張棟梁

[摘 要] 高中數學教學中，教師通常以問題鏈的形式來引導學生循序漸進、構建認知. 本文聯系教學實際，探討了高中數學問題鏈的設計原則和策略.

[關鍵詞] 高中數學；問題鏈；設計原則；設計策略

問題是數學研究與發展的中心，在高中數學教學中，問題同樣是助力學生的能力不斷提升的臺階. 教師在課堂通過問題來啟發學生的思維，調動他們的求知欲，進而促成他們解決問題能力的提升. 當前教學中，我們通常以問題鏈的形式來引導學生循序漸進、構建認知，那么如何更加有效地設計問題鏈呢？筆者對此談幾點個人的認識.

[?] 高中數學問題鏈的設計原則

高中數學問題鏈的設計原則就是教師在設計問題鏈時所要遵循的基本要求和準則.

1. 最近發展區原則

教師設計問題鏈要充分結合學生最近發展區的特點，讓學生在“跳一跳”的過程中“摘到桃子”. 要做到這一點，就要求教師充分了解學生的認知水平和現有能力，知道學生的學習難點所在，從而以問題鏈的形式予以重點引導，幫助學生打開思維.

例如，引導學生認識“函數的概念”，其實這對高一的學生而言并不是一個陌生的知識點，他們在初中已經有過很好的認識. 教師就可以通過問題鏈引導學生回顧初中已學的一次函數、二次函數、反比例函數等特點，由此切入，進而幫助學生從中體會數集與數集的對應關系，用高中的知識框架重新來解讀函數的概念.

2. 循序漸進的原則

學生探索數學問題、發展數學能力本身就是一個由淺入深、循序漸進的過程，而問題鏈教學法的根本目的就是要通過環環相扣、層層推進的問題來引導學生按照科學的規律來建構數學認知. 所以教師在設計問題鏈時，務必要結合學生的認知規律，注意問題的難度、梯度和呈現次序，由此讓學生在問題處理的過程中，也能積極體會數學學習的一般規律.

例如，和學生講解一些高難度問題時，教師要善于對問題進行分解，將一個較難的問題分解為若干個難度中等而又逐步深入的問題，由此降低問題解決的難度，引導學生突破難點，實現問題的解決.

[?] 高中數學問題鏈的設計策略

相比于原則，策略更像是一種方法性的指南，好的策略能指引我們設計出好的實用性問題鏈. 結合基本原則，聯系教學實際，筆者認為高中數學問題鏈的設計策略有以下幾點.

1. 結合學生的探究需要設計問題鏈

學生內心深處都存在這樣的需求——希望自己成為一名發現者、研究者和探究者. 而教師就可以通過問題設計來激起學生的這種欲望，啟發學生進行思考，將理解知識和建構知識的任務交由學生來完成，教師則積極適應角色轉換，以引導者的身份出現在課堂上.

例如，“二元一次不等式表示平面區域”這節課的教學，我們可以設置如下情境：班級準備籌備聯歡晚會，選擇既美觀又經濟，單價分別是2元和1元的大、小彩球布置會場，計劃用少于100元的錢購買，從會場的大小來看，大球數不少于10個，小球數不少于20個，請你結合上述各項要求設計出可行的購買方案.

根據這樣的情境，學生設元（設大球數為x，小球數為y），列式如下：

2x+y<100?2x+y-100<0，

x≥10，

x≥10

x≥20，

x∈N+，

y∈N+.

思考后可以求出若干組不同的解，如x=10，

y=20，x=20，

y=30，x=30，

y=30，x=32，

y=28……這些解都滿足2x+y-100<0.

由此出發介紹二元一次不等式和二元一次不等式組，新的問題隨之而來，并成為課堂的生長點.

問題1：如何解二元一次不等式和二元一次不等式組？

問題2：二元一次不等式的解集表示什么區域？如2x+y-100<0，前面得到的解作為直角坐標系中點的坐標的話，這些點分布在怎樣的區域？

問題3：直線2x+y-100=0右上方及左下方的平面區域分別如何表示？

這些問題是學生在對情境的分析過程中自然呈現出來的，而且問題與問題之間存在著有效鏈接新舊知識的樞紐作用（如問題2和問題3），這樣的問題鏈從課堂的一開始就給學生創設了一個較佳的學習認知環境.

2. 結合學生的認知基礎設計問題鏈

建構主義認為，認知的建構過程在于學生通過新舊經驗之間雙向的、反復的作用，從而建立并完善自己的經驗結構. 高中數學的許多概念之間有著體系化的聯系，教師如果能由新舊知識的連接點切入，設計問題鏈，引導學生立足于已有認知基礎，同時有效激活舊知識的延伸活力，使其成為新知識成長的根基，進而在問題鏈的引導下逐步掌握新的知識和方法.

例如，在“數列”一課，當學生已經明確數列的定義之后，教師可以設計以下問題鏈：

問題1：函數和數列有什么關系？

問題2：函數和數列有什么差別？

問題3：已知某個數列{an}的通項公式為an=-n2+7n+8，請判斷15是否是該數列的項.

問題4：已知某個數列{an}的通項公式為an=-n2+7n+8，試求該數列的最大項.

在系統化學習數列之前，學生對函數已經有了較為扎實的基礎，教師由此出發，將其作為數列認知的生長點，讓學生體會到數列也是一類特殊的函數，由此積極地以函數的視角來研究數列，用處理函數問題的方法來處理數列的問題.

3. 結合數學實驗來設計問題鏈

為了有效激活學生的獨立思維和創新意識，教師要能在數學課堂上靈活運用各類教學手段，培養學生的信息收集和處理能力，進而建構新的認知，掌握新的方法. 傳統的數學課堂上，我們過分側重于教師的講和學生的聽，這樣的模式無法充分帶動學生的思考，學生始終處于被動聽講的地位. 結合數學實驗設計問題鏈進行教學能徹底變革上述教學模式，所謂“數學實驗”就是利用各類數學軟件，如幾何畫板、圖形計算器等，讓學生自己動手操作，并在此過程中觀察、推理、分析和證明，從而解決數學問題，實現數學認知. 教師要積極創造條件，讓學生能充分地投入到實踐操作中，讓學生的被動學習轉變為主動學習.

例如，關于“冪函數”的教學，傳統的教學方式是讓學生用“描點法”繪出圖像，然后直接提供冪函數的概念和表達式，一切都有一種強加于人的感覺，學生也會產生很多模糊的認識，比如為什么一定要對指數的不同取值情形進行討論，他們的學習過程非常被動. 但是如果讓學生自己選擇指數的不同取值，通過幾何畫板畫出圖像，學生將對冪函數產生更加直觀的認識，然后教師在引導學生運用幾何畫板在同一個坐標系中畫出不同指數的函數圖像；同時再提供階梯性的問題鏈，由此學生在問題的引領下，深入觀察和對比函數圖像的有關特點，進而實現“數”與“形”的完美統一，讓學生充分經歷“觀察→猜想→論證”的過程，讓他們由感性認知過渡到形象化思維，再提升到抽象思維.

4. 借助習題的變式設計問題鏈

變式教學是教師在組織學生解決數學問題時，變更有關概念中的非本質特點，或是變更問題的條件和結論，或是變更問題的內容和形式，抑或是變更問題的情境，使得學生在問題處理中能達到舉一反三、觸類旁通的效果. 變式也是我們進行問題鏈組織的有效手段，從不同的角度、以不同的方式來設計問題，能培養學生靈活善變的思維能力，同時也能促使學生自發地對比情境和概念，深化數學知識的理解.

例如，在學習等差數列和等比數列的通項公式之后，教師可以通過問題變式來設計以下問題鏈：

問題1：已知a=1，an+1=2an（n∈N*），試求數列{an}的通項公式；

問題2：已知a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），試求數列{an}的通項公式；

問題3：已知a1=1，an+1=2an+n（n∈N*），試求數列{an}的通項公式；

問題4：已知a1=1，an+1=2an+kn+b（k，b為常數，n∈N*），試求數列{an}的通項公式；

問題5：已知a1=1，an+1=2an+2n+1（n∈N*），試求數列{an}的通項公式.

通過問題的變式可以讓原本孤立而具體的問題顯得比較抽象，由此能強化學生的抽象思維能力，并且通過處理這些似是而非的問題，學生也將在變和沒變的過程中感悟數學思維的靈動.