數形結合思想在三角函數中的應用

吳懌晨

摘要：數與形是現代數學體系中的基礎概念，在解決高中實際數學問題時，常常通過觀察幾何圖形去解決代數問題，而幾何問題也能通過代數方法思考，因此“數形結合”的思想是數學中常用的技巧。三角函數是高中數學知識體系中較為抽象的內容，在學習和理解時面臨著許多困難和挑戰，而通過數形結合的思想，能將抽象概念與具象圖形聯系起來，從而讓三角函數解析過程化難為易。

關鍵詞：數形結合思想 三角函數 高中數學 應用

高中數學三角函數這一章節是大部分同學學習過程中的難點內容，函數解析式和函數值大小比較讓很多人頭痛，在學習這些知識時很多人無法領悟到抽象概念，做題幾乎處于模糊狀態。其原因與不理解三角函數圖像有關，以下將結合具體例題，通過數形結合思想解決三角函數的學習問題。

一、數形結合思想概述

我國數學界泰斗華羅庚曾針對數形結合思想作了一首著名的詩：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。”所謂數形結合思想，就是以數學問題的提出條件與結論之間的內在聯系為依據，對其代數與幾何意義進行分析，將數量關系與空間形式巧妙結合起來，并在此基礎上尋求解題之道的思想。“數”與“形”分別反應了事物一體兩面的屬性，具有整體意義，若單獨強調其中的某一項是沒有實際意義的。在高中數學三角函數的學習過程中，數形結合的主要應用就是將函數圖像應用到解題過程中，達到以形求數或以數化形的目的。

二、數形結合思想在高中三角函數解題中的具體應用

在三角函數的學習過程中，重難點主要存在于對函數公式的記憶、對函數值正負號的確認、函數值大小比較、定義域區間以及方程求根個數，在解題過程中只要能靈活運用數形結合的思想，通過畫出函數圖象輔助解題，并結合注意觀察象限就能一目了然的得出正確結果。

（一）函數定義域求解

在求解三角函數定義域過程中，數形結合思想主要是通過對函數特點進行分析，在保證函數式各部分均存在意義的前提下，列出對應的不等式，解析不等式后，取各個不等式的∩。具體解法包括單位圓法和函數圖象法兩種數形結合方法，前者是在單位圓中畫出對應的角，再標出邊界三角函數，取重疊區域；后者是在函數圖象中尋求符合條件的邊界角，再寫出相應集合。

三、結語

綜上，數形結合思想的實質在于代數與幾何問題的相互轉化，這就要求我們在平時注意總結三角函數的常用圖象、拋物線圖形以及各自的表示，并將其靈活運用到具體的解析式當中，從而加深對三角函數的理解，提升解題能力。

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（作者單位：湖南省長沙市第一中學）