當前關于強調數學證明的思考與教學實踐

范自強

[摘 要]本文從數學證明在數學發展和人才培養的意義出發，從當前數學證明在教學中的地位著手，對數學證明的教學進行了探索與實踐，取得了一些成果。

[關鍵詞]數學證明；人才培養；數學教學

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）05-0025-03

恩格斯將數學定義為：數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。即使從現在的觀點看，這個定義仍有一定的合理性。從這個概念出發，可知數學的應用非常廣泛，是學習現代科學技術必不可少的基礎。不管作為理科學生還是工科學生，要想深刻理解、掌握本學科知識，就必須學好數學。數學證明，就是在數學邏輯的基礎上，根據相應的公理、定理、法則等驗證與之有關的數學結論正確與否的思維活動。數學證明在數學發展中所起的作用決定了學習數學離不開數學證明。

一、數學證明在數學發展中的作用

數學命題常常是通過觀察、實驗或特例等得到的，但是，這些直觀而并不嚴謹的數學方法，也不能判斷命題的正確性。數學證明就是在特定的題設條件下，通過引用一些真命題，經過嚴格的邏輯推理方法進行的，具有無可辯駁的說服力，可以核實一個命題的真假。在數學史上，有些數學結論的發現本身就是從數學證明開始的。例如拓撲學和圖論是歐拉通過解決“哥尼斯堡七橋問題”的研究時提出的。非歐幾何是數學家通過企圖證明歐氏幾何第五公設問題時發現的。又如通過對群、環、模等同態基本定理的證明，發展了應用非常廣泛的數學基礎理論——范疇理論。因而，我們可以判定，通過數學證明能發現新的數學結論。我們知道證明一個數學命題需要靈活的運用相應的數學知識、數學定理或者公理，通過數學證明，在驗證數學命題正確性的同時，可以加深對證明過程中所涉及的數學知識的理解，以及與要證明的命題之間的聯系，使所學知識系統化，故數學證明有助于增進理解包括增進對所證命題的理解以及在證明該命題過程中所用到的相關的數學知識的理解。

二、數學證明在人才培養中的意義

數學證明是一種演繹證明，在證明過程中每一步都力求有理有據，表達準確，因而數學證明可以訓練和培養學生嚴謹的邏輯思維能力，而嚴謹的思維方式對學生和科技工作者至關重要。當年錢學森院士檢查中國科學技術大學力學系三年級學生的學習情況后認為學生的數學基礎不太好，決定在學生大四時再增加一年高等數學的學習。我們知道中國科學技術大學歷來非常重視數學教學，對數學證明和數學概念的教學要求相當高，例如作為微積分理論基礎的實數理論在中國科學技術大學是數學教學的重點（在一般院校，這部分內容并不作為必要的教學內容，甚至在教材編寫中不出現相關知識點）。據中國科學技術大學統計，到2011年為止，中國科學技術大學為我國貢獻了52名院士，平均每年的畢業生中都有一位院士。又如中國科學技術大學少年班的學生不管以后學什么專業，他們均學習數學分析，高等代數。我們知道數學分析，高等代數與高等數學，線性代數的不同之處是重視概念的分析，定理的證明，2014年中國科學技術大學對歷年少年班畢業生做了簡單統計發現，超過10%的畢業生在國內外著名大學任教授職位，從質量培養的角度上可以說中國科學技術大學的人才培養是成功的。從網上搜到的材料看，在人才培養上，如果說中國科學技術大學與大部分高校有區別的話，那就是數學教學上嚴謹一些，深入一些。從而可知，中國科學技術大學人才培養的成功與數學教學有很大的關系。

三、數學證明在數學教學中的尷尬地位

我們知道數學教學包括數學知識、數學技術、數學思維方式等的教學。這些既是學生進一步學習現代化科學技術所必需的數學基本知識和基本技能，又是培養學生的運算能力、邏輯思維能力，以及分析問題和解決問題能力的課程。隨著科學技術的發展，知識的更新，在教學過程中，不同時代的教學側重點應有所不同，數學也不例外。我們都知道，隨著計算機的發展和普及，計算軟件得到充分發展，這樣許多在人工計算的情況下非常復雜或需要高度技巧的數學計算，現在用計算軟件很容易解決，而且一般不會出現錯誤。因而筆者認為當前數學教學中，數學計算的教學是數學教學的重點，但不應再是數學教學的核心，核心應該轉化為數學思維方式的教學，而數學證明與數學概念恰是思維方式的最好體現。 然而當前我國數學教學從中學到大學都不太被重視，甚至在教學中直接忽略了數學概念和數學證明。2014年8月26日在中國科學技術大學舉辦的“中學教師回大學”的活動上，楊樂院士對于中學數學教育談了幾點自己的看法后，許多來自全國各地的中學數學教師紛紛向楊老發出“救救數學”的呼聲。對這些一線教育工作者來說，如今最擔憂的不是學生討厭數學，怕數學，而是“不接地氣”的課改，中學數學教學正陷入一場“重技巧輕基礎”，“老師難教，學生怕學”的困局。當前的中學數學教育，刪去或淡化了不少在教師們看來本不該淡化和刪減的東西。我們知道，關于數學證明的正式教學開始于初中階段的平面幾何的教學，不管是數學工作者還是數學水平較高的科技工作者對平面幾何中的證明，對數學思維的影響都有深刻體會。筆者最近找出初中數學課本看看，初中所教授的平面幾何，很大程度上是“比比劃劃，做點實驗”，很難突出平面幾何的本質。我們知道平面幾何是邏輯性非常強的學科，這導致不少大學生需要“補課”。 楊老自己也遇到一些數學專業的大學生和研究生甚至不清楚什么是“定理已經證明完了”，這就和他們沒有經過嚴格的平面幾何訓練有關。平面幾何不僅對直觀的想象能力，對問題的分析能力有幫助，在訓練學生嚴謹的推理能力上的作用，恐怕是其他課程難以取代的。

高等數學是重要的大學基礎課程，在教學過程中除了教給學生后繼課程和工作以后所需要的數學知識外，更重要的是培養學生的分析問題能力，推理能力以及創新意識和能力，引導學生用所學的數學知識和方法去觀察、分析、解決問題。數學證明的教學和訓練最能體現培養學生的分析問題能力，推理能力以及創新意識和能力，因而應該加強這方面的教學，特別是在計算技術已經得到充分發展的今天。從教師的角度上，數學證明的教學并不像數學概念和數學計算的教學那么容易，而是數學教學的難點。隨著高校的擴招，學生的科學素質相應有所下降，而學生就業時在校成績是找工作，展示能力的重要證據之一，因而很多學校都盡可能地降低補考率。由于數學證明題是大多數學生拿不到分數的題目，為了提高學生成績和通過率，許多高校的數學考試都不考或少考證明題，導致許多教師在課堂也盡量不講定理證明和數學證明的例題。從學生的角度看，數學證明是數學學習的難點，自然學生學起來不容易，學生不知道怎樣想，找不到證明的思路，有時，即使有證明思路，也不知道如何組織證明。從教材建設的角度上看，現在許多教師認為，應該把現行教材中一些過于繁瑣的推理和論述刪掉，盡量壓縮一些對非數學專業學生“不需要深刻理解”的概念和證明，僅僅用語言簡單陳述一下就可以了，因而近幾年的教材編寫也盡量淡化數學概念和數學證明。

四、數學證明的教學實踐及教學經驗

為了提高學生的學習興趣，又可以達到強調數學證明的目的，這里以一個實例的形式，闡述我們的做法。

簡單講一下數學結論的來源。我們知道數學教學的主要目的是，培養學生在科研和生活中遇到的現實問題，需要某方面的數學知識來解決時，能夠利用所學的數學知識去解決相應問題。我們知道許多數學命題就來源于現實，例如牛頓-萊布尼茨定理，牛頓的想法來源于路程與速度的關系的現實問題。設物體的距離和速度隨時間的變化的關系式分別為s（t），v（t），我們知道物體的速度是距離函數的導數，即s'（t）=v（t），而物體在時間段[a，b]之間的距離為s（b）-s（a）= v（t）dt。而萊布尼茨的想法來源于面積求法的現實問題，由區間[a，b]上的函數f（t）構成曲邊梯形下的面積S（b）-S（a）= f（t）dt，而面積函數S（x）的導數是函數f（x），即S'（x）=f（x）。這樣的問題在數學定理的證明中是比較普遍的，因而在證明定理時，講清背景，不論對學生思路的啟發，還是理清證明思路都是有好處的，更主要的是，要讓學生在生活中不忽略任何細節。

再談談數學證明的思路及證明過程。由上面的分析知道，物體在時間段[a，x]之間的距離為S（x）-S（a）=

v（t）dt，是速度函數的v（t）的變上限函數。同樣以函數f（t）為頂構成的曲邊梯形位于區間[a，x]的面積S（x）也是函數f（t）的變上限函數，由此可知牛頓-萊布尼茨定理的證明中引入函數f（t）的變上限函數Φ（x）= f（t）dt是比較自然的了。然后討論變上限函數Φ（x）的連續性，可導性，最后完成定理證明。

五、結論

通過對數學證明的教學探索和實踐，從下面幾個方面看，取得了相當不錯的教學效果。

從學生的課堂反應看，通過對我校電氣、機械、土木、數學專業的1000多名學生的問卷調查可看出，許多學生都認為這樣教學，使數學的內容容易接受，沒那么抽象，數學的證明不再是難以理解的。學生的上課積極性比前幾屆有很大提高，課堂上學生的反應較前幾屆學生活躍。

從學生的考試成績和競賽成績看，通過近兩年的四次期末考試可知，學生的考試成績好于前幾屆，補考的學生明顯減少。近幾年參加各種競賽獲得的成績也比較好：在全國大學生數學競賽（專業組）中，到2015年為止共獲得了二等獎兩項，三等獎八項。由于我校歷年來招生數量較少，每屆僅一個或兩個教學班，而且和中國科學技術大學、合肥工業大學等名校的學生在同一組比賽，能獲獎確實是件不容易的事。從安徽省數學會網頁上可以看出，在安徽省高校中，除了中國科學技術大學和合肥工業大學外，其他獲獎的高校很少，因而從一定程度上講，這樣的教學效果還是比較明顯的。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 波斯特著，賀俊杰，鐵紅玲譯.數學證明之美 [M].長沙：湖南科技出版社，2012.

[2] 蕭文強.數學證明[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

[3] D. J.Velleman，How to Prove It： A Structured Approach[M].北京：人民郵電出版社，2009.

[4] 王申懷.數學證明的教育價值[J].課程·教材·教法，2000（5）.

[5] 安徽數學會網頁http：//math.ustc.edu.cn/ahmath/academician.htm.

[責任編輯：鐘 嵐]