數學教學中學生思維過程的暴露

趙忠平

摘 要：數學教學是數學思維活動的教學.本文談數學課堂教學中暴露教師的思維過程和暴露學生的思維過程的方法，以及師生思維過程暴露中應注意的幾個問題.

關鍵詞：數學教學；思維過程；暴露

現代數學教學論認為，數學教學就是數學思維活動的教學.為了提高課堂教學效果，教師在講授演示知識時，不但要充分暴露教師的思維過程，還要最大限度的暴露學生的思維過程，并注意師生思維過程暴露的有機結合，排除學生的思維障礙，強化學生正確的思維品質.如何才能做到充分暴露師生的思維過程，筆者認為必須做好以下幾點.

一、教師思維過程的暴露

暴露教師思維過程是發展學生思維的需要，是形成學生良好認知結構的需要，是素質教育的需要，因此，注重從思維教育的角度，突出并暴露必要的數學思維過程和實際認知過程，應當成為新課程改革的基本點和著力點，筆者認為，在數學課堂教學中暴露教師思維過程的主要方法如下.

1創設問題情境，暴露知識的發生發展過程

創設問題情境是指為學習新知識，創設熟悉的舊知識情境，或創設數學知識的生產生活情境，教師在講授過程中要將數學知識放到學生易于理解并能夠引起學生興趣，揭示問題實質的情境之中，充分暴露概念的抽象過程，定理的產生過程，方法的總結歸納過程，暴露重點難點的突破過程，以及科學研究探索的挫折過程等.例如在學習微積分時，教師可先講微積分的發展歷史，以及現階段對微積分研究的進展情況，學生聽了之后，興趣高漲，增強了學習數學的積極性、主動性.又如高中代數中數列極限的概念一節是公認的難課，教者可以采用以舊引新的方法，先讓學生回憶反比例函數的圖像和性質，由于學生對此性質非常熟悉，故進而將“無限接近”這一本質屬性遷移到數列極限中來，啟發學生用數學語言刻畫距離的無限縮小，取得了良好的效果.

2合理選擇思維路徑，暴露解決問題的分析過程

思維路徑是思考和解決問題的方法和途徑.正確選擇和開辟思維路徑是正確快速解決數學問題的關鍵，思維路徑不同，解決問題的難易程度繁簡程度也不同，教師在分析問題的過程中，要首先站在學生的角度，用學生的知識水平和經驗水平審視數學問題，預見并分析學生的思考方法和途徑，從不同過程中分析比較，找出最佳思維路徑，剖析方法間的內在聯系，充分暴露教師解決問題的分析過程和探索過程，強化學生的正向思維，激活學生逆向思維和發散思維能力.

例1 （2014年陜西）已知：a，b，m，n∈R ，且a2+b2=5，ma+nb=5，則m2+n2的最小值為

學生一看到這么多的變量，頓時沒有了思路，教師引導學生細心觀察題設和結論的特征，學生突然發現原來與重要不等式有關，于是想到m2+a2≥2ma，n2+b2≥2nb，兩式相加，再把條件代入，問題便迎刃而解；教師繼續啟發學生，m2+n2的幾何意義是什么，進而學生發現可以利用數形結合來求解；教師繼續啟發引導，還可以得出利用三角函數有界性，利用向量不等式等方法.

在引導過程中，教師要充分暴露問題的分析過程和方法的遷移過程.教師還可以進一步引導學生比較各種方法之間的優劣，以及各種方法之間的本質聯系.

3加強變式教學，暴露思維深化過程

數學教學思維的深化與活化關鍵在于“變”，在變中求“活”，在變中求“深”.教師在教學過程中可將概念、數學問題進行改造，可采用一題多變，一題多用，使一個問題與有關問題聯系起來，層層引申，活躍思維.教師通過思維變換過程的暴露，培養學生思維的深刻性和靈活性.

例2 （人教版A版選修2-1第70頁）過拋物線焦點F的直線交拋物線于點A、B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線BD平行于拋物線的對稱軸（x軸）.

在證明了該題后，通過對該題變式，然后進行探究，對學生學習有關知識和方法有很大幫助.

變式1 將焦點F（p2，0）改為點M（m，0），（m≠0）結論是否仍然成立？

變式2 變式1的逆命題是否成立？

變式3 將拋物線改為橢圓，是否成立？

4構建知識網絡，暴露知識結構的優化過程

教師在教學過程中應重視對學生進行學法指導，應經常引導學生去歸納概括所學數學知識，要暴露知識的結構體系、記憶方法，以及在整個教材中的地位，以知識導圖的形式將新知識附著于舊知識體系之中，促使學生構建知識網絡，形成良好的數學素養.

二、學生思維過程的暴露

教師在教學過程中要有效地調控學生的思維過程，及時暴露學生的思維過程，正確的予以強化，錯誤的予以糾正，具體方法如下：

1通過課堂提問，促發學生思維過程的暴露

課堂提問是課堂教學的重要一環，也是教師檢查學生對所學知識掌握程度的重要途徑，課堂提問的設計要以有效地暴露學生思維過程為目的，要以有效地啟迪學生的思維為核心，要以好的問題為載體，促發學生暴露思維過程的疑點、難點、思維障礙點，并在教學中及時加以排除，發現學生思維閃光點，及時予以表揚.

2精心組織課堂合作交流，引發學生思維過程的暴露

教師精心準備探究問題，引導學生通過“小組合作”交流討論，促進學生之間互相啟發，取長補短，營造民主、輕松、舒暢的學習氣氛，充分暴露學生思維過程和思考方法，教師參與到小組交流之中，了解和掌握學生討論過程中暴露出的思維障礙，并采用個別糾正和集體糾正相結合的方法及時糾正.

3通過“設錯訓練”誘發學生思維過程的暴露

學生出現教師預見到的錯誤，教師可在課堂教學中創設錯例，或從學生作業、練習中找出一些典型錯誤，要求學生分析錯因，并糾正錯誤之處.設錯訓練能夠充分暴露學生辨析思維過程，提高學生對一些知識點的警戒度.糾正學生對某些知識、方法技巧運用不準確，不到位的現象，培養學生思維的嚴謹性和批判性.

例3 在講授不等式：已知a，b∈R+，且a+b=1，求證：a+1ab+1b≥254的證明時，針對以往學生容易出現的一些問題，設置如下錯證：

雖然結果正確，但過程錯誤，如果經常針對一些學生常糾常錯的知識點進行設錯訓練，便可在多次錯誤思維過程的暴露中，強化學生正確的思維路徑.

三、師生思維暴露過程中應注意的幾個問題

1思維過程的暴露要適時適度，切忌形式化、簡單化

數學教學中思維過程的暴露要防止兩種傾向，一是一味地暴露教師的思維過程，導致滿堂灌，忽視學生的主體地位，使學生機械地接受，另一種傾向是一味地暴露學生思維過程，題無大小，頻頻提問，使提問過程簡單化、形式化，沖淡了教學重點、難點、關鍵點的教學，使學生疲于應付，降低了教學效果，這兩種傾向都忽視了對思維過程暴露的度的把握.另外，思維過程的暴露要適時，要抓住學生心理上的“好奇狀態”和“憤悱狀態”，要在學生對知識情景情感體驗最深時進行，暴露的內容要切中要害，一語中的，這就要注意正確發揮教師的主導作用，保障學生的主體地位.

2思維過程暴露形式要多樣化、綜合化，切忌單調乏味

教師在教學過程中要采用多種形式，借助各種輔助教學工具，以豐富多彩的形式暴露師生的思維過程，如利用幾何畫板、作圖軟件、微課、自制教具等多媒體資料，還可采用小辯論、小競賽、翻轉課堂等多種形式，利用小組合作探究，引導“兵帶兵，兵教兵”，綜合運用各種方式，提高師生之間、生生之間思維交流的效率.

總之，數學教學中教師思維過程暴露要恰到好處，到位而不越位，學生思維過程暴露要充分及時，減少盲點，不留夾生飯.只有充分暴露師生思維過程，才能有效糾正和防止錯誤思維過程的再現，才能強化正確的思維路徑，培養學生思維的深刻性和創造性.