以“勾股定理逆定理”為例，談初中數學教學難點的突破策略

陳康金

[摘 要] 如何突破教學難點體現了教師教學水平的高低，需要我們教師對教材有精準的把握，需要我們課堂活動的設計能夠有效激活學生的思維，需要我們設計的問題能夠切中概念的內涵與外延.

[關鍵詞] 初中數學；教學難點；問題；思維方法

我們知道，每節課都有教學難點和重點，很長一段時間，筆者將兩者看成是一回事，其實不然. 難點對學生的要求更高，教學難點在整節課的教學過程中是“瓶頸”，直接影響著學生對整個概念、規律的理解，教學難點的突破直接關系到教學效率的提升，那如何突破呢？筆者認為教學難點的突破不能強攻，而應浸潤. 本文結合“勾股定理逆定理”教學，就該話題談幾點筆者的看法.

綜合分析學情與教材，精準把握難點

我們要從整個教材的教學結構來看，看學生已經掌握了哪些知識，具備了哪些能力.

例如，對于“勾股定理逆定理”的教學，縱觀整個初中數學教學，學習這部分知識之前學生已經學習了“勾股定理”，他們通過作業和聯系，已經能夠應用勾股定理直接解決和證明與之相關的問題了，同時，在長期的數學學習過程中，探究性學習和總結問題的能力也有一定的基礎.

接著要思考學生還存在怎樣的不足.

從學生的學齡特征來看，初中生雖然能夠研究和解決問題，但是對問題的總結及概括還存在著不夠準確、表達不夠完整的現象，需要進一步訓練.

本節課的內容有哪些？流程如何？

從學生的知識基礎和能力基礎出發，本節課的內容有如下幾個方面：（1）引導學生經歷勾股定理逆定理的探究及證明過程；（2）體驗證明三角形為直角三角形的方法和過程；（3）學會應用勾股定理逆定理來判斷直角三角形.

這些內容中的難點在哪里？

從學生的學齡特點和我們教師的教學經驗來看，“勾股定理逆定理”的證明是難點，尤其是“從特殊走向一般”這一數學思想方法在證明過程中的應用與體驗. 當然，為了防止教師的主觀臆斷導致教學難點的偏離，我們在確立教學難點時還應該進一步研讀教師用書，因為這個就是教材編寫組課程專家寫給教師參考看的，對教學重點、難點的區分有一定的參考價值.

設計有趣的活動，悄無聲息破難點

確立教學難點容易，突破難點不易！在“生本教學”視域下，我們要突破教學難點不可強攻，而應該設置有趣的活動和生活化問題，將學生的思維“卷入”數學活動，潛移默化中完成對教學難點的突破.

例如“勾股定理逆定理”的導入情境設計，筆者給每組（兩名）同學發30根木棒，通過PPT投影活動任務（如圖1所示），請同學們擺出一個直角三角形.

設計意圖 借助可操作的活動，讓學生自己探究、體驗，收集第一手材料，形成初步的認知.

在學生有了認知基礎的基礎上，進一步提出問題，將學生的思維引向深處.

問題1 在大家擺的過程中，有幾組同學的擺法有如圖2、圖3所示的過程，大家根據圖中所給的信息，想一想：他們最后拼得的圖形都是直角三角形嗎？

設計意圖 從開課的引入環節來看，看似是一個游戲情境的活動設計，然而卻極具數學韻味，游戲味絲毫沒有沖淡數學味，反而讓數學與生活走得更近. 學生有簡短操作拼圖的過程，而更多的則是思考“圖2、圖3兩種拼圖為什么均可以得到直角三角形（最終拼出的結果如圖4）”這個問題，這對于學生來說具有挑戰性，學生在思考的過程中會涉及數學思想方法和原有認知的提取.

為了幫助學生從舊知識鏈接到新的知識進行學習，筆者設計了如下問題串，串接學生的思維.

問題2 如果有一個直角三角形，其直角邊分別為3和4，那么第三條邊的長等于多少？（學生借助勾股定理可以計算出第三邊的長為5）

問題3 圖2、圖3拼出的三角形的三條邊的長分別是多少？它們與問題2中的直角三角形全等嗎？

問題4 想一想：一個三角形的三條邊滿足怎樣的關系，我們就可以判定該三角形為直角三角形？

學生對問題有了思考之后，筆者安排學生證明如圖5和圖6所示的特例情況下的“勾股定理逆定理”，在學生證明的過程中強調“證明的格式”.

待學生證明后，可設置問題引導學生反思并滲透數學思想方法.

問題5 如何將問題“判斷一個三角形是直角三角形”進行轉化？

其實，問題的重心是只要這個三角形中有一個直角，該三角形便是直角三角形. 即問題可轉化為如何證明“三角形中的一個角是直角”的數學問題.

選擇例題，通過訓練促進知識內化

數學知識的內化必須經歷問題解決的過程，規律應用的過程可以促進學生將知識內化到原有的知識結構之中.

例如，當學生證明了“勾股定理逆定理”之后，為了深化認知，我們可以設計如下數學例題.

例1 分析下列幾組由線段a，b，c所組成的三角形，根據“勾股定理逆定理”來判斷其是不是直角三角形.

第一組：a=3，b=4，c=6；

第二組：a=2，b=3，c=3；

第三組：a=9，b=12，c=15；

第四組：a=12，b=16，c=20；

第五組：a=30，b=40，c=50；

第六組：a=300，b=400，c=500.

變式 在△ABC中，∠C=90°∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，請判斷以ka，kb，kc為三邊的三角形是否是直角三角形.

設計意圖 例1仍然屬于特例情況下的思考，學生可以根據“勾股定理逆定理”來判斷，也可以通過課堂伊始擺小棍的方式來完成. 當學生從例1中的幾組數據發現規律后，可以借助變式完成方法的提煉與歸納. 學生在問題的解決過程中會體會到逆定理的條件實際上是三角形中較短的兩邊的平方和等于最長邊的平方，這樣能促進勾股定理逆定理及其應用進一步被鞏固.

例2 若小蟲從A點出發，向正東方向爬行一段距離后到達B點，接著向左拐前行至C點，如果你只有一把刻度尺，你如何驗證小蟲現在前進的方向是否是正北方向？請說明理由.

追問 此時，如果你的刻度尺不足以量出AC的距離，你能想出其他的解決辦法嗎？

設計意圖 再一次將學生的思維從純數學問題拉向生活，在有趣的情境中運用規律，深化對規律內涵與外延的理解.

總的來說，我們在突破教學難點的過程中，無論是教學難點的確立，還是教學難點的突破，都必須針對學生的實情，必須循序漸進. 當然，初中數學在初中階段是一門稍復雜的學科，需要數學老師長久堅持，不停反思，扎實推進自己教學的每一個步驟. 大量的教學實踐也證明了：要想取得良好的教學效果，實現教學水平的提升，還需要我們教師不斷地反思，通過反思學生的學習過程和自己課堂上的動態行為，以更為準確地拿捏教學難點. 通過教學經驗的積累，不斷提高教學難點突破的效率，實現舉重若輕的教學效果.