數(shù)學(xué)教學(xué)中思維導(dǎo)圖教學(xué)法的實踐與思考

錢琳

[摘 要] 思維導(dǎo)圖教學(xué)法是一種以圖形作為載體，以知識主次、輕重程度作為枝葉發(fā)散的一種思維訓(xùn)練法.其與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進行結(jié)合，有助于提高教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞] 思維導(dǎo)圖；數(shù)學(xué)；函數(shù)；數(shù)列；教學(xué)

美國圖論學(xué)者哈里有一句名言：As a map of thousands and thousands of words. 譯成中文就是：千言萬語不如一張圖. 這與課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“數(shù)學(xué)需要恰當(dāng)?shù)男问交⑤o以非形式化手段進行合理的教學(xué)”有如出一轍的道理. 思維導(dǎo)圖的創(chuàng)立者、英國心理學(xué)家巴贊正是基于大量的實踐研究，提出了學(xué)習(xí)需要利用圖形使其更有條理的策略，這讓這種思維訓(xùn)練方式風(fēng)靡全球.

從高中數(shù)學(xué)角度來看，其擁有紛繁復(fù)雜的知識點，并且我們發(fā)現(xiàn)在復(fù)習(xí)階段，這些知識點一條條的羅列，讓學(xué)生記憶、理解這些知識失去了條理性和規(guī)律性，使得這么多知識以單一的形態(tài)呈現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了效率. 簡單地說，思維導(dǎo)圖是一種利用圖形化策略表達思維軌跡的圖形工具. 按照哈里的觀點，每一張思維導(dǎo)圖是圍繞一個主題進行設(shè)計創(chuàng)編的，若有多個主題，自然需要多張思維導(dǎo)圖進行設(shè)計. 一般來說，知識點就是數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖的中心，其概念、性質(zhì)、公式等成為中心的多條輻射路線，組成一個思維核心. 這一教學(xué)方式比較普遍運用于國外教學(xué)機構(gòu)，其避免了教學(xué)中出現(xiàn)的兩種極端學(xué)習(xí)方式：第一，上課不抄筆記，導(dǎo)致不斷遺忘，學(xué)習(xí)效率低下；第二，上課不停抄寫筆記，沒有時間思考，思維啟發(fā)和理解缺失. 思維導(dǎo)圖正是將這些不足進行了合理的劃分，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中顯得更有針對性和目的性.

為何需要思維導(dǎo)圖

中學(xué)數(shù)學(xué)分為兩個教學(xué)階段：初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué). 從教材內(nèi)容來看，初中數(shù)學(xué)更多是以感性的架構(gòu)承載知識，讓學(xué)生獲得一步一步走向形式化的學(xué)習(xí)途徑；而高中數(shù)學(xué)相比而言來得更為抽象，西南師大陳重穆等教授一直對當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)過于抽象、形式化的過程和結(jié)論提出了不同的意見，認為其阻礙了更多學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)的道路. 從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來說，筆者也非常認同這樣的想法. 陳教授提出了以重要核心知識點為中心，以其發(fā)散形成思維導(dǎo)圖，將多個重要核心知識銜接形成導(dǎo)圖群的想法.

為何要這么做？這與學(xué)習(xí)知識日益增多以及學(xué)習(xí)時間日益減少有關(guān). 從課程改革多次以來，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容有增無減，以往傳統(tǒng)經(jīng)典內(nèi)容加上大學(xué)初步都進入高中數(shù)學(xué)教材必修與選修，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程中知識體系紛繁復(fù)雜、凌亂無比，亟需高效的思維工具進行梳理和提煉.這是思維導(dǎo)圖進入數(shù)學(xué)教學(xué)的重要因素之一.

以二次函數(shù)為例，對于剛剛進入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)頭腦中對二次函數(shù)知識點的思維導(dǎo)圖，可以從其定義、圖像和性質(zhì)、解析式常見的四種求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用建構(gòu)二次函數(shù)在我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中的主要作用和地位.

在這一基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的函數(shù)性質(zhì)之后，筆者請學(xué)生也繪制了相關(guān)知識的思維導(dǎo)圖：從函數(shù)性質(zhì)的角度而言，函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)最基本的三大性質(zhì)，其地位也是逐漸遞減，并指導(dǎo)學(xué)生認知單調(diào)性的主要作用是研究函數(shù)的最值，奇偶性的主要作用是事倍功半，周期性的主要作用是循環(huán)往復(fù). 讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，將一系列相關(guān)性質(zhì)繪制成思維導(dǎo)圖（圖2為學(xué)生繪制），學(xué)生還將抽象函數(shù)中的奇偶性、周期性的相關(guān)公式在導(dǎo)圖中進行復(fù)習(xí)鞏固. 從這一思維導(dǎo)圖來看，制作顯得比較粗糙，但是總體上讓學(xué)生自身對于函數(shù)相關(guān)的重要性質(zhì)有了清晰的認識，是一種非常有效的思維工具.

如何制作思維導(dǎo)圖

對于章節(jié)性的思維導(dǎo)圖制作，相對而言一般比較簡單，甚至有很多相關(guān)資料可以參考. 筆者認為，這是傳統(tǒng)的思維導(dǎo)圖制作的常見結(jié)論，如何制作更具有目的性的思維導(dǎo)圖？如何制作符合學(xué)生在具體解決數(shù)學(xué)實際問題的思維導(dǎo)圖？這才是符合數(shù)學(xué)教學(xué)、與時俱進的思維導(dǎo)圖，其具備了數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐性.以數(shù)列構(gòu)造求解通項為例，教師設(shè)計問題串，通過問題串的解決，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)遞推數(shù)列求解通項的思維導(dǎo)圖的設(shè)計.

問題1：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

分析：令an+λn+u=2[an-1+λ（n-1）+u]，整理得an=2an-1+λn-2λ+u. 由待定系數(shù)法得λ=1，-2λ+u=-2，得λ=1，u=0.所以an+n=2[an-1+（n-1）]（n≥2），即{an+n}是以a1+1為首項，2為公比的等比數(shù)列，得an=2n-n.

問題2：{an}滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

分析：由an+1=2an+n2及上述構(gòu)造，令an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+v-u-λ.由待定系數(shù)法得λ=1，u-2λ=0，v-u-λ=0，得λ=1，u=2，v=3，所以=2，即{an+n2+2n+3}是以a1+1+2+3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=7·2n-1-n2-2n-3.

問題3：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列. （1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.

分析：由2Sn=an+1-2n+1+1可得2Sn-1=an-2n+1（n≥2），兩式相減可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n. 運用整體思想，an+1=3an+2n？圯an+1+2n+1=3（an+2n），所以數(shù)列{an+2n}（n≥2）是一個以a2+4為首項，3為公比的等比數(shù)列. 由2a1=a2-3可得a2=5，所以an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2）. 當(dāng)n=1時，a1=1也滿足. 故數(shù)列{an}的通項公式是an=3n-2n.

問題4：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn. （1）證明：當(dāng)b=2時，{an-n·2n-1}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項公式.

分析：由題意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1，兩式相減得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1，即an+1=ban+2n？搖①.

（1）當(dāng)b=2時，由①知an+1=2an+2n. 令an+1+λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易得λ=-. 所以{an-n·2n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.

（2）當(dāng)b=2時，由（1）知an=（n+1）2n-1；當(dāng)b≠2時，同理得an+1+λ2n+1=b（an+λ2n），λ=-，易得an=[2n+（2-2b）bn-1].

說明：請學(xué)生制作相關(guān)思維導(dǎo)圖，在上述問題串中以等比構(gòu)造為主的遞推通項求解中，我們不難發(fā)現(xiàn)形如an+1=pan+f（n）一類問題的通項求解都有一定的規(guī)律可循. 這種規(guī)律將f（n）變換為不同函數(shù)模型情況下的問題進行了思維總結(jié)，無論是常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，還是指數(shù)函數(shù)，都可以利用整體性思想進行思考和總結(jié). 這種思維導(dǎo)圖具備了解題的實效性，對于中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言是必不可少的歸納和思考. 將問題解決的過程以單元存儲的方式進行思維導(dǎo)圖總結(jié)，有助于知識的擴散和思維的啟迪，有興趣的讀者可以進一步思考f（n）能否是對數(shù)函數(shù)模型，能否是對勾函數(shù)模型，能否都是高次函數(shù)模型. 這些思維導(dǎo)圖結(jié)合具體數(shù)學(xué)解題知識的建構(gòu)是中學(xué)數(shù)學(xué)最為有效的實踐.

一點思考

思維導(dǎo)圖是一個流行于全球的思維工具，其在其他學(xué)科也有著較為廣泛的運用. 從今天數(shù)學(xué)教學(xué)來看，筆者以為其有著不錯的使用價值. 筆者記得在大學(xué)就讀時，復(fù)變函數(shù)的教授就曾經(jīng)讓筆者給復(fù)變知識體系繪制過思維導(dǎo)圖，在整體層面上對復(fù)變函數(shù)有了新的理解.

從中學(xué)數(shù)學(xué)實踐來看，筆者有了一些思考：

（1）整章型的思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生認知知識體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，理清知識脈絡(luò)，對其站在系統(tǒng)的角度思考知識的重要性有著不小的作用.

（2）對于中學(xué)生更為重要的是單一知識的思維導(dǎo)圖，特別是解題的實踐運用和總結(jié)，如文中給出的問題串求解數(shù)列模型，并在最后請學(xué)生將思維進行導(dǎo)圖型總結(jié)，這種以案例式為載體的導(dǎo)圖建構(gòu)大大理清了數(shù)學(xué)知識難點的困惑，提高了應(yīng)試的有效性.

限于篇幅和水平，筆者未能在其他方面做出更全面性的認知，懇請讀者提出相關(guān)的寶貴意見，對思維導(dǎo)圖在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用指出更為有效的使用價值.