幾何直觀能力培養例談

張秀花

【摘要】作為一名數學教師，首先需要正確領悟幾何直觀的含義，其次要引領學生善于運用不同的解決問題的策略，使抽象的內容直觀化，使晦澀的文字淺顯化，使隱晦的關系明朗化，讓學生在真實的問題研究中增長才智，培育幾何直觀的能力。

【關鍵詞】領悟；引領；培養

幾何直觀是《數學課程標準（2011年版）》新提出的十個核心觀念之一，數學課堂教學理當重視培養學生的幾何直觀能力，笛卡兒說，沒有什么東西比圖形更容易映入我們的腦海中。因此，作為一名數學教師，首先需要正確領悟幾何直觀的含義，其次要引領學生善于運用不同的解決問題的策略，使抽象的內容直觀化，使晦澀的文字淺顯化，使隱晦的關系明朗化，讓學生在真實的問題研究中增長才智，培育幾何直觀的能力。

一、強化直觀感知

在平時，我們的數學課堂需要改進直觀教學，強化學生的直觀感知。教師在教學時可以引導學生通過觀察、操作、實驗等活動強化學生的直觀感知。

例如，一位老師執教“有余數的除法”呈現如下教學片段。師：兒童節到了，小朋友們打算在班級聯歡會上擺一些果盤。現在有6個草莓，把草莓每2個擺一盤，我們來幫他們擺一擺，好嗎？（課件出示）

師：請小朋友們拿出水果學具，用6個學具表示6個草莓來擺一擺。

學生動手操作，教師巡視指導。

師：一共可以擺幾盤？有剩余嗎？

生：可以擺3盤，正好擺完，沒有剩余。（課件適時出示）

師：這是平均分的問題，我們可以用除法計算，怎么列式呢？

生：6÷2=3（盤）

師：誰來說說6÷2=3這個算式表示什么意思？

生：這個算式表示“6個草莓，每2個一盤，擺3盤，正好擺完”。

師：如果不是6個草莓，是7個呢？（課件出示7個草莓）

師：請小朋友們再動手擺一擺，看看分得的結果怎樣？（學生動手操作）

師：7個草莓，每2個一盤，可以擺幾盤？有剩余嗎？

生：可以擺3盤，還剩1個。（課件出示）

師：剩下的1個還能再平均分嗎？這里的1個表示什么呢？

生：不能，只剩1個不夠分。

師：回憶一下剛才分草莓的過程，你們想一想，把7個草莓每2個擺一盤，結果怎樣？想好了和同桌說一說。（生：略）

教者指出：像這樣平均分后有剩余的情況，也可以用除法算式表示。7個草莓，每2個擺一盤，可以擺3盤，還剩1個。寫成除法算式為：7÷2=3（盤）……1（個）。這樣的算式是有余數的除法算式。這里的1叫作余數（板書），表示平均分后余下的部分。表示余數時，要在商的后面寫上省略號，再寫上余數。咱們今天一起探究“有余數的除法”（板書課題）。

……

案例中，教師基于學生的認知經驗，充分調動學生的探究熱情，引導學生進行有效的數學操作，親歷分草莓“有剩余”的真實情形。教者讓學生進行分草莓活動，從正好分完到有剩余是對平均分意義的延伸，也是學生認知的一次重大突破。教者引導學生通過操作、整理和比較，感知平均分的不同結果，積累對有余數除法意義的直觀經驗。課上，教者適時引導學生思考“剩下的1個還能再平均分嗎？”“這里的1個表示什么呢？”看似簡單的問題觸及的是學生的困惑，同時也問出了研究的起點。學生借助直觀感知，同時聯想剛剛擺草莓的動手活動過程，教者針對算式7÷2=3（盤）……1（個）繼續追問學生這里的7表示什么？2表示什么？3呢？1呢？引導學生對“有余數的除法”形成正確而清晰的認知。

二、豐富直觀表象

克萊因說，數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學直觀就是對概念、證明的直接把握。培育學生的幾何直觀能力，首先要豐富學生的數學表象感知，我們的數學課堂，需要重視引導學生的多感官參與，要形式多樣的引導學生觀察、比較圖形的一些幾何特征，在學生頭腦中建立正確而鮮明的表象。

例如，生活中有很多平移、旋轉和軸對稱現象，學生初步學習這些內容之后，教師可以及時引導學生舉出生活中的例子，哪些生活現象是平移，哪些生活現象是旋轉，學生在尋找周圍有關平移、旋轉等現象的過程中就能進一步豐富直觀表象。教學時教師要充分用好一些實踐操作活動，如折紙、剪紙，拉一拉、轉一轉、拼一拼等，教師還可以根據學生的特點，自行設計一些活動。這既豐富了學生的感知，又激活了思維，進而形成正確的表象。

認識線段時，一位老師問學生：“跳繩的時候，甩出的繩子是什么樣子？拔河的時候，繩子是什么樣子？這兩種繩子有什么不同的地方呢？”教師讓學生通過操作、觀察、實踐等活動豐富體驗；再將生活經驗進行加工、改造與提升。學生發現跳繩甩出的繩子是彎彎的，拔河的繩子是直直的。另外，學生受現實生活中的“線”的干擾，他們所認識的“線”是有粗有細的。我們可以讓學生先觀察手電筒光的形狀，再觀察光線搖晃的投影圖，而后引導學生跳出現實中“線”的框框，形成空間想象的“線”。這種“數學化”的學習過程，可幫助孩子消除日常概念的負遷移現象，有利于構建數學模型，建立正確的表象。

很多課堂經驗豐富的教師會重視平時的適時滲透，讓學生做有心人，注意觀察身邊的實物，量一量教室的長是多少，寬是多少，教室的周長是指什么；三角板上有哪些角，兩個三角板拼成的圖形有哪些角等。學生認識各種角之后，教者創設豐富的情境：三角形有3個角，在三角形里面畫一條線段后，數一數共有幾個角？在三角形里面畫兩條線段呢？如果在三角形里面畫一條高，再數一數共有幾個角，其中有幾個是直角呢？課上，學生在這個變化多樣的直觀情境中操作、觀察、比較，展開數學思考，慢慢長出一雙“眼睛”，幾何直觀能力便逐步提升。

三、巧用數形結合

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”我們不難看出，要促使小學生學好數學，發展數學思維，就得重視數形結合思想的滲透，并在具體問題解剖中發展學生的幾何直觀能力。

例如，一位教師在引導學生理解“余數比除數小”，設計了如下的教學片段。

師：這里有4根小棒，能擺幾個正方形？

生：擺1個正方形。

師用4根小棒擺出一個正方形。

師：用8根小棒能擺幾個正方形？

生：2個。

師：你是怎么知道的？

生：8里面有2個4，8÷4=2。課件出示：8÷4=2（個）

師：如果像這樣用9根、10根、11根、12根小棒擺正方形，結果怎樣呢？請同學們先用小棒擺一擺，再根據每次擺出的結果說一說除法算式。（結合學生操作，課件呈現每次擺的結果及相應的除法算式）

師：看著這些算式，選一個算式說說它表示的意思。

生1：9÷4=2（個）……1（根）表示用9根小棒擺正方形，每個正方形要4根小棒，可以擺2個正方形還多1根小棒。

生2：10÷4=2（個）……2（根）表示用10根小棒擺正方形，每個正方形要4根小棒，可以擺2個正方形還多2根小棒。

生3：11÷4=2（個）……3（根）表示用11根小棒擺正方形，每個正方形要4根小棒，可以擺2個正方形還多3根小棒。

生4：12÷4=3（個）表示用12根小棒擺正方形，每個正方形要4根小棒，正好可以擺3個正方形。

師：在剛才的操作中出現了哪些余數？

生：出現了余數1、2、3。

師：余數會是4嗎，為什么？

生：如果剩余4根就又可以再擺一個正方形了。

師：會是5、6、7......嗎？為什么？

生：不會，只要有1個4，就又可以擺1個正方形了。

師：假如給你更多的小棒，來擺正方形，余數又會是多少呢？

生1：假如用13根擺正方形，可以擺3個還剩1根；用14根可以擺3還剩2根；用15根可以擺3個還剩3根；用16根正好可以擺4個。

生2：我發現要么沒有余數，要有余數就會是1、2、3。

師：結合圖和除法算式想一想，余數為什么只可能是1、2、3？余數和除數會有什么樣的關系？大家先想一想，再和小組里的同學說一說。

生：我們發現余數要比除數小，因為如果余數等于除數或者大于除數，那就可以繼續平均分。

師：通過剛才的操作觀察，我們發現在除法算式中，余數要比除數小。（板書：余數要比除數小）

案例中，數形結合使學習的質態發生了改變，不僅提供了直觀的刺激，更激活了學生創新求異的思維。用數形結合思想刺激學生數學學習的深入，是一種智慧的體現，是打造有效學習的基本策略。善用直觀圖形，充分發揮其直觀對抽象的支柱作用，通過直觀圖例促進學生更科學地把握數與形之間的內在聯系，幫助學生正確理解“余數比除數小”，也讓抽象的數學知識明晰化。這樣的學習過程，不僅能鍛煉學生的思維品質，使課堂教學增值，更能豐富學生解決問題的策略，提升數學思維的活力，更有利于學生幾何直觀能力的不斷積累。

四、拓展空間聯想

學生幾何直觀能力的提升不是一蹴而就的，而是一個日積月累的漸進過程，學生在平時的生活中借助認識經驗，結合數學課堂的學習認識，慢慢累積更多的空間知覺和空間表象。教師需要引導學生進一步拓展空間聯想，對幾何中直線、平面、空間的基本圖形的結構、性質、關系進行識記，并能重現基本圖形的形狀和結構；逐步學會分析圖形基本元素之間的位置關系和度量關系，并能正確畫圖，還能離開實物或圖形進行空間描述。

如學生初步認識長方形、正方形、梯形之后，教者創設空間聯想的問題情境，在教具信封里面裝著梯形，先露出一部分是一個長方形，讓學生猜一猜整個圖形是不是長方形；接著再拉出一部分，還是一個長方形，讓學生繼續猜一猜整個圖形是什么圖形；最后再拉出一部分，學生發現整個圖形既不是長方形，也不是正方形，而是一個梯形。學生在猜一猜的過程中，不斷糾正自己猜想時的空間聯想，積累空間經驗，豐富了學生的空間表象。

再如“畫軸對稱圖形”，教者在方格紙上畫出一個圖形的另一半，使它成為一個軸對稱圖形。它不同于剪紙，只要對折剪，剪出來的圖形必定成軸對稱圖形。它要求學生根據圖形已知的一半來確定另一半，對小學生來說，這是初學時的一個難點。教者可以借助圖形，先讓學生觀察方格紙上的軸對稱圖形，分析每一組對應點與對稱軸的關系，后找出規律，再獨立嘗試把圖畫完整。

總之，幾何直觀能力的培育一方面要依托空間觀念的培養，使學生具備畫圖、說圖和空間想象的能力；另一方面要重視“用圖形說話”，使學生善于用不同的圖形去解讀問題，把握問題中錯綜復雜的關系，從而使學生的數學學習與智能發展融合起來。同時，我們還得認識到，幾何直觀能力的培養并不是一朝一夕的，還得關注到幾何直觀是一種思維方式，是若干種數學思維的一種，我們得依據學生的認知規律適時有機滲透，讓學生不同的思維方式有機共存、相互激蕩和補充，正如希爾伯特所說：“在數學中，像在任何科學研究中那樣，有兩種傾向。一種是抽象的傾向……另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側重它們之間關系的意義，也可以說領會它們生動的形象。”要想真正達成上述目標，數學教師的責任與使命任重而道遠！