保險賠付時間分布函數(shù)及實踐探究

嚴(yán)川東

【摘要】保險屬于一種風(fēng)險管理手段，是金融體系和社會保障體系的一個重要支柱，在越來越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。本文以財產(chǎn)險中的機動車險為例，對保險賠付時間分布函數(shù)進行了分析和討論，并就其實踐應(yīng)用進行了研究。

【關(guān)鍵詞】保險 賠付時間 分布函數(shù) 實踐

一、保險賠付時間分布函數(shù)

賠付時間，或者說理賠服務(wù)時間，是保險理賠中一個非常重要的內(nèi)容，這里以財產(chǎn)險中的車險為例，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)據(jù)收集和分析工作，分析保險理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)特征。數(shù)據(jù)從保監(jiān)局獲取，經(jīng)計算，在不同的保險公司中，車險理賠服務(wù)的平均時間為24.12天，其中最快時間為8.34天，最慢時間為55.67天，方差85.65。

利用MATLAB仿真軟件，對理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)進行擬合，得到如圖1結(jié)果。

結(jié)合上圖分析，使用以下四種分布擬合時，可以獲得較好的擬合效果：對數(shù)正態(tài)（Lognomal）分布，μ=3.10495，σ=0.40921；Lognomal分布，μ=23.8672，σ=5.3784；韋伯（Weibull）分布，a=27.1106，b=2.8281；伽瑪（Gamma）分布，a=6.5737，b=3.6688。以同樣方法對其他地區(qū)的理賠服務(wù)時間分布函數(shù)進行擬合分析，發(fā)現(xiàn)情況基本類似，表明上述四種分布擬合較好。保險理賠服務(wù)時間分布函數(shù)擬合效果相對較好時均為IFR分布類，因此保險理賠服務(wù)時間分布函數(shù)同樣具有IFR分布類的特征，由此可以對保險理賠服務(wù)時間分布函數(shù)的界值和應(yīng)用進行分析。

定理1：若保險理賠服務(wù)時間分布函數(shù)G（t）∈IFR，均值為α，則對于所有的t≥0而言，有e■I[0，α]≤1-G（t）≤e■，在公式中，I[0，α]（t）為示性函數(shù)，當(dāng)t的取值在[0，α]之間時，有I[0，α]（t）=1，其他情況下I[0，α]（t）的取值為0；當(dāng)t>α?xí)r，ω是方程1-ω=e■的最大跟，同時滿足0<ω<1。

二、保險賠付時間分布函數(shù)的實踐應(yīng)用

理賠服務(wù)時間對保險業(yè)務(wù)中的許多指標(biāo)都有著不容忽視的影響，尤其是對于財產(chǎn)保險而言，理賠存在較強的不確定性，保險理賠服務(wù)時間對于準(zhǔn)備金、償付能力等有著非常直觀的影響。例如，在進行準(zhǔn)備金計提時，需要將理賠服務(wù)時間作為計算和評估未決賠償準(zhǔn)備金的重要指標(biāo)。

如果保單組合的損失個數(shù)是參數(shù)為λ的Poisson流，且有λ>0，則X服從負(fù)指數(shù)分布函數(shù)H（t），同時當(dāng)理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)為G（t）時，可以構(gòu)建相應(yīng)的排隊數(shù)學(xué)模型：參數(shù)為λ（λ>0）的Poisson流為排隊系統(tǒng)的到達過程，理賠人員足夠多且理賠服務(wù)時間具備一般分布G（t）。該排隊數(shù)學(xué)模型與M/G/∞排隊系統(tǒng)相互對應(yīng)。在有關(guān)研究中，結(jié)合排隊理論，針對未決賠償準(zhǔn)備金進行了研究，將保險理賠服務(wù)時間假設(shè)為負(fù)指數(shù)分布，并以此為背景對未決賠償準(zhǔn)備金的分布和界值進行了研究和討論。不過通過分析可知，負(fù)指數(shù)分布情況下，并不能獲得理想的理賠服務(wù)時間實際數(shù)據(jù)擬合效果，換言之，會在一定程度上影響研究結(jié)果的有效性。對此，本文基于擬合效果更好的理賠服務(wù)時間分布函數(shù)，針對未決賠款準(zhǔn)備金的分布和界值進行重新研究，以保證預(yù)估值的準(zhǔn)確性和有效性。

從相關(guān)研究結(jié)論中提取有用信息，可以得到相應(yīng)的引理：如果保單組合的損失發(fā)生個數(shù)是參數(shù)為λ（λ>0）的Poisson流，對于任意t1≥0，該時刻所需要計提的未決賠款準(zhǔn)備金分布函數(shù)為：I（x，t1）=■■e-λt1pF（i）（x）在公式中，有p=■[1-G（t1-t）]dH（t），F(xiàn)（i）表示一次損失賠付額分布函數(shù)F（x）的i重卷積。有相應(yīng)的分析和研究結(jié)果，提出幾個基本定理，并對其進行證明。

定理2：如果保單組合的損失發(fā)生個數(shù)是參數(shù)為λ（λ>0）的Poisson流，理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)為G（t）∈IFR，同時均值為α?xí)r，使得p=■[1-G（t1-t）]dH（t），則有①如果t1≥α，p≤■（e-λt-e■），在公式中，ω是方程1-ω=e■的最大跟，同時滿足0<ω<1；②如果t1≤α，p≥■（e-λt-e■）。證明：由p=■[1-G（t1-t）]dH（t），結(jié)合定理1的相關(guān)內(nèi)容，可以對定理2進行證明。

定理3：如果保單組合的損失發(fā)生個數(shù)是參數(shù)為λ（λ>0）的Poisson流，理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)為G（t）∈IFR，同時均值為α?xí)r，對任意0≤t1≤α，在t1時刻需要計提的未決賠款準(zhǔn)備金分布函數(shù)為：I（x，t1）≤e■。證明：由F（i）（x）≤[F（x）]i，結(jié)合引理以及定理2中的性質(zhì)，可以求得當(dāng)0≤t1≤α?xí)r：I（x，t1）≤e-λt1p（1-F（x））≤e■。

結(jié)合上述定理，對相關(guān)案例進分析，可以比較簡單的求得未決賠款準(zhǔn)備金的分布函數(shù)，從而為準(zhǔn)備金的合理計提以及保險工作的順利開展提供參考依據(jù)。在保險實務(wù)中，即使無法準(zhǔn)確獲得保險理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)，只需要結(jié)合相應(yīng)的數(shù)據(jù)，得到保險理賠服務(wù)的平均時間，利用上述定理，同樣能夠得到未決賠款準(zhǔn)備金分布函數(shù)的有效界值，為保險實務(wù)以及保險監(jiān)管工作提供必要的參考。

三、結(jié)語

總而言之，保險在我國社會發(fā)展中發(fā)揮著風(fēng)險管控的作用，其影響深入到了人們生活的方方面面，而在保險業(yè)務(wù)中，賠付時間是一個非常重要的參數(shù)指標(biāo)，直接影響著保險服務(wù)的質(zhì)量和保險公司的信譽。本文以財產(chǎn)保險中的車險為例，對理賠服務(wù)時間的分布函數(shù)以及分布類性質(zhì)進行了分析和研究，從其所屬分布類的性質(zhì)出發(fā)，對相應(yīng)的界值進行了分析，并且以此為依據(jù)，得出了未決賠款準(zhǔn)備金分布函數(shù)和界值的計算方法，并結(jié)合實例，對結(jié)論的準(zhǔn)確性進行了驗證。不過，該結(jié)論僅局限于車險，是否適用于所有險種，尚需進一步的驗證分析。

參考文獻：

[1]董文，彭錦.不確定環(huán)境下的幾類保險理賠分布[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報，2010，（3）.