勤反思，抓要點(diǎn)，促轉(zhuǎn)化

龔建國(guó)

【摘要】初中學(xué)生初步接觸幾何推理，由于知識(shí)和能力的局限性，感到學(xué)習(xí)困難.本文以“平行線判定和性質(zhì)”內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐為例，反思在幾何教學(xué)入門(mén)中，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循教與學(xué)的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律，凸顯方法規(guī)律，由易到難，由簡(jiǎn)到繁，進(jìn)行循環(huán)遞進(jìn)式的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】初中幾何教學(xué)；平行線；角；轉(zhuǎn)化

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：七年級(jí)數(shù)學(xué)要開(kāi)始培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、畫(huà)圖能力以及符號(hào)的轉(zhuǎn)換能力和推理能力，為今后幾何的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).但說(shuō)到幾何題，學(xué)生普遍的感覺(jué)就是“幾何，幾何，想破腦殼”.不僅學(xué)生覺(jué)得難學(xué)，不少教師也認(rèn)為幾何不好教，教與學(xué)都存在一定的困難.

一、困難成因

首先，為什么學(xué)生會(huì)認(rèn)為幾何題難？究其原因，我認(rèn)為主要有以下幾點(diǎn).一是理解能力有限.學(xué)生在小學(xué)階段接觸的幾何知識(shí)比較有限，并且平面幾何一開(kāi)始介紹的概念比較抽象，所以有的學(xué)生對(duì)定義和概念的理解模糊不清，只能死記硬背.在幾何學(xué)習(xí)中，如果對(duì)基本定義和概念不理解，將會(huì)影響學(xué)生對(duì)題意的理解.二是識(shí)圖能力較弱.對(duì)幾何圖形的觀察、識(shí)別是理解題意、分析問(wèn)題、解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).對(duì)圖形的認(rèn)知不足，將會(huì)影響到問(wèn)題的進(jìn)一步分析.三是轉(zhuǎn)換能力欠缺.大多數(shù)學(xué)生的疑難點(diǎn)都在這里.幾何語(yǔ)言是幾何知識(shí)的載體，如果能夠?qū)⑽淖终Z(yǔ)言、幾何圖形、符號(hào)表示很好地聯(lián)系在一起，將會(huì)為問(wèn)題的分析提供幫助.但幾何語(yǔ)言對(duì)于初步接觸幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是無(wú)異于一門(mén)新的語(yǔ)言.四是推理能力不足.學(xué)習(xí)幾何主要就是學(xué)習(xí)推理論證，提高邏輯推理能力.簡(jiǎn)單的邏輯推理是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ).在幾何問(wèn)題的解決過(guò)程中，如何進(jìn)一步將已知條件轉(zhuǎn)化、推演，是探尋證明結(jié)果的關(guān)鍵.

其次，教學(xué)中容易走入這樣的誤區(qū)：采用大量毫無(wú)新意的重復(fù)性練習(xí)，毫無(wú)章法的題海戰(zhàn)術(shù)去鞏固幾何知識(shí)，提升邏輯推理能力.這種教學(xué)方式不僅浪費(fèi)時(shí)間，打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也讓教師感到疲憊和沉重，最終的結(jié)果只能事倍功半.作為教師，我也在思考，如何科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，精心地組織課堂教學(xué)，采取有效的措施和方法，能夠快速地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)困生聽(tīng)得懂，中等生做得出，學(xué)優(yōu)生解得妙，使課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)真正的高效呢？

二、實(shí)踐中反思

在進(jìn)行“相交線與平行線”這一章節(jié)的教學(xué)中，我的教學(xué)進(jìn)度異常緩慢，我的教與學(xué)生的學(xué)都遇到了困難，學(xué)生第一次遇到幾何推理，對(duì)于要用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出邏輯推理的過(guò)程，感覺(jué)無(wú)從下手，對(duì)于平行線和角之間的相互轉(zhuǎn)化，感覺(jué)很混亂.我一直在思考如何幫助學(xué)生突破這個(gè)瓶頸.

案例1 在“平行線的性質(zhì)”這節(jié)課的練習(xí)中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：

已知，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線a，b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，求∠3的度數(shù).

這是一個(gè)考查平行線性質(zhì)應(yīng)用的題目，為了考查學(xué)生的掌握程度，我采取了先練后講的教學(xué)形式.學(xué)生經(jīng)過(guò)自主練習(xí)，小組合作交流，展示出以下三種解法：

解法一 ∵a∥b，

∴∠EAC+∠1=180°.

∵∠1=120°，

∴∠EAC=180°-∠1=180°-120°=60°.

∵∠2+∠3+∠EAC=180°，∠2=80°，

∴∠3=180°-∠2-∠EAC=180°-80°-60°=40°.

解法二 ∵a∥b，∠1=120°，

∴∠DAC=∠1=120°.

∵∠2=80°，

∴∠3=∠DAC-∠2=120°-80°=40°.

解法三 ∵a∥b，∠2=80°，

∴∠ABC=∠2=80°.

∵∠ACB+∠1=180°，∠1=120°，

∴∠ACB=180°-∠1=180°-120°=60°.

∵∠3+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠3=180°-∠ABC-∠ACB=180°-80°-60°=40°.

學(xué)生解法的多樣性是令人驚喜的，說(shuō)明他們對(duì)平行線的性質(zhì)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，并且已經(jīng)能夠應(yīng)用于實(shí)際解決相關(guān)問(wèn)題.經(jīng)過(guò)了解，大概有80%的學(xué)生使用的是第一種解法，18%的學(xué)生用的是第二種解法，只有2%的學(xué)生使用第三種解法.

我和學(xué)生們對(duì)三種解法進(jìn)行了分析和討論，學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后認(rèn)為，第一和第二種解法優(yōu)于第三種解法，因?yàn)椴襟E少、解法直接.其中，使用解法一的學(xué)生是將解題目標(biāo)角∠3放在平角∠DAE中去思考，推理得出：∠DAE和∠2的度數(shù)已知，只有∠EAC的度數(shù)是未知的，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求∠EAC的度數(shù).再進(jìn)一步分析：∠EAC與已知的∠1是已知的平行線a和b被AC所截形成的一對(duì)同旁內(nèi)角，至此，問(wèn)題迎刃而解.使用第二種解法的學(xué)生，則是想到將∠3和∠2組成的∠DAC和已知角∠1聯(lián)系在一起，這是已知的平行線a和b被AC所截形成的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，問(wèn)題也能夠很快解決.

應(yīng)該說(shuō)能夠使用前兩種解法的學(xué)生，對(duì)于圖形識(shí)別、平行線和角的相互轉(zhuǎn)化推理是比較熟練的，能夠?qū)⒁阎獥l件和所求統(tǒng)籌地聯(lián)系在一起進(jìn)行分析，用比較直接的方法解決問(wèn)題.而使用第三種解法的學(xué)生也會(huì)使用平行線的性質(zhì)去推出角的關(guān)系，但思維還局限于小學(xué)所熟知的三角形中，習(xí)慣用三角形內(nèi)角和定理去解決求角度的問(wèn)題，對(duì)平行線性質(zhì)的認(rèn)知僅停留在得出等角的層面上，使得解法不夠直接.三種解法的不同在于運(yùn)用了平行線的不同的特殊角.

這一道題目的討論解決了這節(jié)課困擾部分學(xué)生的問(wèn)題：平行線的性質(zhì)可以用來(lái)做什么？揭示了平行線性質(zhì)在解決幾何問(wèn)題中的作用：由兩直線的平行關(guān)系可以得出同位角、內(nèi)錯(cuò)角的相等關(guān)系，同旁內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系，這些特殊角的關(guān)系為不同位置的等角、互補(bǔ)的角的轉(zhuǎn)換，求角的度數(shù)提供了條件.而這類幾何問(wèn)題的解決最終還是要?dú)w結(jié)到平行線和三種特殊角、角和角之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題上.

三、反思后再實(shí)踐

在經(jīng)過(guò)“平行線的性質(zhì)”這節(jié)課的教學(xué)之后，學(xué)生對(duì)于幾何問(wèn)題的理解、識(shí)圖、轉(zhuǎn)換、推理有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).有了前面的經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為應(yīng)該調(diào)整教學(xué)思路，在教學(xué)中要抓好“三線八角”這一基礎(chǔ)作為主線，由平行線的三種特殊角的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化尋求解題突破點(diǎn).

案例2 在“平行線的判定和性質(zhì)綜合”這一節(jié)的教學(xué)中，我先給出下面的問(wèn)題：

已知AB∥CD，∠A=∠C，求證AD∥BC.

學(xué)生能夠從上節(jié)課的分析方法中找到思路，由已知的平行線找特殊角入手，獨(dú)立解決問(wèn)題，最后得出了兩種解法：

解法一 ∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°.

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠D=180°，

∴AD∥BC.

解法二 ∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°.

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠B=180°，

∴AD∥BC.

經(jīng)過(guò)對(duì)比分析和討論，學(xué)生認(rèn)為這兩種解法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一樣的，同樣借助了平行線的同旁內(nèi)角進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換解決問(wèn)題，所不同的是采用了不同的截線去截已知的平行線，從而得出了不同的同旁內(nèi)角.學(xué)生還進(jìn)一步總結(jié)出由一組平行線去證明另一組直線平行的基本解題思路：先由已知的平行線出發(fā)，通過(guò)尋找截線，推出三種特殊角的等量關(guān)系，再結(jié)合已知條件進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換，找到證明另一組平行線需要的三種特殊角，而之前學(xué)習(xí)的對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角也可以為證明提供等角和互補(bǔ)的角的條件.

有了這一基本思路和上面的基本圖形做鋪墊，當(dāng)我再給出了下面的變式圖形，要求學(xué)生盡可能多地去尋找解決方法的時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)不再像之前那樣感覺(jué)無(wú)從入手.經(jīng)過(guò)小組合作交流，學(xué)生共得到了四種解法：

已知AB∥CD，∠A=∠C，求證AD∥BC.

解法一 ∵AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°.

∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，

∴AD∥BC.

解法二 ∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠C=180°.

∵∠A=∠C，∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC.

解法三 ∵AB∥CD，

∴∠A=∠ADE.

∵∠A=∠C，∴∠ADE=∠C，

∴AD∥BC.

解法四 ∵AB∥CD，

∴∠FBC=∠C.

∵∠A=∠C，∴∠FBC=∠A，

∴AD∥BC.

可以看出，解法一和解法二與上一道題的兩種解法完全相同，都是利用已知平行線截得的同旁內(nèi)角解決問(wèn)題，而解法三是利用內(nèi)錯(cuò)角∠A和∠ADE，解法四則是利用同位角∠A和∠FBC去進(jìn)行進(jìn)一步的轉(zhuǎn)換推理.由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)平行線判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力確實(shí)有了提升.打鐵趁熱，我繼續(xù)進(jìn)行鞏固練習(xí)：

已知∠EFC=∠DAE，∠B=∠D，直線AB與直線CD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

這道習(xí)題的解決變成了學(xué)生們的展示平臺(tái)，大部分學(xué)生已經(jīng)能靈活運(yùn)用不同截線截取已知的平行線，構(gòu)造三種特殊角，再結(jié)合已知的等角，對(duì)角進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，得出不同的解法.雖然幾何問(wèn)題的解決不在于追求方法的多樣性，但鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，充分運(yùn)用已知條件，有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力.

四、總 結(jié)

總之，“授之以魚(yú)，不如授之以漁”.在幾何的教學(xué)中，“相交線和平行線”這一部分的知識(shí)只是入門(mén)，由于學(xué)生知識(shí)和能力的局限性，教師的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，抓住知識(shí)主線，幫助學(xué)生理清思路，將學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)由單一漸變?yōu)榫C合，幾何圖形也應(yīng)該由簡(jiǎn)單漸變?yōu)閺?fù)雜.由易到難，由簡(jiǎn)到繁，循環(huán)遞進(jìn)式的教學(xué)，可以更有效地幫助初步接觸幾何推理的學(xué)生逐步提高邏輯推理的嚴(yán)密性.教師精心備好教學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，還應(yīng)該重視學(xué)生的錯(cuò)題，多對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行辨析，多對(duì)學(xué)情分析反饋，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情不斷進(jìn)行調(diào)整優(yōu)化，練習(xí)題、作業(yè)題的設(shè)計(jì)上遵循學(xué)習(xí)規(guī)律，體現(xiàn)從單一到運(yùn)用再到綜合的循環(huán)上升，凸顯方法和規(guī)律，著力提高學(xué)生的理解、識(shí)圖、轉(zhuǎn)換和推理能力，最終實(shí)現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)的高效、實(shí)效.