一個直觀的認識，而這樣的認識對于數學學習來說，積極意義是不言而喻的.

■生活知識走向數學思想方法的途徑

教學經驗還告訴我們，不等于將生活知識介入數學，學生就能夠順利地理解到數學思想，這其中還是存在著一個由此及彼的抵達途徑的. 對于這個問題，筆者也進行了研究.

第一，要認識到生活知識的最大作用在于直觀性及經驗性. 為什么數學教學中要強調與生活的聯系，就是因為文章開頭所說的數學知識自身的邏輯性與抽象性的存在，其會影響相當一部分抽象思維能力不強的學生的數學知識的構建. 而生活知識的介入，可以幫學生化解這個困難，可以讓學生的數學知識建立在形象的生活經驗的基礎之上. 盡管我們認為生活知識中的數學因子是有著豐富的數學思想方法的，但這種數學思想方法是不會直接體現出來的，其需要教師的引導. 這是生活知識與數學知識之間存在距離的理論分析.

第二，從生活知識走向數學思想方法，關鍵在于學生的“悟”，突破在于教師的“領”. 在“直線的傾斜角與斜率”一課的教學中，筆者后來還注意到有同行進行了一個細節的處理，那就是在傾斜角概念建立的時候，先將學生所舉出的坡度的例子進行一個形象化的分析，將坡的高度先定義為上升量，將對應的水平面的距離定義為前進量. 筆者覺得這對于學生的理解來說并不是一件難事，甚至實際教學中可以讓學生去對這兩個量取名字. 起初筆者在接觸到這個例子的時候，還感覺這個環節有些多余，后來越想越覺得有道理，因為我們強調尊重學生的生活體驗并在學生生活體驗的基礎上引用學生的生活知識，要的就是這種前置于數學概念之前的生活認識，而給兩個關鍵長度用生活語言進行定義的過程，就是教師的重要的引導方式. 有了這樣的引導，學生一般就可以有一些感悟：原來描述坡面的傾斜程度的時候，僅僅憑著視覺感覺是不夠的，還需要對其進行定義，還需要引入新的概念. 而當上升量與前進量引入之后不長的時間，就有學生認識到了這樣的生活定義還可以變得更簡潔一點，那就是用數學上已經學過的直角三角形的邊來描述，還有數學基礎更好的學生立馬意識到了應當用正切函數來進行描述. 這樣的一個過程，可以說在幾乎所有的學生的心中都奠定了直角三角形的基礎，余下的工作就只有一步了，那就是教師將學生的思維從直角三角形引向平面直角坐標系，而這一步由于有了前面的鋪墊，可以說是水到渠成的事情.

在這個過程中，可以肯定學生已經形成了這樣的一些默會的知識：其一，學生認識到描述生活對象是可以用數學語言的，而這就是數學思想的一種體現；其二，數學語言是可以由生活知識形成的，關鍵需要的就是自己的思考，尤其是將新問題與舊知識結合起來；其三，生活中感受到的常常是“形”，而“形”是需要用“數”來描述的，如果教師引導到位，學生其實可以在多個知識中認識到這一點.

■建立基于生活的數學教學實踐思路

數學思想方法無疑是數學教學的核心，但數學思想方法又不是一個空中樓閣，其是依靠數學知識而存在的. 學生的數學學習過程，顯然首先是數學知識學習的過程，數學思想方法的形成是伴隨著數學知識的構建過程的. 在這個教學過程中，由于應試壓力的存在，教師往往重知識而輕思想，但矛盾的是在學生解題困難的時候，往往又責怪學生的思維能力不夠，不懂數學思想，事實上這與日常教學是有關的.

建立基于生活的數學教學的實踐思路，是從教學觀念的角度樹立起生活是數學基礎的認識，這種認識筆者以為是十分必要的. 盡管高中數學教學壓力大，但從學生三年數學素養提升的角度來看，從一開始就強調數學與生活的聯系，實際上可以讓后面的數學教學越來越輕松. 可以夸張地講，沒有一個高中數學知識尋找不到生活的影子，當學生建構數學知識困難，或某個數學思想方法極為典型的時候，就需要引入生活元素，為學生的數學知識建構奠定一個堅實的基礎. 即使從應試的角度來看，這也是一個“磨刀不誤砍柴工”的奠基性工作，真正睿智的教師，是不會忽視從生活知識到數學思想這個有效途徑的.